Montrer que ∀n∈N?, ∀X∈R, Fn+1(X

Problème : Résolution d’équations différentielles L’objectif de ce problème consiste en la résolution de deux équations différentielles.

Partie I : Calcul de primitives Dans cette partie, ndésigne un entier naturel non nul.

1. Pourquoi la fonction x7→ ¹

(1+x²)ⁿ admet des primitives surR. On choisit de calculer celle s’annulant en 0, soit X 7→ RX

0 1

(1+x²)ⁿ dx. On notera Fn cette dernière fonction.

2. CalculerF₁. 3. Montrer que

∀n∈N^?, ∀X∈R, F_n+1(X) =

1− 1 2n

F_n(X) + 1

2n· X

(1 +X²)ⁿ. 4. En déduireF3.

Partie II : Résolution d’une première équation différentielle

L’objectif de cette partie consiste à trouver toutes les fonctionsy∈ C¹(R,R) vérifiant

∀t∈R, y⁰(t) + sin(t)

(cos²(t)−2 cos(t) + 2)³ ·y(t) = 0. (E’) 1. De quel type d’équation différentielle s’agit-il ? Rappeler comment résoudre une telle équation

différentielle.

2. On définit sur Rla fonction A par, pour toutt∈R, A(t) =

Z t

0

sin(T)

(cos(T)²−2 cos(T) + 2)³ dT.

Montrer que,

∀t∈R, A(t) =−

Z cos(t)−1 0

1

(T²+ 1)³ dT.

3. En déduire une expression de la fonctionA.

4. Résoudre (E’).

Partie III : Étude d’une bijection

1. Rappeler le sens de variation de la fonctionshainsi que ses limites en±∞. De quelle classe est cette fonction ?

2. Montrer queshest une bijection. On notera argsh la fonction réciproque de sh.

3. Donner le domaine de définition de argsh et son sens de variation. De quelle classe est la fonction argsh ?

4. Calculerch(argsh(x))en fonction dex.

5. Calculer argsh⁰(x) en fonction dex.

6. Donner une expression de argsh(x) en fonction dex.

Partie IV : Résolution d’une seconde équation différentielle 1

L’objectif de cette partie est de trouver toutes les fonctions z∈ C¹(R,R) vérifiant

∀x∈R, z⁰(x) + 1

√

1 +x² · sin(argsh(x))

(cos²(argsh(x))−2 cos(argsh(x)) + 2)³ ·z(x) = 0. (E) 1. De quel type d’équation différentielle s’agit-il ?

2. Soienty etz deux fonctions définies sur Rtelles quey=z◦sh.

Montrer quey est solution de (E’) si, et seulement si, z est solution de (E).

3. Résoudre (E). On exprimera les solutions en fonction de argsh.

* * * FIN DU SUJET * * *

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