ln(1−y) +y sur [0,1[, montrer que ∀0≤y <1, ln(1−y) +y≥0 b) Montrer que ∀x∈[0, n

Universit´e de Cergy-Pontoise - Licence L3-S5 Calcul Int´egral - Session 2 - Mercredi 2 juillet 2008

Dur´ee: 2h00 - Ni document ni calculatrice autoris´es.

Notations: B=B(IR) est la tribu bor´elienne deIR. On note 1_Ala fonction indicatrice de l’ensemble A (1_A(x) = 1 six∈A et 1_A(x) = 0 six /∈A).

Les 2 exercices sont ind´ependants.

Exercice I(4 pts)

Pour toutn∈IN^∗, on note

f_n(x) = (1− x

n)ⁿx1_[0,n](x) et on pose

I_n= Z

f_n= Z _n

0 (1−x

n)ⁿx dx.

1) a) En ´etudiant la fonctionφ(y) = ln(1−y) +y sur [0,1[, montrer que

∀0≤y <1, ln(1−y) +y≥0 b) Montrer que

∀x∈[0, n], , 0≤f_n(x)≤xe^−x 2) Montrer que

n→+∞lim f_n(x) =xe^−x1_[0,+∞[(x).

3) Calculer lim_n→+∞I_n en justifiant soigneusement le r´esultat.

Exercice II (10 pts)

Soit l’intervalleI = [1,+∞] et soitf :I 7→IRune fonction mesurable. Pour x≥0, on pose

F(x) = Z _+∞

1

f(t) (t+x)²dt

Dans les questions 1) `a 4), on fait l’hypoth`ese que f ∈L¹(I).

1) Montrer que F(x) est bien d´efini pour x ≥ 0 et que la fonction F est continue sur [0,+∞].

2) a) Montrer que F est d´erivable sur [0,+∞] et donner l’expression deF⁰(x) pour toutx≥0.

b) Montrer queF est C^∞sur [0,+∞].

3) Montrer que pour toutx≥0, on a

|F(x)| ≤ ||f||_L1(I)

(x+ 1)² 4) Montrer queF est int´egrable sur [0,+∞] et que

Z _+∞

0 F dx= Z _+∞

1

f(t) t dt

5) On suppose `a pr´esent que f ∈ L^p(I) avec 1 < p < +∞. On note q l’exposant conjugu´e dep.

a) Rappeler la d´efinition deq et montrer que 1< q <+∞.

b) Montrer queF est bien d´efinie surIR^∗₊ et que pour tout x≥0, on a

|F(x)| ≤ ||f||_L^p_(I) (2q−1)(x+ 1)^2q−1

6) Donner un exemple de fonction mesurable positive f : I 7→ IR₊ pour laquelle pour toutx≥0, on a

Z _+∞

1

f(t)

(t+x)²dt= +∞

Exercice III(6 pts)

Soit (Ω,T, µ) un espace mesur´e et soit f : (Ω,T) 7→ (IR₊,B) une fonction mesurable positive. On pose pour toutn∈IN^∗

A_n={1

n ≤f ≤n} etf_n=f1_An 1) Montrer queA_n∈ T, que

n→+∞lim µ(A_n) =µ(f >0) et que

n→+∞lim Z

Ωf_ndµ= Z

Ωf dµ 2) On suppose `a pr´esent que f ∈L¹(IR₊).

a) Montrer que pour toutn∈IN^∗, µ(A_n)≤n(

Z

Ωf dµ)<+∞

et que

n→+∞lim Z

Ω\An

f dµ= 0.

b) En d´eduire que pour tout² >0, il existe un ensembleA∈ T tel que µ(A)<∞, sup

x∈A

f(x)<+∞ et Z

Ω\Af dµ < ².