Analyse mathématique des mouvements des rigides dans un fluide parfait

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un fluide parfait

Jean-Gabriel Houot

To cite this version:

Jean-Gabriel Houot. Analyse mathématique des mouvements des rigides dans un fluide parfait.

Mathématiques générales [math.GM]. Université Henri Poincaré - Nancy 1, 2008. Français. �NNT :

2008NAN10146�. �tel-01748225�

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Universit´ e Henri Poincar´ e, Nancy-I D.F.D. Math´ ematiques

Analyse math´ ematique des mouvements des rigides dans un fluide parfait.

Th` ese

pr´ esent´ ee et soutenue publiquement le 27 Juin 2008

pour l’obtention du

Doctorat de l’Universit´ e Henri Poincar´ e - Nancy I

(Sp´ ecialit´ e Math´ ematiques appliqu´ ees) par

Jean Gabriel Houot

Composition du jury

• Eric Bonnetier, Professeur, Universit´ ´ e Joseph Fourier Grenoble,

• Dorin Bucur, Professeur, Laboratoire de Math´ ematiques CNRS Universit´ e de Savoie,

• Alexandre Munnier, Maitre de conf´ erences, Institut ´ Elie Cartan Universit´ e Henri Poin- car´ e Nancy 1,

• Lionel Rosier, Professeur, Institut ´ Elie Cartan Universit´ e Henri Poincar´ e Nancy 1,

• Marius Tucsnak (Directeur de th` ese), Professeur, Institut ´ Elie Cartan Universit´ e Henri Poincar´ e Nancy 1,

Rapporteurs

• Jean-Michel Coron, Professeur, Universit´ e Pierre et Marie Curie Paris VI

• Jean-Paul Zol´ esio, Directeur de recherche C.N.R.S., INRIA Sophia Antipolis

Institut ´ Elie Cartan Nancy

Remerciements

Mes premiers remerciements vont ` a mon directeur de th` ese Marius Tucsnak. Le connaissant depuis le d´ ebut de ma formation ` a l’Universit´ e Henri Poincar´ e, ce fut pour moi une immense joie de travailler sous sa direction. Je le remercie tout d’abord pour tout le temps qu’il m’a consacr´ e et pour avoir partager avec moi son immense exp´ erience scientifique. Je dois aussi souligner son enthousiasme, sa patience et son optimisme. Je lui suis extrˆ emement reconnaissant de m’avoir fait d´ ecouvrir diff´ erents domaines des math´ ematiques et de m’avoir fait rencontrer autant de personnes prestigieuses dans le monde des math´ ematiques appliqu´ ees. De simple remerciements ne suffiraient pas ` a montrer ma gratitude envers cet homme que je respect et admire. J’esp` ere pouvoir encore travailler avec lui dans le futur.

Jean-Michel Coron et Jean-Paul Zol´ esio m’ont fait l’immense honneur de rapporter cette th` ese. Je remercie ces personnes d’exception pour le temps qu’ils ont consacr´ e ` a ma th` ese et pour leurs soutiens et leurs encouragements qu’ils m’ont t´ emoign´ es.

Je remercie infiniment ´ Eric Bonnetier, Dorin Bucur, Alexandre Munnier et Lionnel Ro- sier qui m’ont fait l’honneur de participer ` a mon jury de th` ese. Je remercie particuli` erement Alexandre Munnier avec qui j’ai publi´ e mes premiers r´ esultats et qui reste un ami sinc` ere pour moi.

Je remercie l’ensemble du personnel de l’Institut ´ Elie Cartan pour leur soutien. Mes pens´ ees se tournent particuli` erement vers les membres de l’´ equipe EDP avec qui j’ai partag´ e mes premi` eres exp´ eriences dans le monde de la recherche.

Mes derniers remerciements vont aux th´ esards au laboratoire qui ont partag´ e mon quotidien.

Introduction vii

1 Mod´ elisation et notation. 1

1.1 Notations . . . . 1

1.2 Mod´ elisation . . . . 3

1.2.1 Les ´ equations des rigides . . . . 3

1.2.2 Les milieux d´ eformables . . . . 7

1.2.3 Le syst` eme fluide structure . . . . 10

1.2.4 Le cas des fluides potentiels . . . . 13

2 Mouvement du disque dans un demi-plan 19 2.1 Quelques rappels sur les transformations conformes . . . . 20

2.2 Etude du Lagrangien du syst` ´ eme . . . . 27

2.3 Influence de la paroi sur le mouvement . . . . 33

2.4 Etude du choc . . . . ´ 37

3 Espaces fonctionnels et probl` emes de Neumann 47 3.1 D´ efinitions de espaces de Sobolev . . . . 47

3.2 Une classe de diff´ eomorphismes . . . . 49

3.3 Produit et composition . . . . 53

3.4 Probl` eme de Neumann non homog` enes . . . . 55

3.4.1 Le cas des domaines born´ es . . . . 55

3.4.2 Le cas des domaines non born´ es . . . . 56

4 Probl` eme de Neumann d´ ependant d’un param` etre 59 4.1 Le cas des domaines born´ es . . . . 59

4.2 Le cas des domaines non born´ es . . . . 67

5 Cas potentiel 71 5.1 Existence et unicit´ e locale des solutions . . . . 71

5.2 Lien entre les diff´ erentes descriptions . . . . 76

6 Cas g´ en´ eral 85 6.1 Le r´ esultat principal . . . . 85

6.2 Pr´ eliminaires . . . . 86

6.3 D´ ecomposition de la pression . . . . 89

6.4 Une forme ´ equivalente du syst` eme . . . . 94

6.5 L S , L F sont localement Lipschitz . . . . 98

6.6 Preuve du r´ esultat principal . . . 106

Conclusions et perspectives 113

v

Durant ces dix derni` eres ann´ ees, de nombreux travaux ont ´ et´ e consacr´ e ` a l’´ etude des syst` emes fluide-structure. En a´ erodynamique, l’´ ecoulement de l’air autour d’une aile d’avion a ´ et´ e large- ment ´ etudi´ e. En biologie, ce type de probl` emes permet de d´ ecrire le mouvement d’ˆ etres vivants dans l’oc´ ean, par exemple la nage du dauphin ou le d´ eplacement d’organismes aquatiques. En m´ edecine, la circulation sanguine se d´ ecrit par l’´ ecoulement d’un fluide dans un tube dont la pa- roi est ´ elastique. Cette th` ese est consacr´ ee ` a l’analyse math´ ematique des ´ equations mod´ elisant le mouvement des solides rigides ` a l’int´ erieur d’un fluide parfait.

Pour donner une id´ ee de la probl´ ematique de cette th` ese, nous consid´ erons le probl` eme mod` ele d´ ecrivant le mouvement vertical d’un disque dans un fluide potentiel contenu dans un demi-plan.

0 1 2 3 4 5 6

−1 0 1 2 3 4 5

−1

h Ω h

La vitesse du fluide u est suppos´ ee ˆ etre le gradient d’une fonction ∇ Φ. Compte tenu de la condition d’incompressibilit´ e du fluide et de la continuit´ e de la vitesse normale ` a l’interface, Φ satisfait le probl` eme de Neumann suivant :

− ΔΦ(x) = 0 pour x ∈ Ω _h ,

∂ Φ

∂n (x) = 0 pour y = 0,

∂ Φ

∂n (x) = [ ˙ h(t) + ˙ θ(t)(x − h(t)) ^⊥ ] · n(t, x) pour x ² + (y − h) ² = 1,

o` u h = (h(t), 0) est la position du centre de gravit´ e du disque, θ est l’angle de rotation et (x, y) <sup>⊥</sup> = ( − y, x). Dans ce cas, il faut remarquer que le vecteur normale n sur le cercle est proportionnel ` a x − h(t). Ainsi la fonction Φ ne d´ epend que de h et ˙ h. Compte tenu du fait que la d´ ependance par rapport ` a ˙ h est lin´ eaire, la vitesse du fluide se r´ eduit ` a u = ˙ h ∇ Φ _h o` u Φ <sub>h</sub> est solution du probl` eme de Neumann

− ΔΦ _h (x) = 0 pour x ∈ Ω _h ,

∂Φ _h

∂ n (x) = 0 pour y = 0,

∂Φ _h

∂ n (x) = h − y pour x ² + (y − h) ² = 1.

vii

Dans ce cas l’unique degr´ e de libert´ e du syst` eme est la distance h du centre du disque ` a la paroi. Les ´ equations du mouvement se r´ eduisent ` a la conservation de l’´ energie cin´ etique E <sub>0</sub> du syst` eme fluide-structure

E _S + E _F = 1

2 m _S h ˙ ² + 1

2 K(h) ˙ h ² = E ₀ , o` u E _S = 1/2m _S h ˙ ² est l’´ energie cin´ etique du solide et

E _F = 1

2 K(h) ˙ h ² , avec K(h) = ρ _F

Ω _h |∇ Φ _h (x) | ² dx.

Ainsi nous obtenons l’´ equation diff´ erentielle ordinaire du syst` eme h ˙ = −

2E ₀ m _S + K(h) .

Une grande partie de cette th` ese consiste ` a ´ etudier la fonction K.

Une analyse rigoureuse de l’´ equation diff´ erentielle ordinaire ci-dessus passe par l’´ etude de la fonction K. Cette ´ etude n´ ecessite des techniques de d´ erivation par rapport au domaine. Dans le cas g´ en´ eral cet exemple est li´ e ` a l’´ etude du choc entre un disque et la paroi d’un demi plan qui contient un fluide potentiel. Plus pr´ ecis´ ement l’existence de contact ` a vitesse non nulle entre le disque et la paroi est conditionn´ ee par la propri´ et´ e

lim sup

h→ 1 K(h) < + ∞ .

Cette propri´ et´ e sera prouv´ ee dans la suite. Notons que dans le cas des syst` emes fluide-structure pour des fluides visqueux les travaux de San Mart´ın, Starovoitov et Tucsnak [41], Hesla [29], Hillairet [30] et V´ azquez et Zuazua [43] conduisent ` a la non existence de v´ eritable choc. Cet exemple simple et les g´ en´ eralisations ` a des cas plus complexes, nous ont conduit vers diff´ erents domaines des math´ ematiques : la d´ erivation par rapport au domaine, l’´ etude des probl` emes de Neumann pour des domaines ext´ erieurs, le lien entre les fonctions holomorphes et les probl` emes de Laplace et bien d’autres encore.

Dans un premier temps nous g´ en´ eraliserons le cas simple du disque ci-dessus au mouvement quelconque des solides dans un fluide dont le champ de vitesse est un gradient (fluide potentiel).

Dans ce cas le syst` eme est mod´ elis´ e par des ´ equations diff´ erentielles ordinaires, ce fait ´ etant remarqu´ e par Kelvin et Kirchhoff o` u ils ont consid´ er´ e le cas de solides rigides dans un fluide remplissant tout l’espace. Dans ce cas les ´ equations du syst` eme se r´ eduisent ` a une ´ equation diff´ erentielle ordinaire sur une vari´ et´ e de dimension finie. Nous pouvons consulter les livres de Lamb [34] et Milne et Thomson [37] pour plus de d´ etails sur cette th´ eorie. Plus r´ ecemment Kanso, Marsden, Rowley and Melli-Huber [33] ont appliqu´ e cette th´ eorie ` a l’autopropulsion des solides dans un fluide parfait.

Dans un deuxi` eme temps nous regardons le fluide comme un fluide parfait, incompressible et homog` ene dont le mouvement est d´ ecrit par l’´ equation d’Euler et nous d´ etaillerons le mou- vement de solides rigides dans un tel fluide. ` A notre connaissance Rosier, Takahashi et Ortega, dans [39] et [40], sont les seuls ` a proposer des r´ esultats sur ce type de syst` eme fluide-structure.

Ils ´ etudient le cas d’un unique solide qui est contenu dans un fluide remplissant tout l’espace.

Le cas des fluides visqueux, que nous ne traitons pas ici, a ´ et´ e ´ etudi´ e par de nombreux

auteurs. Pour le cas des solides rigides nous pouvons citer les travaux de Desjardins et Esteban

[16], San Mart´ın, Starovoitov et Tucsnak [41], Conca, San Mart´ın, et Tucsnak [11], Feireisl [20]

ou de Gunnzburger, Lee et Seregin [24]. Nous pouvons aussi souligner les travaux de Galdi [21] pour l’´ etude de l’autopropulsion de solides dans un fluide visqueux. Dans le cas des solides d´ eformables, il y a de r´ ecent travaux qui ont ´ et´ e entrepris par Coutand et Shkoller [15] et [14] , Chambolle, Desjardins, Esteban et Grandmont [10], Desjardins, Esteban, Grandmont et Le Tallec [17], Boulakia [6]. Enfin nous pouvons souligner une approche originale d´ evelopp´ ee dans le livre de Moubachir et Zol´ esio [38] o` u ils ´ etudient des probl` emes de surfaces libres, de fractures, de contacts ou de contrˆ ole pour les syst` emes fluide-structure.

Enfin une ´ etude particuli` ere que nous abordons ici est l’´ etude des chocs. Nous rappelons que les travaux de San Mart´ın, Starovoitov et Tucsnak [41], Hesla [29], Hillairet [30] et V´ azquez et Zuazua [43] montrent, dans le cas des fluides visqueux, le manque de collisions entre les solides ou entre un solide et la paroi. Cependant dans notre exemple nous obtenons plusieurs configurations de choc o` u les vitesses de chocs sont non nulles et o` u le temps de choc est born´ e.

Nous pouvons donner une estimation assez pr´ ecise de l’instant du choc et calculer exactement la vitesse de choc ` a cet instant. Enfin nous regarderons aussi la continuit´ e du probl` eme de Neumann quand le disque touche la paroi.

Dans le cas des fluides potentiels nous utilisons des mod` eles inspir´ es par le livre de Lamb.

L’analyse math´ ematique de ces mod` eles requiert l’´ etude des familles de probl` emes de Neumann pour le Laplacien qui d´ ependent des positions des solides. Nous obtenons donc un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ordinaires sur une vari´ et´ e de dimension finie dont les coefficients s’ex- priment en fonctions des solutions de certains probl` emes de Neumann. En utilisant la th´ eorie de la d´ erivation par rapport au domaine, nous pouvons appliquer le th´ eor` eme de Cauchy Lipschitz pour montrer l’existence et l’unicit´ e locale de la solution. La forme des r´ esultats obtenus permet de traiter le cas de plusieurs solides contenus dans fluide dont le domaine est un domaine born´ e, un domaine ext´ erieur ou un demi-plan.

Dans le cas g´ en´ eral, nous adaptons les m´ ethodes de Bourguignon et Br´ ezis [8] et Ebin et Marsden [19] au cas du mouvement de solides rigides. Nous montrons ici l’existence et l’unicit´ e locale d’une solution forte pour un ensemble de conditions initiales bien choisi. Avec une ´ etude fine de la pression du fluide, nous montrons que le syst` eme d’´ equations est ´ equivalent ` a un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ordinaires sur une vari´ et´ e de dimension infinie. Nous obtenons ainsi le comportement de la solution en fonction des donn´ ees initiales. Nous remarquons ici que les outils d´ evelopp´ es pour l’´ etude du cas potentiel sont encore utilis´ es. Grˆ ace ` a l’utilisation du probl` eme de Neumann et de la th´ eorie de l’optimisation de forme, nous pouvons r´ eduire notre

´

etude ` a un unique solide et g´ en´ eraliser ce cas pour un nombre quelconque de rigides comme dans le cas potentiel. Cela permet entre autre de traiter simplement le cas de plusieurs solides dans un domaine de fluide born´ e.

Concernant les chocs, nous ´ etudions le mouvement d’un disque dans un fluide potentiel

contenu dans un demi-plan. Cette ´ etude est li´ ee ` a l’´ etude des probl` emes de Neumann dans R ² .

Grˆ ace ` a la th´ eorie des fonctions holomorphes, nous d´ ecrivons le mouvement du disque et nous

obtenons pr´ ecis´ ement les conditions de chocs et ainsi qu’une expression exacte de l’instant du

choc via une formule int´ egrale. Enfin nous ´ etudions le mouvement vertical du disque o` u nous

montrons la continuit´ e du probl` eme de Neumann associ´ e au mouvement du disque.

Mod´ elisation et notation.

1.1 Notations

Nous introduisons ici les principales notations utilis´ ees dans cet ouvrage. Fixons n ≥ 2 un entier. Les vecteurs colonnes de R ⁿ seront not´ e en gras, v = (v _i ) (i=1,...,n) . Le produit scalaire entre deux vecteurs a et b de R ⁿ est not´ e :

a · b = n

i =1

a _i b _i .

Pour a et b dans R ³ , nous d´ efinissons le produit vectoriel par a ∧ b =

⎛

⎝ a ₂ b ₃ − a ₃ b ₂ a ₃ b ₁ − a ₁ b ₃ a ₁ b ₂ − a ₂ b ₁

⎞

⎠ .

Enfin la norme euclidienne d’un vecteur est not´ ee par | a | = ( ⁿ _{i =1} a ² _i ) ^{1 / 2} . De plus pour un nombre complexe z, sa norme euclidienne se confond avec son module | z | = (x ² + y ² ) ^{1 / 2} o` u z = x + iy avec x, y ∈ R .

Nous notons M n ( R ) l’ensemble des matrices carr´ ees de taille n ` a coefficients dans R . Les matrices seront g´ en´ eralement not´ ees entre crochets comme ceci :

[A] = (a _i,j ) (i,j=1,...,n) ,

pour les diff´ erencier des vecteurs. Cependant pour all´ eger certaines notations nous noterons quelques matrices sans crochets. Pour tout A ∈ M n ( R ), nous notons A ^∗ = ((a _j,i ) _{( i,j =1 ,...,n )} ) sa matrice transpos´ ee, det(A) son d´ eterminant et coff(A) sa matrice des cofacteurs. Si det(A) = 0,

A ^{− 1} = 1

det(A) coff(A) ^∗

est la matrice inverse de A. Le sous-groupe des matrices inversibles sera not´ e GL _n ( R ) et la matrice identit´ e de R ⁿ sera not´ e Id _n . Pour k = 2, 3, le sous-groupe de M k ( R ) des matrices orthogonales et de d´ eterminant 1 :

SO _k = { A ∈ M k ( R ) | AA ^∗ = Id _k et det(A) = 1 } , d´ efinit l’ensemble des rotations pr´ eservant l’orientation sur R ^k .

Soient k ≥ 1 un entier et Ω un ouvert de R ⁿ . Pour tout multi-indice α = (α ₁ , . . . , α _n ) ∈ N ⁿ et toute fonction p : Ω → R , suffisamment r´ eguli` ere ,nous posons :

x ^α ∂ ^α p(x) = x ^α ₁ ¹ . . . x ^α _n ⁿ ∂ ^|α| p(x)

∂x ^α ₁ ¹ . . . ∂x ^α _n ⁿ ,

1

o` u | α | = <sup>n</sup> <sub>i =1</sub> α <sub>i</sub> . Pour toutes fonctions f : Ω → R <sup>k</sup> et u : Ω → R <sup>n</sup> , suffisamment r´ eguli` eres, nous posons les op´ erateurs :

[D _x f (x)] = ∇ x f (x) =

∂f _j

∂x _i (x)

1 ≤i≤n, 1 ≤j≤m

, div(u(x)) =

n i=1

∂u _i

∂x _i (x), Δf (x) =

_n

i=1

∂ ² f _j

∂x ² _i (x)

j =1 ,...,k

,

((u · ∇ ) f ) (x) = _n

i=1

u _i (x) ∂f _j

∂x _i (x)

j =1 ,...,k

,

pour tout x = (x ₁ , . . . , x _n ) ∈ Ω.

Nous rappelons la d´ efinition de quelques espaces classiques de fonctions. Pour un ouvert Ω, nous notons

D(Ω) = { φ | φ ind´ efiniment diff´ erentiable sur Ω et ` a support compact dans Ω } . Son dual est l’espace des distributions sur Ω not´ e D (Ω).

Pour n = 2, nous identifierons le plan complexe C ` a l’espace R ² . Ainsi tout ouvert O ⊂ C sera un ouvert de R . De plus toute fonction holomorphe F = F ₁ +iF ₂ sur O sera aussi vue comme une fonction de deux variables r´ eelles et pour tout z = x+iy dans O , F(z) = F ₁ (x, y)+iF ₂ (x, y).

Nous rappelons les ´ equations de Cauchy-Riemann :

∂F ₁

∂x = ∂F ₂

∂y , ∂F ₁

∂y = − ∂F ₂

∂x .

Pour tout z ∈ O , F (z) sera la d´ eriv´ ee de la fonction F au point z et cette d´ eriv´ ee est d´ efini par l’op´ erateur :

F (z) = 1 2

∂ F

∂x (x, y) − i ∂ F

∂y (x, y)

.

De plus en appliquant les ´ equations de Cauchy-Riemann, nous avons les relations suivantes : F (z) = ∂ F

∂x (x, y) = i ∂F

∂y (x, y).

Nous introduisons quelques notations pour l’´ etude des ´ equations diff´ erentielles ordinaires. Soient T > 0 et E ₁ E ₂ deux espaces de Banach. Pour toutes applications q : [0, T ] → E ₂ et η : [0, T ] × E ₁ → E ₂ , nous notons par :

˙

q(t) = dq

dt (t) , q(t) = ¨ d ² q dt ² (t),

˙

η(t, y) = ∂η

∂t (t, y) , η(t, y) = ¨ ∂ ² η

∂t ² (t, y)

pour tout (t, y) ∈ [0, T ] × E ₁ . Enfin pour terminer cette section nous donnons la d´ efinition des

ouverts Ω de classe C ^k . Nous commen¸cons par introduire les ensembles : Q =

x ∈ R ⁿ

n− 1

i=1

x ² _i < 1 et | x _n | < 1

,

Q ₊ =

x ∈ R ⁿ

n− 1

i =1

x ² _i < 1 et 0 < x _n < 1

, Q ₀ =

x ∈ R ⁿ

n− 1

i=1

x ² _i ≤ 1 et x _n = 0

.

L’ouvert born´ e Ω est dit de classe C ^k si pour tout x ∈ ∂ Ω il existe un voisinage V de x dans R ⁿ et une application φ : Q → V bijective telle que

φ ∈ C ^k (Q), φ ^{− 1} ∈ C ^k (V ), φ(Q ₊ ) = V ∩ Ω et φ(Q ₀ ) = V ∩ ∂ Ω.

1.2 Mod´ elisation

Le but de cette partie est de rappeler les ´ equations classiques d’un fluide parfait et du mouvement des solides rigides contenus dans ce dernier. D’une part le mouvement du fluide parfait sera d´ ecrit par les ´ equations d’Euler alors que le mouvement des solides est r´ egi par les ´ equations classiques de Newton et de la conservation du moment cin´ etique. Dans le cas particulier o` u la vitesse du fluide est un gradient, les ´ equations du syst` emes se simplifient ` a un syst` eme dynamique de dimension finie. Ce syst` eme peut ˆ etre obtenu directement ` a partir des

´

equations de la m´ ecanique des fluides ou par une approche de type m´ ecanique analytique.

1.2.1 Les ´ equations des rigides

Dans cette partie nous pr´ esentons une description du mouvement d’un solide rigide. Nous fixons un entier n ∈ { 2, 3 } et Ω est un domaine de R ⁿ . ` A l’instant t = 0 le domaine occup´ e par le solide est S. La trajectoire du solide est d´ etermin´ ee par les fonctions h ∈ C <sup>2</sup> ([0, T ]; R <sup>n</sup> ), et R ∈ C <sup>2</sup> ([0, T ]; SO <sub>n</sub> ( R )), repr´ esentant la trajectoire du centre de masse et respectivement la variation en temps de la matrice de rotation du solide. Ainsi la position du point y ∈ S ` a l’instant t ∈ [0, T ] est d´ efinit comme

x = h(t) + R(t)(y − h ₀ ),

o` u h <sub>0</sub> est le centre de gravit´ e du solide ` a l’instant t = 0 d´ efinie par h ₀ = 1

vol(S)

S

xdx.

En d´ efinissant la famille de domaine (S(t)) _{t∈ [0 ,T ]} par

S(t) = { x ∈ R ⁿ | x = h(t) + R(t)(y − h ₀ ) ∀ y ∈ S } , Nous remarquons que h(t) est la position du centre de gravit´ e du solide S(t)

h(t) = 1 vol(S(t))

S(t)

xdx.

Dans la suite des calculs nous aurons besoin de param´ etrer les vari´ et´ es SO _n ( R ) pour n = 2 et

n = 3. Nous commen¸cons par d´ ecrire le cas n = 3 car le cas n = 2 peut ˆ etre vu comme un

cas particulier. Une param´ etrisation locale des ´ el´ ement de SO ₃ ( R ) est donn´ ee par les angles d’Euler (voir par exemple le livre de Goldstein [23, page 603]). Nous introduisons la base des matrices antisym´ etriques :

[A ₁ ] =

⎛

⎝ 0 0 0 0 0 − 1

0 1 0

⎞

⎠ [A ₂ ] =

⎛

⎝ 0 0 1

0 0 0

− 1 0 0

⎞

⎠ [A ₃ ] =

⎛

⎝ 0 − 1 0

1 0 0

0 0 0

⎞

⎠ .

En remarquant que pour tout t ∈ R les matrices exp(tA _i ) sont les rotations d’axes e _i et d’angle t, pour i = 1, 2, 3.

exp(t[A ₁ ]) =

⎛

⎝ 1 0 0 0 cos(t) − sin(t) 0 sin(t) cos(t)

⎞

⎠ , exp(t[A ₂ ]) =

⎛

⎝ cos(t) 0 sin(t)

0 1 0

− sin(t) 0 cos(t)

⎞

⎠ ,

exp(t[A ₃ ]) =

⎛

⎝ cos(t) − sin(t) 0 sin(t) cos(t) 0

0 0 1

⎞

⎠ ,

nous d´ efinitions l’application R , de classe C ^∞ sur R ³ par : R : R ³ → SO ₃ ( R ),

θ = (θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ ) → [ R (θ)] = exp(θ ₁ [A ₁ ]) exp(θ ₂ [A ₂ ]) exp(θ ₃ [A ₃ ]). (1.1) Pour U =] − π, π[ × ] − π/2, π/2[ × ] − π, π[, il existe un voisinage V de Id ₃ dans SO ₃ ( R ) tel que (U, V, R ) forme une carte locale de classe C ^∞ au voisinage de Id ₃ . De mˆ eme pour tout [R] ∈ SO ₃ ( R ), il existe un voisinage V _{[ R ]} de [R] dans SO ₃ ( R ) tel que l’application

θ ∈ U → R (θ)[R]

forme une carte locale de SO ₃ ( R ) au voisinage de [R]. Les coordonn´ ees (θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ ) sont les angles d’Euler. Pour tout θ ∈ U la diff´ erentielle de R au point θ est donn´ ee par :

∂ R

∂θ ₁ (θ) = [B ₁ (θ)][ R (θ)], ∂ R

∂θ ₂ (θ) = [B ₂ (θ)][ R (θ)],

∂ R

∂θ ₃ (θ) = [B ₃ (θ)][ R (θ)],

o` u les matrices antisym´ etriques [B ₁ (θ)], [B ₂ (θ)] et [B ₃ (θ)] sont d´ efinies par

[B ₁ (θ)] = [A ₁ ], (1.2a)

[B ₂ (θ)] = exp(θ ₁ [A ₁ ])[A ₂ ] exp( − θ ₁ [A ₁ ]), (1.2b) [B ₃ (θ)] = exp(θ ₁ [A ₁ ]) exp(θ ₂ [A ₂ ])[A ₃ ] exp( − θ ₁ [A ₁ ]) exp( − θ ₂ [A ₂ ]). (1.2c) Ainsi pour tout vecteur Φ ∈ R ³ , la diff´ erentielle de R en θ appliqu´ ee ` a un vecteur Φ devient

[D R (θ)](Φ) = [A(w(Φ))][ R (θ)], (1.3)

o` u la matrice est d´ efinie comme [A(w)] =

⎛

⎝ 0 − w ₃ w ₂ w ₃ 0 − w ₁

− w ₂ w ₁ 0

⎞

⎠ = w ₁ [A ₁ ] + w ₂ [A ₂ ] + w ₃ [A ₃ ], pour tout w ∈ R ³ . (1.4)

et le vecteur w(Φ) est donn´ ee par la formule :

w(Φ) =

⎧ ⎨

⎩

w(Φ) ₁ = Φ ₁ + Φ ₃ sin(θ ₂ ),

w(Φ) ₂ = Φ ₂ cos(θ ₁ ) − Φ ₃ sin(θ ₁ ) cos(θ ₂ ), w(Φ) ₃ = Φ ₂ sin(θ ₁ ) + Φ ₃ cos(θ ₁ ) cos(θ ₂ ),

Ainsi pour tout R ∈ C ² ([0, T ]; SO ₃ ( R )) il existe une unique fonction w ∈ C ² ([0, T ]; R ³ ) telle que [ ˙ R(t)]x = [A(w(t))][R(t)]x = w(t) ∧ [R(t)]x pour tout x ∈ R ³ . (1.5) Le vecteur w est la vitesse angulaire de [R]. Dans certain cas il est plus agr´ eable de ne pas passer par les angles d’Euler car l’´ equation matricielle (1.5) suffit ` a d´ eterminer la matrice [R]

si l’on connaˆıt le vecteur w.

Le cas n = 2 peut ˆ etre vu comme un cas particulier de la dimension 3. En effet si nous supposons que le mouvement reste dans le plan (xOy), les matrices de rotations s’´ ecrivent donc :

[ R (θ)] = exp(θ[A ₃ ]) =

⎛

⎝ cos(θ) − sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) 0

0 0 1

⎞

⎠ .

De plus pour toutes fonctions θ ∈ C ¹ ([0, T ]; R ), la d´ eriv´ ee de la matrice t → [ R (θ(t))] se r´ eduit

` a

d[ R (θ(t))]

dt = θ(t)[A ˙ ₃ ][R(θ(t))].

En prenant la restriction du mouvement au plan (xOy), la matrice de rotation devient : [ R (θ)] =

cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ)

, de plus sa d´ eriv´ ee se simplifie par

d[ R (θ(t))]

dt = θ(t)[A ˙ ₀ ][R(θ(t))]

o` u la matrice antisym´ etrique A ₀ est d´ efini par : [A ₀ ] =

0 − 1

1 0

. (1.6)

Ainsi nous pouvons d´ efinir deux sortes de vitesse. La vitesse Lagrangienne du solide S(t) est un champ de vecteur sur S(0) d´ efini par :

v(t, y) =

h(t) + [A(w(t))][R(t)](y ˙ − h ₀ ) = ˙ h(t) + w(t) ∧ [R(t)](y − h ₀ ) pour n=3, h(t) + ˙ ˙ θ(t)[A ₀ ][R(θ(t))](y − h ₀ ) pour n=2, pour tout y ∈ S, alors que la vitesse Eul´ erienne du solide est d´ efinie par :

v(t, x) =

h(t) + [A(w(t))](x ˙ − h(t)) = ˙ h(t) + w(t) ∧ (x − h(t)) pour n=3, h(t) + ˙ ˙ θ(t)[A ₀ ](x − h(t)) pour n=2, pour tout x ∈ S(t).

Pour connaˆıtre le mouvement des solides, nous appliquons les lois fondamentales de la

dynamique. Nous commen¸cons par d´ efinir certaines quantit´ es qui caract´ erisent les solides, sa

masse et sa matrice d’inertie. Nous notons par ρ _S la densit´ e du solide qui est suppos´ ee constante et m _S est la masse du solide S qui s’exprime grˆ ace ` a la formule

m _S =

S

ρ _S dx = ρ _S Vol(S).

La matrice d’inertie [J(t)] du solide S(t) se d´ efinit par rapport ` a un point fix´ e de l’espace.

Cette matrice se simplifie si nous la calculons par rapport au centre de gravit´ e du solide et nous distinguons les cas n = 2 et n = 3. Dans le cas n = 3, [J(t)] s’exprime avec la formule :

[J (t)]a · b =

S ( t )

ρ _S [a ∧ (x − h(t))] · [b ∧ (x − h(t))] dx pour tout a, b ∈ R ³ . (1.7) De plus si nous posons

[J ₀ ]a · b =

S (0)

ρ _S [a ∧ (y − h ₀ )] · [b ∧ (y − h ₀ )] dy (1.8) les matrices [J(t)] et [J ₀ ] sont unis par la relation :

[J (t)] = [R(t)][J ₀ ][R(t)] ^∗ . En effet pour tout a, b ∈ R ³ , [J(t)]a · b se simplifie par

[J(t)]a · b =

S ( t )

ρ _S [a ∧ (x − h(t))] · [b ∧ (x − h(t))] dx,

=

S 0

ρ _S [a ∧ R(t)(y − h ₀ )] · [b ∧ R(t)(y − h ₀ )] dx

=

S 0

ρ _S [[R(t)] ^∗ a ∧ (y − h ₀ )] · [[R(t)] ^∗ b ∧ (y − h ₀ )] dx

= [J ₀ ]([R(t)] ^∗ a) · ([R(t)] ^∗ b),

= ([R(t)] [J ₀ ] [R(t)] ^∗ a) · b.

La matrice [J(t)] est sym´ etrique d´ efinie positive si le solide n’est pas une tige d’´ epaisseur nulle.

De plus grˆ ace ` a la formule (1.5) la d´ eriv´ ee de la matrice [J (t)] est donn´ ee par la formule : d

dt [J(t)] = d

dt ([R(t)][J ₀ ][R ^∗ (t)]) , (1.9)

= [A(w(t))][R(t)][J ₀ ][R ^∗ (t)] + [R(t)][J ₀ ]([A(w(t))][R(t)]) ^∗ , (1.10)

= [A(w(t))][R(t)][J ₀ ][R ^∗ (t)] + [R(t)][J ₀ ]([R ^∗ (t)][ − A(w(t))]), (1.11) d

dt [J(t)] = [A(w(t))][J(t)] − [J(t)][A(w(t))]. (1.12) Pour le cas n = 2 la matrice [J (t)] se r´ eduit ` a un scalaire d´ efini par l’int´ egrale

J (t) =

S ( t )

ρ _S x − h(t) ² dx =

S

ρ _S y − h ₀ ² dy. (1.13) Pour cela nous prenons a = (0, 0, a) et b = (0, 0, b) dans la formule (1.7). De plus dans ce [J(t)]

ne d´ epend pas du temps.

Pour ´ enoncer les lois de la dynamique nous devons faire le bilan des forces ext´ erieurs qui

s’appliquent sur le solide S. Dans cette ouvrage nous supposerons qu’il existe deux types de

forces. Nous notons par (t, x) → g(t, x) les forces volumiques qui agissent sur S(t) alors que

(t, x) → f (t, x) correspond aux forces de surface agissant sur le bord du solide S(t). Nous

´

enon¸cons les lois de la dynamique pour le solide S sous la forme : m _S h(t) = ¨

S(t)

g(t, x)dx +

∂S(t)

f (t, x)dx pour tout t ∈ [0, T ], (1.14)

d

dt ([J(t)]w(t)) =

S ( t )

(x − h(t)) ∧ g(t, x)dx +

∂S ( t )

(x − h(t)) ∧ f (t, x)dx, pour n = 3.

[J(t)]¨ θ(t) =

S(t)

[A ₀ (x − h(t))] · g(t, x)dx +

∂S ( t )

[A ₀ ](x − h(t)) · f (t, x)dx, pour n = 2, (1.15) De plus la d´ eriv´ ee [J(t)]w(t) peut s’´ ecrire

d

dt ([J(t)]w(t)) = [J (t)] ˙ w(t) + w(t) ∧ [J(t)]w(t).

Ainsi le cas n = 3 devient

[J(t)] ˙ w(t) = [J(t)]w(t) ∧ w(t) +

S ( t )

(x − h(t)) ∧ g(t, x)dx +

∂S ( t )

(x − h(t)) ∧ f (t, x)dx. (1.16) Nous ajoutons les conditions initiales suivantes

h(0) = h ₀ , h(0) = ˙ k ₀ , R(0) = Id ₃ , w(0) = w ₀ , pour n = 3

θ(0) = 0 ˙ θ(0) = α, pour n = 2 (1.17) o` u k ₀ ∈ R ⁿ , w ₀ ∈ R ³ et α ∈ R . Une autre m´ ethode pour obtenir les ´ equations du mouvement des rigides est l’utilisation de la m´ ecanique analytique (voir le livre d’Arnold [5]).

1.2.2 Les milieux d´ eformables

Nous rappelons ici quelques principes de la m´ ecanique des milieux d´ eformables qui permet- tront de d´ ecrire le mouvement d’un fluide. Ces propri´ et´ es sur les milieux d´ eformables vont nous conduire aux ´ equations d’Euler pour un fluide parfait. Soient T > 0 et (F (t)) _{t∈ [0 ,T ]} une famille de domaines dans R ⁿ . Le mouvement du milieu continu F (0) est connu si nous connaissons l’en- semble des bijections entre F (0) et F (s) pour tout s ∈ [0, T ]. De plus pour d´ ecrire le mouvement nous pouvons utiliser soit un rep` ere fix´ e ou soit un rep` ere li´ e ` a la trajectoire des particules du milieu d´ eformable. Nous notons par (X(t, · )) _{t∈ [0 ,T ]} l’ensemble des bijections de F (0) sur F (t) pour tout s ∈ [0, T ]. L’ensemble des applications inverses est not´ e par (Y(t, · )) _{t∈ [0,T ]} . Ainsi pour tout x ∈ F (t), il existe y ∈ F (0) tel que x = X(t, y) et de mˆ eme pour tout y ∈ F (0), il existe x ∈ F (t) tel que y = Y(t, x).

Nous pouvons d´ efinir deux types de vitesse de particules. Le champ des vitesses lagran- giennes est

v(t, y) = ∂

∂t X(t, y) pour tout y ∈ F (0),

alors que le champ de vitesse Eul´ eriennes est

u(t, x) = v(t, Y(t, x)) pour tout x ∈ F (t).

Dans la plupart des probl` emes concernant les fluides, la vitesse Eul´ erienne est beaucoup plus employ´ ee que la vitesse Lagrangienne. Cette consid´ eration provient surtout de la physique car il est plus facile de d´ eterminer la vitesse en un point fixe de l’espace alors que suivre un point dans son mouvement est beaucoup plus d´ elicat.

Nous rappelons certaines propri´ et´ es sur les applications d´ efinies sur F (t) et nous en d´ eduirons les ´ equations du mouvement pour un fluide parfait incompressible. Pour toute application k ∈ C ¹ ([0, T ] × R ⁿ , R ), nous d´ efinissons la d´ eriv´ ee particulaire de k par l’op´ erateur :

D _t k(t, x) = ∂

∂t k(t, x) + (u · ∇ )k(t, x), t ∈ [0, T ] et x ∈ F (t) o` u u est la vitesse Eul´ erienne du domaine F (t). En d´ efinissant la quantit´ e K(t) par

K(t) =

F(t)

k(t, x)dx,

la d´ eriv´ ee par rapport ` a t de K(t) est fournie par la formule de transport de Reynolds (voir par exemple Gurtin [25, page 78]) :

K (t) =

F (t)

∂k

∂t (t, x) + div(k(t, x)u(t, x))

dx

=

F ( t )

∂k

∂t (t, x)dx +

∂F ( t )

k(t, x)(u(t, x) · n(t, x))dx, (1.18) o` u u est la vitesse Eul´ erienne du domaine F (t). Nous donnerons dans la suite une justification de cette formule qui est r´ esum´ ee dans le Corollaire [28, 5.2.5 page 173]. Toutes ces propri´ et´ es vont nous permettre de rappeler les lois de conservation pour un corps d´ eformable. Dans la suite nous consid´ erons Ω ₀ un corps d´ eformable et (Ω(t)) _{t∈ [0 ,T ]} une description de son mouvement.

Nous regardons le d´ eplacement d’une partie F ₀ ∈ Ω ₀ et nous notons par F (t) _{t∈ [0,T]} le mouvement de cette partie dans Ω(t).

Conservation de la masse : Pour la famille de domaine (F (t)) _{t∈ [0 ,T ]} , nous notons ρ(t, x) la densit´ e particulaire au point x ∈ F (t) pour tout t ∈ [0, T ]. La masse de associ´ ee au domaine F (t) est donn´ ee par :

m(F (t)) =

F ( t )

ρ(t, x)dx.

La conservation de la masse s’´ ecrit sous la forme : d

dt m(F (t)) = 0,

et en appliquant la formule de Reynolds (1.18), nous obtenons la relation :

F ( t )

∂ρ

∂t (t, x) + div(ρu)(t, x)

dx = 0.

Comme cette int´ egrale est nulle pour toute partie F (t), la loi de la conservation de la masse se r´ eduit ` a l’´ equation

∂ρ

∂t (t, x) + div(ρu)(t, x) = 0 pour tout x ∈ Ω(t) et t ∈ [0, T]. (1.19)

L’´ equation ci-dessus est appel´ ee ´ equation de continuit´ e.

Conservation de la quantit´ e de mouvement : La quantit´ e de mouvement d’une partie F (t) s’´ ecrit comme :

p(t) =

F(t)

ρ(t, x)u(t, x)dx.

Les forces agissant sur la partie F (t) se restreignent aux forces de densit´ e volumique donn´ ee par le champ de vecteur f (t, x) (par exemple la gravit´ e) et par la densit´ e des forces de surface s(t, x), d´ efinie sur ∂F (t). Le th´ eor` eme de Cauchy (voir [25, page 98-102]) assure l’existence d’une application σ(t, · ) : F (t) → M n (R), appel´ e le tenseur de Cauchy telle que :

s(t, x) = σ(t, x)n(t, x) et σ ^∗ (t, x) = σ(t, x) pour tout x ∈ ∂F (t) et t ∈ [0, T ],

o` u n(t, x) est le vecteur normal sur ∂F (t) au point x diriger vers l’ext´ erieur du domaine F (t).

Ainsi la conservation de la quantit´ e de mouvement devient d

dt

F (t)

ρ(t, x)u(t, x)dx

=

F(t)

f (tx)dx +

∂F (t)

σ(t, x)n(t, x)dσ _x .

De plus en combinant la formule de Reynolds (1.18) et la conservation de la masse, la conser- vation de la quantit´ e de mouvement se r´ eduit ` a

F ( t )

(ρ(t, x)D _t (u(t, x)) − f (t, x) − div(σ(t, x))) dx = 0.

Ainsi la derni` ere loi de conservation est ´ equivalente ` a ρ(t, x)

∂

∂t u(t, x) + (u · ∇ ) u(t, x)

= div(σ(t, x)) + f (t, x) x ∈ Ω(t), t ∈ [0, T]. (1.20) Les ´ equations (1.19) et (1.20) sont valables pour tout corps d´ eformable.

Nous allons maintenant consid´ erer le cas d’un fluide parfait incompressible. L’incompressi- bilit´ e du fluide se traduit par l’´ equation de conservation du volume de toute partie du fluide F (t), donc V ol(F (t)) = V ol(F (0)) pour tout t ∈ [0, T ]. En calculant la d´ eriv´ ee par rapport au temps t de la derni` ere ´ egalit´ e et en appliquant la formule de Reynolds (1.18), nous obtenons

d

dt (V ol(F (t))) =

F ( t )

div(u(t, x))dx = 0 La forme locale de la conservation du volume s’´ ecrit donc

div(u(t, x)) = 0 pour tout x ∈ Ω(t) et t ∈ [0, T]. (1.21) L’´ equation de conservation de la masse (1.19), s’´ ecrit dans ce cas sous la forme

∂

∂t ρ(t, x) + u(t, x) · ∇ ρ(t, x) = 0 pour tout x ∈ Ω(t) et t ∈ [0, T ],

o` u u est le champs des vitesses Eul´ eriennes du fluide. De plus si nous introduisons les lignes de courant du fluide d´ efinies par :

z(t, ˙ y) = u(t, z(t, y)), z(0, y) = y,

pour tout y ∈ Ω ₀ et t ∈ [0, T ] et nous obtenons

∂

∂t [ρ(t, z(t, y))] = ∂

∂t ρ(t, z(t, y)) + u(t, z(t, y)) · ∇ ρ(t, z(t, y)) = 0 t ∈ [0, t], y ∈ Ω ₀ .

Ainsi la densit´ e du fluide est constante le long des lignes de courant. Donc si la fonction ρ(0, y) = ρ _f est constante sur Ω(0) alors ρ(t, x) = ρ _f pour tout x ∈ Ω(t). Donc en supposant que la densit´ e initiale du fluide est constante, les ´ equations qui d´ ecrivent la loi de conservation de la masse se r´ eduise en une unique ´ equation :

div(u(t, x)) = 0 pour tout x ∈ Ω(t) et t ∈ [0, T].

Les fluides parfaits sont caract´ eris´ es par la loi de comportement (voir [25]) σ(t, x) = − p(t, x)Id _R n pour tout x ∈ F (t) et t ∈ [O, T ].

Grˆ ace ` a cette expression, (1.20) devient : ρ _f

∂u

∂t (t, x) + (u · ∇ )u(t, x)

+ ∇ p(t, x) = g(t, x) x ∈ Ω(t), t ∈ [0, T ], (1.22) o` u ρ <sub>f</sub> est la densit´ e du fluide. Les ´ equations du fluide se r´ eduisent au syst` eme suivant :

ρ _f ∂u

∂t (t, x) + (u · ∇ )u(t, x)

+ ∇ p(t, x) = g(t, x) x ∈ Ω(t), t ∈ [0, T ], (1.23a) div (u)(t, x) = 0 x ∈ Ω(t), t ∈ [0, T ], (1.23b)

u(0, x) = u ₀ (x) x ∈ Ω(0), (1.23c)

u(t, x) · n(t, x) = v(t, x) · n(t, x) x ∈ Ω(t), t ∈ [0, T ], (1.23d) o` u v est la vitesse eul´ erienne de la d´ eformation qui envoie Ω(0) sur Ω(t).

1.2.3 Le syst` eme fluide structure

Dans cette partie nous d´ ecrivons le mouvement de solides rigides dans un fluide parfait incompressible. Soient n = 2, 3, m ≥ 1 un entier, Ω un domaine dans R ⁿ et T > 0. Nous consid´ erons le mouvement de m solides, S ⁱ pour i = 1, . . . , m, dans un fluide contenu dans Ω. Le mouvement du i-` eme solide est rep´ er´ e grˆ ace ` a la position de son centre de gravit´ e h ⁱ et sa matrice de rotation [R ⁱ ], pour (h ⁱ , [R ⁱ ]) ∈ C ² ([0, T ]; R ³ × SO _n ( R )). Nous notons par S ⁱ la position du i-` eme solide ` a l’instant t = 0, alors que

S ⁱ (t) =

x ∈ R ⁿ x = h ⁱ (t) + [R ⁱ (t)](y − h ⁱ (0)) ∀ y ∈ S ⁱ

d´ esigne la position du solide ` a l’instant t ∈ [0, T ]. De plus ρ <sub>i</sub> sera la densit´ e du i-` eme solide et nous notons par m _i la masse du i-` eme solide. Dans la suite nous notons aussi par w <sup>i</sup> (t) la vitesse angulaire associ´ ee ` a la matrice de rotation [R ⁱ (t)] d´ efinie par la formule (1.5) pour le cas n = 3 alors que θ ⁱ (t) d´ esigne l’angle de rotation de la matrice [R ⁱ (t)] dans le cas n = 2. Enfin nous introduisons les diff´ erentes notations :

S(t) = ∪ ^m _i =1 S ⁱ (t), F (t) = Ω \ S(t) Γ _i (t) = ∂S ⁱ (t), Γ(t) = ∪ ^m _i =1 Γ _i (t).

Le domaine F (t) repr´ esente le domaine occup´ e par le fluide ` a l’instant t ∈ [0, T ]. Nous d´ ecrivons le mouvement du fluide par sa vitesse Eul´ erienne not´ ee u(t, x), avec x ∈ F (t) et t ∈ [0, T ].

Les inconnues du syst` emes sont les fonctions (h <sup>i</sup> , [R <sup>i</sup> (t)]) <sub>i=1,...,m</sub> qui d´ efinissent le mouvement des solides, la vitesse Eul´ erienne du fluide not´ ee u et la pression p du fluide. Cependant avant de donner les ´ equations du syst` eme, nous commen¸cons par ´ enoncer les hypoth` eses sur les fluides et les solides.

• La densit´ e ρ _f du fluide est suppos´ ee constante ` a l’instant t = 0.

• Les forces volumiques agissant sur le fluide et les solides sont suppos´ ees potentielles. Ainsi nous supposons que pour toute force volumique g, il existe une fonction G telle que

g = ∇ G.

Nous remarquons que la force de gravit´ e entre dans cette description des forces volu- miques.

• Nous supposerons que l’unique force de surface agissant sur les solides est la pression du fluide. Ainsi la force de surface agissant sur les solides se r´ eduit ` a l’expression

f (t, x) = − p(t, x)Id _n pour tout x sur ∂S(t), o` u p(t, · ) est la pression du fluide.

• Aux interfaces, nous utilisons les conditions aux bords classiques des fluides parfaits. Sur

∂Ω nous supposons que la composante normale de la vitesse du fluide est nulle. Ceci traduit donc le fait que le fluide ne peut pas traverser la paroi. De mˆ eme sur le bord

∂S ⁱ (t) du i-` eme solide, nous supposons que la composante normale de la vitesse du fluide est ´ egale ` a la composante normale de la vitesse du i-` eme solide.

Ainsi sous ces hypoth` eses, nous pouvons ´ etablir les ´ equations du syst` eme fluide-structure.

Nous distinguons diff´ erent type d’´ equations. Les ´ equations qui d´ ecrivent le mouvement du fluide se r´ eduisent ` a :

ρ _f ∂u

∂t (t, x) + (u · ∇ )u(t, x)

+ ∇ p(t, x) = g(t, x) x ∈ F (t), t ∈ [0, T ], (1.24a) div (u)(t, x) = 0 x ∈ F (t), t ∈ [0, T ], (1.24b) u(0, x) = u ₀ (x) x ∈ F (0). (1.24c) Pour les ´ equations des solide nous devons s´ eparer les cas n = 3 et n = 2. Ainsi pour le cas n = 3 les ´ equations du i-` eme solide s’´ ecrivent

m _i h ¨ ⁱ =

Γ _i ( t )

p(t, x)n(t, x)dx +

S ( t )

g(t, x)dx, (1.25a) [J ⁱ (t)] ˙ w ⁱ (t) = [J ⁱ (t)](w ⁱ (t)) ∧ w ⁱ (t) +

Γ _i ( t )

(x − h ⁱ (t)) ∧ [pn] (t, x)dσ _x +

S ⁱ ( t )

(x − h ⁱ (t)) ∧ g(t, x), (1.25b)

[ ˙ R ⁱ (t)] = [A(w ⁱ (t))][R ⁱ (t)], (1.25c)

h ⁱ (0) = h ⁱ ₀ , h ˙ ⁱ (0) = k ⁱ ₀ , [R ⁱ (0)] = Id ₃ , w ⁱ (0) = w ⁱ ₀ , (1.25d) o` u h <sup>i</sup> <sub>0</sub> , k <sup>i</sup> <sub>0</sub> , w <sup>i</sup> <sub>0</sub> sont dans R <sup>3</sup> et la matrice [J <sup>i</sup> (t)] est la matrice d’inertie du i-` eme solide d´ efinie par (1.7). Pour le cas n = 2, l’´ equation (1.25b) se r´ eduit ` a une ´ equation scalaire et la conservation du moment cin´ etique devient :

[J ⁱ ] ¨ θ ⁱ (t) =

∂S ⁱ (t)

([A ₀ ](x − h ⁱ (t))) · [pn] (t, x)dσ _x +

S ⁱ ( t )

([A ₀ ](x − h ⁱ (t))) · g(t, x), (1.26a)

[ ˙ R ⁱ (θ(t))] = ˙ θ(t)[A ₀ ][R ⁱ (θ(t))], (1.26b)

h ⁱ (0) = h ⁱ ₀ , h(0) = ˙ k ⁱ ₀ , [R ⁱ (0)] = Id ₂ , θ ˙ ⁱ (0) = α ⁱ , (1.26c)

o` u h <sup>i</sup> <sub>0</sub> , k <sup>i</sup> <sub>0</sub> est dans R <sup>2</sup> , α <sup>i</sup> est dans R et [J <sup>i</sup> ] le moment cin´ etique du i-` eme solide d´ efini par la formule (1.13). Nous ajoutons ` a ces ´ equations des conditions de bord qui permettent de faire le lien entre le fluide et le solide. Sur le bord du domaine, nous imposons la condition

u(t, x) · n(t, x) = 0 x ∈ ∂ Ω. (1.27) Cette ´ equation traduit le fait que le fluide ne peut pas traverser la paroi. Aux interfaces nous imposons les conditions aux limites suivantes

u(t, x) · n(t, x) = ( ˙ h ⁱ (t) + ω ∧ (x − h ⁱ (t))) · n(t, x) x ∈ ∂S ⁱ (t) pour n=3, (1.28a) u(t, x) · n(t, x) = ( ˙ h ⁱ (t) + ˙ θ(t)([A ₀ ](x − h ⁱ (t)))) · n(t, x) x ∈ ∂S ⁱ (t) pour n=2, . (1.28b) Pour simplifier les notations pour n = 3, nous notons par

q ⁱ (t) = (h ⁱ (t), [R ⁱ (t)]) pour tout i = 1, . . . , m et par q = (q ¹ , . . . , q ^m ). (1.29) Nous voyons donc le vecteur q comme une param´ etrisation du mouvement des solide. De plus, nous pouvons substituer la matrice de rotation [R ⁱ (t)] par les angles d’Euler correspondants.

Ces derniers seront not´ es par le vecteur Θ ⁱ = (θ ⁱ ₁ , θ ₂ ⁱ , θ ₃ ⁱ ) et dans ce cas le vecteur q sera compos´ e des ´ el´ ements

q ⁱ = (h ⁱ , Θ ⁱ ) pour tout i = 1, . . . , m et q = (q ¹ , . . . , q ^m ). (1.30) Pour le cas n = 2 le vecteur q(t) se r´ eduit ` a :

q ⁱ (t) = (h ⁱ (t), θ ⁱ (t)) pour tout i = 1, . . . , m et par q = (q ¹ , . . . , q ^m ) (1.31) o` u θ <sup>i</sup> (t) repr´ esente l’angle de rotation de la matrice [R(θ <sup>i</sup> (t))]. Dans la suite nous pr´ eciserons les diff´ erentes param´ etrisations. Les ´ equations du syst` eme deviennent :

ρ _f ∂u

∂t (t, x) + (u · ∇ )u(t, x)

+ ∇ p(t, x) = g(t, x) x ∈ F (t), t ∈ [0, T ], (1.32a)

div(u)(t, x) = 0 x ∈ F (t), t ∈ [0, T ], (1.32b)

u(0, x) = u ₀ (x) x ∈ F (0), (1.32c)

m _i h ¨ ⁱ =

Γ _i ( t )

p(t, x)n(t, x)dx +

S ⁱ ( t )

g(t, x)dx, (1.32d)

(1.32e) pour le cas n=3 nous avons les conditions

[J ⁱ (t)] ˙ w ⁱ (t) = [J ⁱ (t)](w ⁱ (t)) ∧ w ⁱ (t) +

Γ _i ( t )

(x − h ⁱ (t)) ∧ [p(t, x)n(t, x)] dσ _x +

S ⁱ (t)

(x − h ⁱ (t)) ∧ g(t, x), (1.33a)

[ ˙ R ⁱ (t)] = A(w ⁱ (t))[R ⁱ (t)], (1.33b)

h ⁱ (0) = h ⁱ ₀ , h(0) = ˙ k ⁱ ₀ , [R ⁱ (0)] = Id ₃ , w ⁱ (0) = w ₀ ⁱ , (1.33c)

u(t, x) · n(t, x) = ( ˙ h ⁱ (t) + w ∧ (x − h ⁱ (t))) · n(t, x) x ∈ ∂S ⁱ (t), (1.33d)

(1.33e)

pour le cas n=2 nous avons les conditions [J ⁱ ] ¨ θ ⁱ (t) =

Γ _i (t)

([A ₀ ](x − h ⁱ (t))) · [pn] (t, x)dσ _x +

S ⁱ ( t )

([A ₀ ](x − h ⁱ (t))) · g(t, x), (1.34a)

d

dt [R ⁱ (θ(t))] = ˙ θ(t)[A ₀ ][R ⁱ (θ(t))], (1.34b)

h ⁱ (0) = h ⁱ ₀ , h(0) = ˙ k ⁱ ₀ , [R ⁱ (0)] = Id ₂ , θ ˙ ⁱ (0) = α ⁱ , (1.34c) u(t, x) · n(t, x) = ( ˙ h ⁱ (t) + ˙ θ(t)([A ₀ ](x − h ⁱ (t)))) · n(t, x) x ∈ ∂Γ _i (t) pour n=2, (1.34d) o` u [A(w)] est d´ efini par (1.4), les matrice [J ⁱ ] sont d´ efinies par (1.7) pour n = 3 et (1.13) pour n = 2 et [A ₀ ] est d´ efini par (1.6).

1.2.4 Le cas des fluides potentiels

Nous conservons les notations introduites dans la section pr´ ec´ edente. F (t) est le domaine occup´ e par le fluide, S ⁱ (t) le domaine occup´ e par le i-` eme solide pour tout t ∈ [0, T ]. Nous rappelons les notations :

q ⁱ = (h ⁱ , Θ ⁱ ) pour tout i = 1, . . . , m et q = (q ¹ , . . . , q ^m ) si n = 3, q ⁱ = (h ⁱ , θ ⁱ ) pour tout i = 1, . . . , m et q = (q ¹ , . . . , q ^m ) si n = 2.

o` u h <sup>i</sup> est la position du centre de gravit´ e du i-` eme solide et Θ ⁱ sont les angles d’Euler du i-` eme solide alors que θ ⁱ est l’angle de rotation dans le cas n = 2. Pour simplifier les notations, nous donnons une nouvelle indexation du vecteur q par

q = (q ₁ , . . . , q _{6 m} ) pour n = 3 ou q = (q ₁ , . . . , q _{3 m} ) pour n = 2.

Dans ce paragraphe nous consid´ erons le cas d’un fluide parfait potentiel. Nous supposons que la vitesse du fluide est le gradient d’une fonction. Il existe donc une application Ψ tel que

u(t, x) = ∇ Ψ(t, x) pour tout x ∈ F (t) et t ∈ [0, T ].

Ainsi l’´ equation d’Euler se traduit par l’´ equation de Bernoulli : p(t, x) = G(t, x) − ρ _F

∂Ψ

∂t (t, x) + 1

2 |∇ Ψ(t, x) | ²

, pour tout x ∈ F _{q ( t )} et t ∈ [0, T ], (1.35) o` u G(t, x) repr´ esente une fonction qui d´ efinissent les forces potentiel g(t, x) = ∇ G(t, x) agissant sur le syst` eme. Nous soulignons ici que la fonction G(t, x) n’est pas unique, elle est d´ efinie ` a un fonction k(t) pr` es. La condition d’incompressibilit´ e du fluide et les conditions aux interfaces conduisent au probl` eme de Neumann suivant pour Ψ :

− ΔΨ(t, x) = 0 pour tout x ∈ F (t)

∂Ψ

∂n (t, x) = 0 pour x ∈ ∂ Ω,

∂Ψ

∂n (t, x) =

h ˙ ⁱ (t) + w( ˙ Θ ⁱ (t))(x − h ⁱ (t))

· n(t, x) pour x ∈ ∂S ⁱ (t), pour n = 3,

∂Ψ

∂n (t, x) =

h ˙ ⁱ (t) + ˙ θ ⁱ (t)[A ₀ ](x − h ⁱ (t))

· n(t, x) pour x ∈ ∂S ⁱ (t), pour n = 2,