Le problème de Cauchy pour les équations différentielles d'un fluide général

B ULLETIN DE LA S. M. F.

J. N ^ASH

Le problème de Cauchy pour les équations différentielles d’un fluide général

Bulletin de la S. M. F., tome 90 (1962), p. 487-497

<http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1962__90__487_0>

© Bulletin de la S. M. F., 1962, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Bulletin de la S. M. F. » (http:

//smf.emath.fr/Publications/Bulletin/Presentation.html) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/

conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

Bull. Soc. math. France^

90, 1962, p. 487 à 497-

LE PROBLÈME DE CAUCHY

POUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'UN FLUIDE GÉNÉRAL ;

PAR

JOHN NASH.

Par « fluide général » nous entendons un fluide visqueux, compressible et conducteur de la chaleur. Le système des équations différentielles d'un tel fluide n'a pas souvent été l'objet d'études mathématiques, en raison de sa complexité. Pourtant, SERRIN [h-] a obtenu des théorèmes d'unicité de la solution de ces équations.

Les cinq équations de ce système expriment la conservation de la masse, de la quantité de mouvement (trois équations) et de l'énergie. La forme des équations que nous employons ici est tirée du livre de LANDAU et LIFSCHITZ [voir (2), équations (1.3), (15.5), ( ^ 9 . 4 ) , p. 2, 48 et i85]. Nous écrivons celles-ci sous la forme suivante :

(Ia)

ît=~

•

'

(,&)

^^+

,

^+F(^t)•,

' dt p p àxk

(0

(,.) p^= ^)^[^^,.^(V..)-,

' ' ( ^àvi

^\

(

^

ou cr^ = r] -— 4- -,— H- Ç — ^ ô^ -.—

lk \()^k à x k ) \ 3 7 à x i '

p étant la densité du fluide, v la vitesse, p la pression, F la force extérieure, ri et Ç les coefficients de viscosité, ^l'entropie et — = - , - + ^ .— la dérivée

« lagrangienne » par rapport au temps. La notation [M^ signifie M^Mik et nous employons la convention de sommation.

Si l'on considère S comme une fonction S (p, jT), on peut obtenir une équation pour ——5 puisquedT

dS__ d^

d t — ^ ^ d t • S , ^dT —

"^'~ p ^ p V . p -

^

On obtient

(ic') dT

^=^V• (X V ^)+P2 7^V^

Yî [' ^ ÔVk 2 . ^ / 12 _

A^^-î^^^-^

qui est une équation qui ressemble plus à ( ï a ) et à ( ï b ) . On peut considérer les quantités /?, S, Y?, Ç et x, qui sont toutes positives, comme des fonctions de p et 77, qui sont déterminées par la structure physique du fluide.

Dans l'étude mathématique du système (i) nous employons les coordonnées de Lagrange, qu'entraîne le mouvement du fluide, plutôt que les coordon- nées d'Euler, qui sont fixées dans l'espace. Soient^, X^ X^ les coordon- nées de Lagrange. Prenons JTi, X^ X^ t comme variables indépendantes, et notons par ^ la dérivation la , de (i) où les variables X^ X^ X^

sont constantes. Alors

( 2 )

De plus

Ô^^ÔX

{ ) ôx~ àx

(

où —— ) signifie la matrice inverse de la

OA. )

àx¹

Vi-=.———)

àt àœ(X,

ÔX x^

t)

à

~àX

^t)=

àx(X, àX

ou

x{^,

^

à àx

t a ) -

f:

matrice -.-p*ÔX

ÔA.

^ f c ( ^ , t ' ) d t ' ,

" i , à.(^t)

dX dt-

f àx \-1 à

\àï) ~àÏ'

II est maintenant possible d'obtenir une formule pour p. Le jacobien j[—\

exprime le rapport d'un élément de volume dans l'espace de x à l'élément\^ ) correspondant de volume dans l'espace de X. Donc, d'après la conservation de la masse, on a

(4)

p(^ t.)j(^^\ =p(^ t..)j(^y\

\ ^i y \ A / ou

p(^, <)=p(^,

^p(^^)/J(î^))-[.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'UN FLUIDE GÉNÉRAL. 489

(

J —\ est déterminé par des éléments de la matrice -3-?' L'équation ( 4 )

-^L j Ô^L

peut remplacer (i a), et nous avons ainsi un système de quatre équations différentielles.

Nous étudierons le problème de Cauchy où p, T et v sont données pour t •==. Q dans tout l'espace. Il est avantageux de choisir les coordonnées de Lagrange ^Ti, ^Ta, X^ de telle façon que X = x quand t -==. o. Si nous posons

^i, Kg, ^.3, ^4 pour p j , ^2, ^3, 77, si nous employons les coordonnées de , . à ,. , d , . . , Lagrange, et si nous écrivons-y-au lieu d e - , ? les équations prennent la forme suivante :

au , / ^ àx \ à2 u f ^ àx au \ ôo

(°) Tt ^(P'

' ^r)<LF

^'

' <LT' Jx)ôx

f „ àx àu\ à r/A^-'l

^^(P'^^F'^^-L^} J

/ _ ôx ou \ +<^p,7^,^,^,

dans laquelle les quantités - et ,? ( TTr) sont (îlstlnguees P8^6

qu'elles dépendront des dérivées, ^ — î du deuxième ordre. Pour éliminer x et p de ( 5 ) , nous remplaçons x et p par leurs expressions données par ( 2 ) ,

(3) et ( 4 ) , et en écrivant x à la place de JT, nous obtenons

/ r

\ [ r

\ r

\ Jo / \ ^ o / ^o

/ r' r

\

4- <°( ^, ^, po, po,, ^ ^r^, ( udt, œ, t ^

\ ^ o ^ o /

où po est p {X", o ) , ^ est le tenseur .—i des dérivées de u par rapport aux c/x i

composantes de x^ et (fl, ^3 et € sont des tenseurs.

Nous considérons la quantité w == u — ^o pour obtenir plus facilement des évaluations nécessaires de grandeur et de continuité des fonctions qui appa- raissent dans les équations différentielles. Alors

(7) w,= CZ ^"'^ tô f^,, dt + (",

^ u

où ^ ==: o quand t == o, et où

e'-=e-^(a-^-^t)u^.

Notre démonstration de l'existence et de l'unicité de la solution est basée sur un procédé itératif qui construit la solution

^

( 8 ) W^1 ) == aW w'^ l ) + ^n} (

•A

^/î+l )^ ^n) ^ l ) ^ ^n} t ^n) ^ ^_ ^(/^

Les quantités <fl(^, oïW, C'^ sont des fonctions de w^\ et w^==o et w^{x^ o) ==o. Le système (8) est linéaire et parabolique en w^⁴-¹).

Pour nos démonstrations, il faut que cl, d3 et €1 (c'est-à-dire C'I^, <Sb^ et C'W) soient bornées et uniformément continues au sens de Hôlder pendant un certain intervalle de temps et dans tout l'espace. Les bornes dépendent des propriétés de M(), po et w et des propriétés des quantités /?, S^ Y}, Ç et x comme fonctions de p et T. Il est raisonnable de supposer qu'il existe une région ouverte R dans l'espace ( p > o , T^>o) de p et Toùp^ S^ YÎ, Ç et x soient fonctions analytiques de p et 77. Cette assertion porte sur la structure physique du fluide.

Nous supposons les données initiales, pour < = = o , telles que (po, 7o) soit toujours dans une région fermée R^ qui est une sous-région d'une région 7?i fermée et compacte qui est elle-même une sous-région de 7?. Il y aura des nombres £1 et £2 assez petits pour que, si | p — p o ^ £1 et | T — T p | ^ s^

alors (p, T) soit dans /?i et les fonctions/?, «S, YÎ, Ç et x de p et Tetleurs dérivées t

^xdt est assez soient bornées. De ( 4 ) et ( 2 ) nous observons que quand f ^xdt est

^ o

petit alors | p — p o ^£1. Puisque f v^dt ^_\tv^^\-\- f w^ dt et

^ 0 ^ O

puisque T=:To-{-w^ si nous imposons des bornes assez fortes à \w\ et a | Wx [, et si t est assez petit, ( p , T) sera toujours dans R.

Soient

(9)

[a[^, !^|^, \e'\^b,,

^ ( 0 ) ^ 4 , H^(0l)^b^ et H ^ { C ' ) ^ b ,

les conditions que nous voulons que (fl, Ôï et C' satisfassent pendant un certain intervalle de temps qui commence à ^ = = 0 , où H^ est l'indice de continuité hôldérienne,

(10) • ^ ( Y ) = sup 1/C^ ^ -/(^ ^)J .

0" " ^^1 ^ - ^ 1 « + 1 ^ - ^ 1^

Afin d'obtenir les bornes de ( 9 ) sur C' il faut qu'on ait quelques renseigne- ments sur F. Il suffît que F soit bornée et que les premières dérivées de F soient bornées et uniformément hôldériennes quand t est borné. F est une

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'UN FLUIDE GÉNÉRAL.

/ /-

fonction des coordonnées d'Euler, et l'on peut écrire F^ x -h- f

\ ^o comme fonction des coordonnées de Lagrange. Aussi

e'^.e',-^- F,

49 ^ï v dt, t

e\ =e\ u, u^, po, po.,,

«^n *-'o

llx dt^ /, I/o

Nous supposons que, pour t=o, les fonctions po, po,,, «o, ^o^ ^o^ sont

uniformément hôldériennes et uniformément bornées. Nous supposons aussi que pendant un intervalle de temps assez petit, nous avons

(n) | w | ^ c 4 , j w ^ l ^ s , , / / " ( w ) ^ ^ , ^(w^)^^ et o^^Ss.

Dans le procédé itératif, ( n ) doit valoir pour tout w^, tant que o ^^^£3.

Si Iss nombres £3, . . ., £7 sont assez petits, (p, T) est donc toujours dans /?i et C\, ^3, G-' satisfont les conditions ( 9 ) . Dans notre démonstration nous emploierons ( 9 ) et nous montrerons que ( n ) vaut quand t est assez petit, ce qui justifie l'usage de ( 9 ) . Pour obtenir des bornes de w nous nous servons des résultats de W. POGORZELSRI et A. FRIEDMAN ([3] e t [ l j ) pour des systèmes paraboliques d'équations différentielles.

L'équation ( 8 ) est de la forme

( 1 2 ) y,=ay^

ày^__ ^ à\n

ôt~ v ô^ ^ ^?T-

Rappelons maintenant la condition de parabolicité uniforme de Petrovsky.

Soit Af^o(^) la matrice A^(i^) (i'^) où ^ est un vecteur à composantes réelles. La condition de parabolicité uniforme est qu'il existe un nombre o-.> o tel que les parties réelles des valeurs propres de la matrice M^a soient

^— o- partout quand | ^ | == ï . Avec le système (12) les valeurs propres sont :

àx,, ^r j 4 -

àx^

àx^

ÔXE^

p

^ p

- ç

e

àxL., àx^

àXL., à X E ' °

'-•n p '

3 V.

pTSr

où XL est la matrice de la transformation des coordonnées entre les coor-

ÔXE

données de Lagrange et d'Euler. Nous pouvons supposer que, quand (p, T) est dans /?i, ST et les nombres YÎ, Ç et v. sont bornés supérieurement et inté- rieurement. La matrice -—L restera voisine de l'identité quand t et Vx restent

ÔXE

assez petits; donc nous supposons ici que les bornes de (n) sont suffisam-

ment petites pour que la condition de parabolicité uniforme soit satisfaite.

De plus, Cl et 9 seront bornées et uniformément continues au sens de Hôlder, ce qu'exigent aussi les théorèmes de Pogorzelski etFriedman.

Le théorème de Friedman, [l], équation ( 3 . 3 ) , pour le système ( 1 2 ) , est

(l3) max(^|J,,|)+^(^y)-^^a(^^J^^a(/+^^)

(

^,K m a x | j [ 4 - m a x ( ^ cp [ ) -t-^V"⁴""², a ) ) ,

où o ^ t^r et K est déterminé par T et par les propriétés de dl, et où

(i4) ^(t

\f)= sup ^^(^.^«-i^^i^L^Z^All).

0 ^ < i ^ 2 ^ T ) , , - ( { \X.,—x, [ a 4 - ] ^ _ ^ ] 2 ^

Le résultat de Pogorzelski s'applique au cas <p =E o et nous donne une borne de la solution fondamentale du système :

(^{I 5}) ^ [ r ( ^ ^ 2 ; «a-i, t i ) < ^ i < c ^ ( / , — ^ ) - ^

011 o ^^i<; tï^T et où ^. est un nombre quelconque entre o e t i (o << |JL < i).

Le nombre Ca,T dépend de pi, T et dl. Si z (œ, t) est une solution de z^Oz.^

alors -s(^-2, ^2) == ^ r^(.ri, t^) dx^\ pareillement, y étant une solution de (12), e l s i j ( . ^ , o) == o, alors

(16) y ( x , t)= C f T{x, t; x', t ' ) ^ { x ' , t ' ) d x ' dt1.

Afin de montrer la convergence de la suite {w^ \ définie par ( 8 ) nous considérons les quantités ( w ^ ^ ) — w^) et l'équation

(^((n) i (^(^—i)

(17) [ w ^ ) — w^]t= —————— [w^⁴-¹)— w^].^

2

/ ^(^+1) -J- œ(») \

+ a^)— a^-

"] ( -——' \ ' V 2 /^

/^(^)-}_ ^-i)\ ^

+ ( — — - ^ — — — ) j [^-^-^.dt

+[^-^)jf7-l!!l^-^

^o \ 2 /

4- [c3/(/^) _ c'^-^].

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'UN FLUIDE G É N É R A L . ^3

Nous démontrerons que les fonctions w^ et les différences w^^ — w^ et leurs dérivées ont les propriétés suivantes quand t est assez petit :

a

i w^ | ^ o-i t¹-^, H^ (w^) ) ^ 0-2 ^^-p'^{- 2},

i 1 a

^) | ^ 0-3 ^ -^ ^a ( ^) ) ^ 0-4 <2 -a- 2, -a-0' wSJ^(7,r-^, Hîfw^^.Œ.t '^ l ^0^ rî ^^^xx) ^^^^ i 2

| ^+i)_ ^(^ l^p^^G"^¹"^ ^(w^¹)— w^^p.^^^"¹¹^¹"¹'"²',

| ^+1)- W^l^^^2"^2'^, ^^ a( ^+ l )- <^ )) ^ P 4 ^ ^v 2 - / + 2 -^- 2,

^(n+l) _ ^(n) \^P.^nfn\ï~^)~^ Hoi(w{n+i)—W{n}}^Q^\>ntn^~[L/^~^.

—XX " X X \ ^—— T ^ ' ^ 1 ^ - • • X \ ' ' X X - X X )—=. t -6

^ désigne le coefficient de Hôlder d'une fonction de x et ^ seulement comme fonction de x^ et p. est le nombre que nous utilisons dans ( i 5 ) ( |JL doit être

< - ) • Les constantes o-i, . . ., o-e et pi, . . ., (3e seront déterminées ci-dessous.

2 /

Pour employer (17) dans la démonstration par induction de (18) il faut avoir des bornes des valeurs absolues et des coefficients de Hôlder des différences O.W — a^-¹), tô^) — d3^-¹) etC^) — e'^-¹). Les quantités ¹ {0.^ 4- (^^{n~^vl), etc., ont les mêmes bornes, celles de ( 9 ) , que les quantités (fl<"), d3^ et C'^.

Considérons dl, d3 ou €' comme fonction ê(d;, .c, ^ ) , où ^ est un vecteur dont les composantes sont les composantes des quantités w, w^., j w dt et

^ 0

^t

w^dt. On a

-^o

j w^dt. On a

^ o

(19) ê^—ê^-1):^^^), ^, < ) — ê ( ^ ^ -1) , ^, t )

r^'às . r i^|

</4M»»^11- ¹ ^ ¹

où l'on entend par la valeur absolue la somme des valeurs absolues des composantes d'un vecteur (ou tenseur). Si nous posons

^)== (n — ),) ^^{/^}-^l)+ (i — n + ^) ^⁽ⁿ\

^)=^)(^,^,) et ^=^,àô

494

nous pouvons écrire H^^ôW— ê("-i))

=H-\ r ^ rr^-^i

L^-i ' ^ J

=HA r^-w

J. NASH.

—: sup

0 ^ / 1 ^ 2 ^

— siip —

0 ^ / 1 ^ / 2 ^ < a

r r^w, ^, ^) ^(w &^\ x,, t,

^ n—\ ' - ° h-

a l ^ l — — . r s ^ - h - | ^ - - ^ |2

^•(^),-.^),« ^{,^,}

J n-\ J t/A

/^ /l -rï /

+ / [( ^ )l - (&!-).] - ( ^ + ^'^ ) rfÀ

" n—l C'A \ J

^

l ^ i — . a ^ r + i ^ i — ^ [

Puisque ^ ^ ^ ) = = ^W — ^(^-D, on obtient enfin-^ Y ' — y — Y' , <-'" uuLieni e n n n

(20) ^a( ê (/ ^) — ê ^ -l) ) ^ ^ ^ l a x | ê ^ | " 1 / / a ( ^ ( ^ _ ^ ( / ^ - l ) ) L ^ ' J

+ max//^a(ê^) max | ^ⁿ}— ^(^-i)) [^

À

où m^x | ê^ ] et max^a(<5^) peuvent être bornées par le moyen des bornes de (n) qui donnent les mêmes résultats pour ^(x) que pour tout d^).

Pour démontrer (18), nous obtenons des bornes de w(^-i) et de w(^+i) — wW à l'aide des bornes de (18) de wW et de wW - w^\ puis nous montrons que ces bornes calculées ne sont pas plus grandes que celles de (18) si les constantes y, a,. . .^ Pi. . .(Sç de (18) ont des valeurs appropriées et si t est assez petit. D'abord, des équations ( 8 ) , ( i 5 ) et (16), on déduit

| w(^) \^c^ [ (t - t')-^ | max | tô | f1 ^t"-^ ^4- max | €' \\ dt'

J

^ \ L ^o J

^'^f, ^-^ /)^[^:^+^]^ et, par (9), [^a.t1-^ ] t^-\

^^[-T^-^-^-Ï-Z t^

^

^2^^^ ^ b-^l^

ou

( 2 1 ) ^+i) ^cr^i-P- quand t^^.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'UN FLUIDE GÉNÉRAL. 4g5

Le nombre ôi est une fonction de 0-5, mais o-^ ne dépend pas des constantes de (18). De même de ( 8 ) et ( i 3 ) on peut déduire

(

\ !

\

( 2 2 ) m a x ^ l ^ ^ l ) ^-^V2, ^n^)-+-H(x[t 2 , w^1)

/ a \

4-^^a(/+^ w^J^iK^t^ quand ^ ^ ^ , parce que le terme max | w^4-1) [ devient le terme le plus grand du côté droit de ( i 3 ) pour les valeurs petites de t. Le nombre ^2 est déterminé p a r l e s nombres &i, . . . et o-i, . . .. De ( 2 2 ) on obtient immédiatement

o-^ == cr^ == 2 K<J\ pour t^_^^.

Pour les fonctions bornées, à dérivées du deuxième ordre bornées, on a

Donc

| fx \ ^ c 0nax |/| max | /^ [ .

^+1 ) | ^ C \/^i^ ^ ~^= C \/2~ft 0-î f2 ^zzz ^ t2 -l1.

( l±a ^

De ce résultat et de H^\t 2 , w^1^ ^^Ka^t1-^ nous pouvons borner

^0(^+1)), S o i t o ^ ^ ^ ^ ^ ^ ; alors

^'^ | (t/^+l ) / /y, / \ œ^-l-1 ) / ' / ! - / '\ 1

,-T- |^ ( ^ , , ^ , ) - ^ ( ^ , ^ ^ | _ ^ ^ ^^*

61 ——————————————————————————————^——————^.4AC7i^

| ^î —— ^±\y'-^\tï —— ti \'1

et

,^{n+l) ( ^ f \ (Yi(^+l ) / ^ f \ | ^ ^ rr* / 2— k

^ ^2? ^ 2 ^ —— ^x {^^ ^ i ) | ^— 2CT.j fc

Donc

a l œ ^4'1) / ' ^ / ^ ix/71-1-1)/'^ / \\ 1 n

|, , \î \ w^ ^2. ^ 2 ; —— ^.r ( , - ^ l i < ' l ; ^ o ^ * ^ " ' ^

| Î 2 — — < 1 | ————————————————————————————^—————^:2(T:^fc„ î

[ ^ 2 — .rî-i l0'^- [ ^2— <i |2

et donc

1 _ r i _ i+a a - 7 a ^ ^ ( ^ + i ) ^ ^ 0 ^ 2 > supmin Â'o-*<2/ -2-

^ «+ 10 ^ 2 <2 a2 rs u p m i n [ ^ ^ , L 1 2 2^ ~ ^ , ^ | ^ - ^ ^TI

OU

1-0-°'

^ a ( ^ + D ) ^ o . ^ 2 k 2 ^

où o"^ est déterminé par K(J\ et par Œ^. Pareillement nous obtenons

i-a- a

^a(w(/^+l))^o•^ k 2.

Les valeurs obtenues pour o-^, . . . , cr^ ne dépendent pas de celles de o"i, .. ., o"c ; donc nous les utilisons pour définir les valeurs appropriées de

o-i, .. ., o-g, ainsi c^==o-;*. La valeur de 09, qui dépend de o-i, . . ., CT(.,, donne l'intervalle de temps pendant lequel valent les bornes associées à <7i, . . ., o-c.

Notons que ces bornes entraînent la validité de ( n ) pendant un intervalle de temps assez petit, soit o^t^à?^ et que ( n ) entraîne ( 9 ) . Ainsi la démon- stration par induction des bornes de (18) de w^ est complète.

Trouvons maintenant des bornes pour w^^— w^ moyennant des bornes de w^-1), w^), win+i) et w ^ ) — çv^-1). Estimons d'abord la valeur absolue et le coefficient de Hôlder des quatre derniers termes de (17) qui joueront le rôle de la fonction cp de (12) ou de (16) dans le calcul des bornes de

^(n+i)— w("); nous obtenons

( 2 8 ) t cp(") ^/^p:^-1^2^-7 1

et

H^t^^ ^ ^ A s ^ -1^2 7'4"1 quand t ^3,

où /?i et À, ne dépendent pas de (3i, . . . . pr,. C'est le terme C'W— C'^-^

de (17) qui devient le plus grand quand t est petit, et c'est w^— w(^~l} qui contribue le plus à la grandeur de C'^— C^-1) quand nous l'estimons p a r l e moyen de (18), de (19) et de ( 2 0 ) .

De ( 2 8 ) , comme pour (21), on obtient

(24) 1 W^^— W ^ I ^ / ^ P s ^ - -1/ ^2" ^1" " ' .

Avec ( 2 8 ) et (2/4) on peut appliquer (28) à (17) pour estimer la continuité et les dérivées de w^4"1)— w^\ ce qui donne

( 2 5 ) max^l^;1--^.!)

/ a \ / i+a -^-./^l t'2 w(/ ^+l)— W^

/ a \ / w \ 4-J9ra^2, w(/^+l)— w^)-+-ffoi\t 2 , w^^—w^)

-4- //a ( t^ ~2 w^^— W^ ) ^ ^ 6, Vn-l t1 ^ ~~^) +l-]l

-f- il \^L , Vy 3c3c — x x / ~— '-^ 1-3 î

quand t ^ ^4, où /^ ne dépend pas des nombres o-i et (3;, et où ^4 est déter- miné de la même manière que ôg, etc. Or le calcul de toutes les bornes pour çy[n+i)— ^{n} et ses dérivées s'accomplit exactement comme celui des bornes pour w^^. Tous les résultats prennent la forme p^^-^- Nous choisissons y de telle manière que (3^ == (So,, puis nous choisissons ^3 == 0-3 et

|3, == max ( o-,, c--3 ) • Les nombres o-, et (3, étant connus, les nombres ô, et l'intervalle de temps où les bornes sont valables seront déterminés.

Toutes les bornes de ^+1)— w^ sont de la forme (3A^2 / r? donc on voit que si v t2 k est assez petit, la suite { w^ { convergera vers une limite w

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'UN FLUIDE GÉNÉRAL. 497

qui est la solution de ( 7 ) et qui donne la solution de (i). De plus nous savons que la limite w aura certaines dérivées et certaines propriétés de continuité.

La convergence du procédé itératif nous donne aussi la démonstration de l'unicité de la solution, au moins dans la classe des solutions ayant des bornes semblables à celles de (18) pour w^. Il est évident que nous avons démontré l'existence et l'unicité de la solution seulement pour un intervalle de temps assez petit.

Il est également possible d'énoncer quelques conditions qui, tant qu'elles sont vérifiées, assurent l'existence continue de la solution. Si les quantités max | w [, max | w.^.|, Z ^ ( w ) , ff^Çw^) restent bornées (ici on peut remplacer w par v et T) et si ( p , T) reste toujours dans une sous-région compacte (comme /?i) de la région /?, alors la solution continue d'exister.

On peut aussi démontrer l'existence et l'unicité de la solution par la méthode de la transformée de Fourier, arrivant à un résultat qui exige des données initiales petites mais qui n'a pas besoin de continuité hôldérienne.

Dans cette méthode, à une fonction g{x^ t)^ nous associons g (^, ^ ) , la transformée par rapport à x. Un intervalle O ^ ^ ^ T de temps étant prescrit, nous posons ^ ( ^ ) = = max |^(^, ^) | et 1^* == ^ 1^1^. Le procédé dépend

O ^ ^ ^ T J

de l'obtention de bornes semblables à \g\* pour les fonctions qui entrent en jeu.

Si la mesure | |* est assez petite pour les fonctions / p o — lim oA

1 1 \ |a-|^ 11

/ P O — li"1 ^oV ( ^ o — lim TV), VQ^ et 7^ et si cette mesure est finie pour

\ |-r|>°° / 1 ^ 1 - ^ ° °

les fonctions po^ ^o^ et 7\^, alors il y aura une solution de (i) tant que test petit.

BIBLIOGRAPHIE.

[ 1] FRIEDMAN (Avner). — Interior estimâtes for parabolic Systems of partial differential équations, J . Math. and Mech.^ t. 7, igSS, p. 39.3-418.

[2] LANDAU (L. D.) and LirSic (E. M.). — Fluid mechanics [Translated from t l Mekhanika splosnykh sred, Izdanie vtoroe ". Moscou, IQ54]. — London, Pergamon Press, IQ^-

[3] POGORZELSKI (Withold). — Propriétés des solutions du système parabolique d'équa- tions aux dérivées partielles, Math. Scand.^ t. 6, 1958, p. 237-262.

[4] SERRIN (James). — Thé uniqueness of compressible fluid motions, Arch. for rat.

Mech. and Anal.. t. 3, 1959, p. 271-288.

(Manuscrit reçu le 19 janvier 1962).

John NASH, Institute for advanced Sludy, Princeton, N. J. (États-Unis.).