Montrer que : ∀x >0 : 0&lt

MPSI B DM 10 29 juin 2019

Dans tout le problème, on confondra un polynôme à coecients réels avec la fonction polynomiale dénie dansRqui lui est associée.

Partie I. Irrationnalité dee^m

Dans cette partie, on admet que pour tout entier natureln, il existe des polynômes A_n etB_n à coecients dansZet de degré inférieur ou égal àndénissant une fonctionf_n

∀x∈R : fn(x) =An(x) +Bn(x)e^x telle que :

∀k∈ {0,· · ·, n} : f_n^(k)(0) = 0

∀x∈R : f_n⁽ⁿ⁺¹⁾(x) =xⁿe^x

1. Calculer des polynômesA_n etB_n satisfaisant aux conditions pournégal à 1 ou 2.

2. a. Calculer, à l'aide de la formule de Leibniz, la dérivéen+ 1ème de la fonction x→ x²ⁿ⁺¹e^x

(n+ 1)!

Montrer que le coecient dexⁿe^xest un entier à préciser.

b. Montrer que :

∀x >0 : 0< fn(x)< x²ⁿ⁺¹e^x (n+ 1)!

(on pourra utiliser des tableaux de variations et des dérivations successives) 3. Soitm un entier naturel non nul, on suppose qu'il existe un entier qnon nul tel que

qe^msoit entier. Montrer que pour tous les entiersn: qf_n(m)∈Z

En déduire une contradiction et conclure.

Partie II. Généralisation de la formule du binôme.

Pour tout couple(m, k)∈Z×N, on dénit des nombrescm,k par les relations ∀m∈Z : cm,0= 1

∀k≥1 : c0,k= 0 et

∀k≥1 : c_m,k=c_m−1,k+c_m−1,k−1

1. Former le tableau descm,k avecmcomme numéro de la ligne etkcomme numéro de la colonne pourmentre−4 et+4et kentre0et 4.

Formulez des remarques intéressantes relativement à ces coecients.

2. On considère un anneauAdont le neutre additif est noté0A et le neutre multiplicatif (élément unité) est noté i. Cet anneau A contient un élémentd (dit nilpotent) pour lequel il existe un entiern≥1 tel que

dⁿ⁺¹= 0A

a. Calculer

n

X

k=0

c_−1,kd^k

! (i+d) En déduire quei+dest un élément inversible deA. b. Montrer que pour toutm∈Z:

(i+d)^m=

n

X

k=0

cm,kd^k

Partie III. Existence de A_n etB_n.

On désigne par Rn[X] l'espace des polynômes à coecients réels et dont le degré est inférieur ou égal à n. On considère l'anneau des endomorphismes de Rn[X]. On rappelle que, dans cet anneau, la loi multiplicative est la composition◦ des endomorphismes.

L'unité est l'application linéaire identité notée icii: i:

(

Rn[X]→Rn[X] P →P

L'élément nilpotent considéré est la dérivation notée icid: d:

(

Rn[X]→ Rn[X] P → P⁰ 1. Montrer quei+dest un automorphisme deRn[X]. 2. Pour tout entiernon pose :

Bn= (i+d)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾(Xⁿ) et on dénit la fonctionβ_n par :

∀x∈R : βn(x) =Bn(x)e^x

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1 Rémy Nicolai M0710E

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a. Préciser, à l'aide d'une puissance dei+dla dérivéemième deβn pour un entier naturelmquelconque. Que se passe-t-il pourm=n+ 1?

b. Pourm∈ {0,· · · , n}, montrer que β^(m)n (0)

m! ∈Z Conclure.

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