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3 + · · · + 1 n 1. Pour tout x ≥ 0, montrer que ln(1 + x) ≤ x.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Fondements Math´ ematiques 3, 2019-2020 S´ eries num´ eriques

Exercice I. On consid` ere la suite (S n ) d´ efinie, pour n ≥ 1, par S n = 1 + 1

2 + 1

3 + · · · + 1 n 1. Pour tout x ≥ 0, montrer que ln(1 + x) ≤ x.

2. En d´ eduire que, pour tout k ≥ 1,

ln(k + 1) − ln k ≤ 1 k puis que, pour n ≥ 1, ln(n + 1) ≤ S n .

3. Nature de la suite (S n ) ?

Exercice II. Etudier la convergence de la suite (T n ) d´ efinie, pour n ≥ 0, par T n = 1 + q + q 2 + · · · + q n ,

0 < q ≤ 1. En cas de convergence, pr´ eciser sa limite.

Exercice III. 1. Montrer que, pour k ≥ 2, 1

k 2 ≤ 1

k − 1 − 1 k (on pourra d’abord remarquer que k 1

2

(k−1)k 1 ).

2. On pose, pour n ≥ 1,

R n = 1 + 1 2 2 + 1

3 2 + · · · + 1 n 2 .

Montrer, en utilisant 1., que R n ≤ 2 − n 1 . En d´ eduire que la suite (R n ) est major´ ee puis qu’elle est convergente.

Exercice IV. Traduire les conclusions des exercices I, II, III dans le langage des s´ eries.

Exercice V. Etude de la nature de s´ eries en utilisant le calcul des sommes partielles. Calculs de sommes en cas de convergence

1. On pose, pour n ≥ 1,

u n = 1

√ n − 1

√ n + 1 . Montrer que P

u n est convergente (indication : calculer les sommes partielles) et calculer sa somme P +∞

n=1 u n .

2. On pose, pour n ≥ 0, v n = (n+11)(n+12) 1 . Trouver deux r´ eels a et b tels que v n = a

n + 11 + b

n + 12 .

1

(2)

En d´ eduire que P

v n est convergente et calculer sa somme P +∞

n=0 v n . 3. Montrer que P

e −n est convergente et calculer sa somme P +∞

n=0 e −n . 4. Montrer que P

12 est divergente. Que penser de l’affirmation “la suite (u n ) converge donc la s´ erie P

u n converge” ?

A partir de maintenant, on supposera connues la nature des s´ eries de r´ ef´ erence (g´ eom´ etriques, Riemann...)

Exercice VI. Comparaison 1. Nature des s´ eries

X 1

n 2 + 4n + 317 , X n 4

n 5 − 1 , X

e −n

2

, X 1 2 n

1

n + 1 , X 1 n − √

n , X ln n n (pour la troisi` eme on pourra remarquer que e −n

2

≤ e −n pour tout n ≥ 1).

2. Un ´ etudiant met sur sa copie “On a 0 ≤ P

u n ≤ P

v n . Comme P

v n converge on en d´ eduit que P

u n converge par comparaison”. Dites pourquoi le correcteur a raison de lui mettre z´ ero.

Exercice VII. Soit (u n ) une suite de nombre r´ eels positifs. On suppose qu’il existe α > 1 tel que lim n→+∞ n α u n = 0.

1. Montrer qu’il existe un nombre entier N ≥ 0 tel que u nn 1

α

pour tout n ≥ N . En d´ eduire que P

u n converge.

2. Nature de P

e −n

3

−n et de P lnn

n

4

. Exercice VIII. Equivalents

1. Nature des s´ eries X n

n 4 + 1 , X n 2 + e −n n 3 + 2 , X

(1 + e −n

2

)( 1

2 ) n , X n 2 + n + 1 n 3 + 12n . 2. Nature des s´ eries

X n + 12 n ( 1

3 ) n et X 5 n + 4 n + n 2 4 n + n . 3. Nature des s´ eries P n

1/n

n

α

(pour α ∈ R ) et P

a n (1 + e −n ) (pour a > 0).

Exercice IX. Une suite utile : rappel 1. Montrer que lim x→0 ln(1+x)

x = 1 (indication : c’est un nombre d´ eriv´ e). En d´ eduire que lim n→+∞ n ln(1 + n 1 ) = 1.

2. On pose, pour n ≥ 1, u n = (1 + n 1 ) n . En ´ ecrivant u n = exp(n ln(1 + n 1 )) et en utilisant la premi` ere question montrer que lim n→+∞ u n = e .

3. Plus g´ en´ eralement, si a ∈ R , ´ etudier la convergence de la suite (w n ) d´ efinie, pour n ≥ 1, par w n = (1 + a n ) n .

2

(3)

Exercice X. R` egles de d’Alembert et de Cauchy 1. Nature des s´ eries P

n(n + 1)a n (pour a > 0), P 1

n! et P n

n

4

n

n! . 2. Nature des s´ eries P

( 2n+1 n ) n et P

(1 + n a ) n

2

(pour a ∈ R ).

Exercice XI. Nature de P n

5

+4n

2

+1

4

n

+2

n

+1 (suggestion : trouver d’abord un ´ equivalent au terme g´ en´ eral).

Exercice XII. Convergence absolue. Crit` ere sur les s´ eries altern´ ees 1. Les s´ eries suivantes sont elles absolument convergentes ? Convergentes ?

X (−1) n

n , X (−1) n 1 + 2 n , X

(−1) n 1

√ n + 1 , X sin n n 2 . 2. En utilisant la r` egle de d’Alembert, montrer que la s´ erie P x

n

n! converge absolument pour tout x ∈ R . Etudier de mˆ eme la nature de la s´ erie P x

n

n si x est un r´ eel.

3. Pour quelles valeurs de x ∈ R la s´ erie P

n!x n est elle absolument convergente, conver- gente, divergente ?

Exercice XIII. Le crit` ere des ´ equivalents ne marche pas si les termes ne sont pas positifs 1. Montrer que la s´ erie P (−1) √

n

n est convergente.

2. On pose, pour tout n ≥ 2,

v n = − (−1) n

√ n + (−1) n + (−1) n

√ n .

Montrer que v n est positif et que v n 1 n (r´ eduire au mˆ eme d´ enominateur). En d´ eduire que la s´ erie P

v n est divergente puis que la s´ erie P √ (−1)

n

n+(−1)

n

est divergente.

Conclusion : on a (−1) n

n

n+(−1) (−1)

n n

mais les s´ eries P (−1) √

n

n et P √ (−1)

n

n+(−1)

n

ne sont pas de mˆ eme nature. Est-ce en contradiction avec le th´ eor` eme du cours sur les ´ equivalents ?

Exercices suppl´ ementaires XIV. Le nombre π comme somme d’une s´ erie

On pose, pour n ≥ 0,

S n = 1 − 1 3 + 1

5 + · · · + (−1) n 2n + 1 . 1. Montrer que, pour tout r´ eel t,

(1 − t 2 + t 4 + · · · + (−1) n t 2n ) − 1

1 + t 2 = (−1) n t 2n+2 1 + t 2 . 2. En d´ eduire que

S n − Z 1

0

1

1 + t 2 dt = (−1) n Z 1

0

t 2n+2 1 + t 2 dt.

3

(4)

3. Montrer que, pour tout r´ eel t ∈ [0, 1], t 1+t

2n+22

≤ t 2n+2 . En d´ eduire une majoration de

|S n − R 1 0

1

1+t

2

dt| puis que la suite (S n ) est convergente.

4. Que vaut P +∞

n=0 (−1)

n

2n+1 ?

N.B : la convergence de la suite (S n ) vers π/4 est tr` es lente : il faut calculer S 200 pour avoir les deux premi` eres d´ ecimales...

XV. Somme de la s´ erie P (−1)

k−1

k

On pose, pour tout entier naturel n, I n = R 1 0

x

n

x+1 dx.

1. Calculer I 0 .

2. Montrer que (I n ) converge vers 0 (on pourra majorer I n ).

3. Montrer que I n + I n+1 = n+1 1 pour tout entier naturel n.

4. En d´ eduire que I n = P n k=1

(−1)

n−k

k + (−1) n I 0 . 5. Montrer finalement que ln 2 = lim n→+∞ P n

k=1

(−1)

k−1

k . XVI. Une somme

1. Soit f : [a, b] → R une fonction de classe C n+1 . Montrer que f (b) = f (a) +

n

X

k=1

f (k) (a)

k! (b − a) k + 1 n!

Z b

a

(b − t) n f (n+1) (t)dt

(penser ` a utiliser une int´ egration par parties et une r´ ecurrence).

2. Applications : en appliquant la formule pr´ ec´ edente ` a la fonction exponentielle sur [0, 1], montrer que

|e − 1 −

n

X

k=1

1 k! | ≤ e

n! . En d´ eduire que e = 1 + P +∞

k=1 1 k! . XVII. Valeurs approch´ ees de e On rappelle que e = P +∞

k=0 1

k! . Pour tout entier naturel n non nul, on pose : S n =

n

X

k=0

1

k! et T n = u n + 1 n × n!

0. Rappeler le th´ eor` eme sur les suites adjacentes.

1. Montrer que les suites (S n ) et (T n ) sont adjacentes.

2. En d´ eduire que |e − S n | ≤ n×n! 1 .

3. Donner une valeur approch´ ee de e avec une erreur inf´ erieure ` a 10 −3 .

4

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