Le problème d’équivalence locale pour un système scalaire complet d’équations aux dérivées partielles d’ordre deux à <span class="mathjax-formula">$n$</span> variables indépendantes

ANNALES

DE LA FACULTÉ DES SCIENCES

Mathématiques

CAMILLEBIÈCHE

Le problème d’équivalence locale pour un système scalaire complet d’équations aux dérivées partielles d’ordre deux ànvariables indépendantes

Tome XVI, n^o1 (2007), p. 1-36.

<http://afst.cedram.org/item?id=AFST_2007_6_16_1_1_0>

© Université Paul Sabatier, Toulouse, 2007, tous droits réservés.

L’accès aux articles de la revue « Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques » (http://afst.cedram.org/), implique l’ac- cord avec les conditions générales d’utilisation (http://afst.cedram.org/

legal/). Toute reproduction en tout ou partie cet article sous quelque forme que ce soit pour tout usage autre que l’utilisation à fin strictement person- nelle du copiste est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou im- pression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

cedram

Article mis en ligne dans le cadre du

Annales de la Facult´e des Sciences de Toulouse Vol. XVI, n^◦1, 2007 pp. 1–36

Le probl` eme d’´ equivalence locale pour un syst` eme scalaire complet d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles

d’ordre deux ` a

variables ind´ ependantes

Camille Bi`eche⁽¹⁾

R^´ESUM´E.— Dans le pr´esent article, nous ´etablissons une caract´erisation des syst`emes scalaires d’´equations aux d´eriv´ees partielles analytiques d’ordre deux `anvariables ind´ependantes ´equivalents par un changement de coordonn´ees analytique au syst`emeu_xαx^β = 0, 1^{α, βn.}

ABSTRACT.— In this paper, we give a caracterization of second ordrer scalar analytic systems of partial differential equations withnindepen- dent variables equivalent by a suitable analytic change of variables to the systemu_xαx^β = 0, 1^{α, βn.}

1. Introduction

Nous ´etudions ici les transformations d’un syst`eme d’´equations aux d´eri- v´ees partielles holomorphes d’ordre deux sous l’effet d’un changement de coordonn´ees analytique. Soit un tel syst`eme `a n variables ind´ependantes x¹, . . . , xⁿ et une variable d´ependante ude la forme :

(S) : u_xαx^β =F_αβ(x, u, u_x), F_αβ=F_βα, α, β= 1, . . . , n.

Nous supposons que le syst`eme (S) est compl`etement int´egrable au voisi- nage de l’origine, c’est-`a-dire qu’en tout point (x<sub>0</sub>, u<sub>0</sub>, u<sup>(1)</sup><sub>0</sub> ) au voisinage de l’origine passe une unique solution u =u(x) de (S) telle que u(x<sub>0</sub>) = u<sub>0</sub> et (u<sub>x</sub><sup>1</sup>(x<sub>0</sub>), . . . , u<sub>x</sub><sup>n</sup>(x<sub>0</sub>)) = u<sup>(1)</sup><sub>0</sub> . Nous nous int´eressons au probl`eme de l’existence d’un changement de coordonn´ees analytique :

φ(ˇx,u) = (x, u)ˇ

(∗) Re¸cu le 25 janvier 2005, accept´e le 2 juin 2005

(1) Universit´e de Provence, LATP, UMR 6632, CMI, 39 rue Joliot-Curie, 13453 Mar- seille cedex 13.

bieche@cmi.univ-mrs.fr

d´efini sur un voisinage ouvert de l’origine dansCⁿ⁺¹ tel que le syst`eme : (S0) : ˇu_xˇ^α_ˇx^β = 0, α, β= 1, . . . , n

exprim´e dans les coordonn´ees (x, u) soit le syst`eme (S).

Si un tel changement de coordonn´ees existe, (S) et (S0) sont dits ´equiva- lents. Les deux syst`emes (S) et (S0) sont donc ´equivalents si et seulement s’il existe un changement de coordonn´eesφ(ˇx,u) = (x, u) tel que son prolonge-ˇ ment `a l’espace des jets d’ordre 2 des fonctions holomorphes denvariables complexesφ⁽²⁾applique les 2-graphes des solutions de (S0) sur les 2-graphes des solutions de (S).

Nous allons ici analyser ce probl`eme `a l’aide de la m´ethode d’´equivalence d’Elie Cartan qui fournit un syst`eme de fonctions invariantes associ´e `a (S). L’annulation de certaines de ces fonctions invariantes, dites fondamen- tales, nous am`ene `a une condition n´ecessaire et suffisante d’´equivalence des syst`emes (S) et (S0). Nous verrons que cette condition se traduit par un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles lin´eaires v´erif´e par les fonctions Fαβ intervenant dans la d´efinition de (S).

De tels syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles (S) apparaissent dans l’´etude des hypersurfaces r´eelles analytiques Levi non d´eg´en´er´ees de Cⁿ⁺¹. Au voisinage de l’origine, une telle hypersurfaceHest d´efinie locale- ment par une ´equation de la forme :

Rew= n j=1

_jz_jz¯_j+F(z,z,¯ Imw) (1.1) o`uZ = (z₁, . . . , z_n, w)∈Cⁿ⁺¹, _j∈ {−1,1} et F est une application r´eelle analytique au voisinage de 0 telle queF(z,z,¯ Imw) = o(|Z|²).

De mˆeme que B. Segre dans [15], en consid´erant ¯z et ¯w comme des variables complexes ind´ependantes dezetwdans l’´equation (1.1), nous as- socions `aHune famille d’hypersurfaces complexes appel´ees vari´et´es de Segre de l’hypersurface. Apr`es application du th´eor`eme des fonctions implicites, les vari´et´es de Segre deHont donc pour ´equation :

1

2(w+ω) = n j=1

_jz_jζ_j+F(z, ζ, ω) (1.2)

avec (ζ, ω) au voisinage de l’origine dans Cⁿ⁺¹ et F une application an- alytique. Nous consid´erons `a pr´esent w comme une fonction des variables (z1, . . . , zn) et nous d´erivons (1.2) par rapport `a chaque variable zk. Le

th´eor`eme des fonctions implicites nous permet d`es lors d’exprimer les para- m`etres ζ et ω en fonction dez,w et w<sub>zk</sub>. Puis nous calculons les d´eriv´ees w<sub>zjzk</sub> dans lesquelles nous rempal¸consζet ωpar leurs expressions en fonc- tion des variablesz,wetw<sub>zk</sub>. Nous pouvons donc affirmer que ces vari´et´es de Segre sont exactement les graphes des solutions d’un syst`eme (S) compl`ete- ment int´egrable au voisinage de l’origine [17], [18]. Observons que (S0) est le syst`eme d’´equations diff´erentielles associ´e aux vari´et´es de Segre des quadriques deCⁿ⁺¹.

On appelle automorphisme local de Htoute application biholomorphe d´efinie au voisinage de l’origine et appliquant Hsur elle mˆeme. Un tel au- tomorphisme poss`ede la propri´et´e d’appliquer toute vari´et´e de Segre de H sur une vari´et´e de Segre deH. Cette propri´et´e d’invariance par biholomor- phisme des vari´et´es de Segre d’une hypersurface a ´et´e utilis´ee pour mon- trer de nombreux r´esultats, notamment des th´eor`emes d’extensions holo- morphes d’applications au voisinage du bord de certains domaines [6]. Une sym´etrie du syst`eme (S) est un diff´eomorphisme analytiqueφ(ˇx,ˇu) = (x, u) qui applique tout graphe d’une solution de (S) sur le graphe d’une autre solution de (S). Il apparait alors que tout automorphisme local de H est une sym´etrie du syst`eme (S) compl`etement int´egrable associ´e `a ses vari´et´es de Segre. Naturellement, la recherche des automorphismes locaux d’une hypersurface r´eelle analytique Levi non d´eg´en´er´ee conduit `a ´etudier les sym´etries des syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles scalaires, com- plets et compl`etement int´egrables. Dans cette direction, A. Sukhov a d´emon- tr´e que les sym´etries de Lie du syst`eme (S) forment un groupe de Lie local complexe not´eSym(S) [18]. Si (S) est le syst`eme d’´equations diff´erentielles associ´e `a l’hypersurfaceH, le groupe des automorphismes deHest un sous- groupe de Lie r´eel deSym(S) dont la dimension r´eelle est major´ee par la dimension complexe de ce dernier. De fa¸con analogue, si on se donne une sous-vari´et´e de Cauchy-Riemann r´eelle analytique de C^N de codimension sup´erieure `a 2, Levi non d´eg´en´er´ee au sens de Beloshapka [2], il est possi- ble de lui associer un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles vectoriel, complet et compl`etement int´egrable et d’´etendre ainsi certains des r´esultats cit´es pr´ec´edemment aux vari´et´es de codimension sup´erieure `a 2, [18].

De nombreux travaux ont d´ej`a ´et´e men´es dans cette direction. L’´etude du casn= 1 a permis `a E. Cartan [3] d’obtenir `a l’aide des travaux de A. Tresse [19] et S. Lie [1] une classification compl`ete des hypersurfaces Levi non d´eg´en´er´ees deC². Dans [5], S.S. Chern et J.K. Moser d´emontrent que toute hypersurface r´eelle analytique deCⁿ⁺¹ est d´etermin´ee par la donn´ee d’une connexion de Cartan sur un fibr´e principal r´eel au dessus de l’hypersurface.

S.S Chern ´etablit ensuite dans [4] une nouvelle version d’un r´esultat de M. Hachtroudi [10] :en reprenant les techniques d´evelopp´ees dans [5], il

donne une caract´erisation du syst`eme (S) par la donn´ee d’une connexion de Cartan sur un fibr´e projectif et explicite le lien entre cette nouvelle connex- ion et celle associ´ee `a l’hypersurface r´eelle analytique Levi non d´eg´en´er´ee correspondante [5]. Ces travaux sont repris et d´evelopp´es ult´erieurement par J.J. Faran [7].

R. Gardner et P. Olver [9], [12] ont chacun travaill´e `a donner une ver- sion algorithmique des r´esultats d’E. Cartan. C’est sur leur approche du probl`eme d’´equivalence que nous nous basons pour donner une formulation algorithmique de la d´emonstration de S.S Chern dans [4] qui nous per- met d’aboutir `a une caract´erisation des syst`emes (S) ´equivalents `a (S0) par la dimension de leurs groupes de sym´etrie. Nous montrons en effet

`

a partir des travaux de A. Sukhov [17] que (S0) est le seul syst`eme `a

´equivalence pr`es parmi les syst`emes (S) `a avoir un groupe de sym´etrie de dimension maximale n<sup>2</sup>+ 4n+ 3. Ce r´esultat a ´et´e d´emontr´e par S. Lie [1] dans le cas n = 1. En particulier, nous retrouvons ici le fait que les seules hypersurfaces Levi non d´eg´en´er´ees deC<sup>n+1</sup> qui poss`edent un groupe d’automorphismes locaux de dimension maximale sont, `a transformation biholomorphe pr`es, les quadriques de Cⁿ⁺¹, [5]. Notons que M.E. Fels [8]

´etablit `a l’aide de la m´ethode de Cartan un r´esultat analogue pour les syst`emes d’´equations diff´erentielles analytiques d’ordre deux `a une variable ind´ependante etmvariables d´ependantes. Toujours par la methode de Car- tan, L. Hsu et N. Kamran [11] ont r´ealis´e une classification compl`ete des

´equations diff´erentielles analytiquesuxx =f(x, u, ux) `a transformation de contact pr`es en calculant explicitement les invariants diff´erentiels attach´es

`

a une telle ´equation. La mise au point de programmes informatiques per- mettant le calcul des sym´etries et des invariants diff´erentiels d’un syst`eme d’´equations diff´erentielles [13], [14] grˆace `a l’approche algorithmique que nous utilisons ici permet d’esp´erer aboutir `a de telles classifications pour d’autres classes de syst`emes d’´equations diff´erentielles.

D’autre part, nous employons ici la formulation algorithmique de la m´ethode d’´equivalence d’E. Cartan de R. Gardner et P. Olver pour don- ner des expressions explicites de certains invariants associ´es `a (S) qui sont dits fondamentaux en un sens que nous pr´eciserons par la suite. Dans sa th`ese [13], S. Neut `a calcul´e ces expressions pourn= 2 avec une approche relevant du calcul formel. L’annulation de ces expressions nous fournit une condition n´ecessaire et suffisante d’´equivalence des syst`emes (S) et (S0).

Plus pr´ecis´ement, nous d´emontrons le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme. —Le syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles compl`ete- ment int´egrable :

(S) : u_xαx^β =F_αβ(x, u, u_x), F_αβ=F_βα, α, β= 1. . . n est ´equivalent au syst`eme :

(S0) : u_xαx^β = 0, α, β= 1. . . n, si et seulement si les fonctions F_αβ v´erifient les conditions :

∂²F_αρ

∂uβ∂uσ − 1

n+ 2(δ^σ_ρ

γ

∂²F_αγ

∂uβ∂uγ

+δ^σ_α

γ

∂²F_ργ

∂uβ∂uγ

+δ^β_ρ

γ

∂²F_αγ

∂uσ∂uγ

+δ^α_β

γ

∂²F_ργ

∂uσ∂uγ

) + 1

(n+ 1)(n+ 2)(δ_α^βδ_ρ^σ+δ^β_ρδ_α^σ)

γ,κ

∂²F_κγ

∂uκ∂uγ

= 0.

(1.3) pour tous les indicesα,β,ρ,σvariant entre 1 etn.

Nous retrouvons en fait le r´esultat ´etabli par M. Hachtroudi dans [10] par une m´ethode purement g´eom´etrique. Du fait de son caract`ere algorithmique, notre d´emonstration pr´esente l’avantage d’ˆetre compl`etement explicite, il est ainsi possible d’en donner une traduction informatique.

Remarquons que les formules que nous obtenons pour les invariants fon- damentaux attach´es `a (S) sont tout `a fait similaires `a celles donn´ees par S. Webster dans [20] pour les invariants pseudo-conformes attach´es `a une hypersurface r´eelle analytique Levi non d´eg´en´er´ee deCⁿ⁺¹.

Nous commen¸cons donc par exposer les grandes lignes de la m´ethode d’´equivalence de Cartan sous forme algorithmique [9], [12]. Puis nous l’appli- quons au probl`eme d’´equivalence des syst`emes (S) et (S0). Comme S.S.

Chern et J.K. Moser dans [5] et J.J. Faran dans [7], nous donnons ensuite une interpr´etation g´eom´etrique des r´esultats obtenus en termes de th´eorie des connexions. Enfin, en explicitant les invariants fondamentaux attach´es

`

a (S) grˆace aux propri´et´es g´eom´etriques des connexions de Cartan, nous caract´erisons les syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles (S) ´equivalents

`a (S0).

2. Principes de la m´ethode d’´equivalence de Cartan L’´etude du probl`eme d’´equivalence des syst`emes (S) et (S0) nous am`ene

`

a nous placer dans le cadre de la th´eorie des G-structures. Pour plus de clart´e, nous donnons quelques d´efinitions `a ce sujet formul´ees dans le cadre

analytique complexe. Elles sont ´egalement valables dans le cadre r´eel et lisse,

`

a ce sujet on pourra consulter le livre de S. Sternberg [16].

Soit M une vari´et´e analytique complexe de dimension m. On note F(M)−→^π M le GLm(C)-fibr´e principal complexe `a droite des rep`eres au dessus de M. On d´efinit canoniquement une 1-forme diff´erentielle ω sur F(M) `a valeurs dansC<sup>m</sup>de la fa¸con suivante. Soitpun point deF(M) ap- partenant `a la fibre au dessus dex∈M. Le pointpd´efinit un isomorphisme naturelp : C^m−→TxM qui applique la base canonique deC^msur la base deT_xM fournie parp. On pose alors :

ω(X) =p⁻¹(π_∗(X)) pourX ∈T_pF(M).

Un rep`ere de r´ef´erence sur M est donc canoniquement associ´e `a une 1- forme diff´erentielle ω qui fournit un isomorphisme de tout suppl´ementaire de l’espace tangent `a la fibre de F(M) dans T<sub>p</sub>F(M) sur C<sup>m</sup>. Un calcul simple montre que pour g ∈GLm(C), siRg d´esigne l’action `a droite deg surF(M), on a :

R^∗_g−1(ω) =g.ω (2.1)

o`u le second membre est un produit de matrices.

Consid´erons un sous-groupe de Lie complexe G de GL_m(C). Une G- structure sur M est une r´eduction P du fibr´e F(M) au groupe G. On dit que deuxG-structuresP et ˇP d´efinies respectivement sur des vari´et´es ana- lytiquesM et ˇM sont ´equivalentes s’il existe un diff´eomorphisme analytique φ : M −→ Mˇ tel que φ_∗(P) = ˇP. Ainsi, les deux G-structures P et ˇP sont dites localement ´equivalentes en (x, y)∈ M ×Mˇ s’il existe des voisi- nages U de x et V de y, un diff´eomorphisme analytique φ : U −→ V avec φ(x) = y tels que les G-structures P_|U et ˇP_|V sont ´equivalentes par φ. Comme (2.1) reste vraie sur P, ceci revient `a dire que φ<sup>∗</sup>ωˇ = g.ω o`u g:U ⊂M −→Gest une application holomorphe etω et ˇωsont les formes diff´erentielles canoniques associ´ees respectivement `a P<sub>|U</sub> et ˇP<sub>|V</sub>. La ques- tion de savoir si deux G-structures sont localement ´equivalentes constitue le probl`eme de G-´equivalence.

Nous allons nous int´eresser ici `a de tels probl`emes et utiliser l’algorithme de Cartan que nous allons bri`evement rappeler en suivant la pr´esentation de P. Olver [12]. Sauf exception, on se servira des conventions de sommation d’Einstein.

On se donne une G-structures P sur M o`u G est un groupe de Lie complexe `asparam`etres complexes. La m´ethode d’´equivalence d’E. Cartan nous permet ici d’obtenir un syst`eme d’invariants locaux attach´es `aP en se

ramenant `a un probl`eme d’´equivalence de{e}-structure `a l’aide du proc´ed´e algorithmique d´evelopp´e par R. Gardner et P. Olver.

Soit la 1-forme diff´erentielle vectorielleθ d´efinie surP parθ =g.ω. La premi`ere ´etape de l’algorithme consiste `a diff´erencier la formeθ, puis `a ´ecrire cette diff´erentielle sous une forme plus simple, en un sens que nous allons pr´eciser, en modifiant la base de 1-formes diff´erentielles dans laquelle nous d´ecomposonsdθet enfin `a attribuer des valeurs particuli`eres aux coefficients intervenant dans l’´ecriture dedθde fa¸con `a r´eduire le nombre de param`etres du groupeG.

En diff´erenciantθ, on obtient les ´equations de structure du probl`eme : dθⁱ=γ_jⁱ∧θ^j+

j<k

T_jkⁱ θ^j∧θ^k i= 1, . . . , m (2.2) avec

γ=dg.g⁻¹.

La matrice γ est une matrice de formes de Maurer-Cartan invariantes `a droite du groupe de Lie G et les coefficients T_jkⁱ sont appel´es coefficients de torsion. Si α¹, . . . , α^s est une base de formes de Maurer-Cartan de G donn´ee, les ´equations de structure (2.2) peuvent s’´ecrire sous la forme :

dθⁱ=Aⁱ_jκα^κ∧θ^j+

j<k

T_jkⁱ θ^j∧θ^k i= 1, . . . , m.

Consid´erons les ´equations dites ´equations d’absorption : Aⁱ_jκz_k^κ−Aⁱ_kκz_j^κ=−T_jkⁱ i, j, k= 1, . . . , m.

Nous r´esolvons alors le plus grand nombre possible de ces ´equations et nous posons :

˜

α^κ=α^κ+z_j^κθ^j κ= 1, . . . , s.

Les formes ˜α^κsont appel´ees formes de Maurer-Cartan modifi´ees. Nous avons ainsi :

dθⁱ=Aⁱ_jκα˜^κ∧θ^j+

j<k

U_jkⁱ θ^j∧θ^k i= 1, . . . , n.

Ce proc´ed´e est appel´e absorption de la torsion car il consiste en fait `a

´eliminer un maximum de coefficients de torsionT_jkⁱ dans l’expression de la 2-forme dθⁱ. L’importance de cette ´etape de la m´ethode de Cartan r´eside dans le fait que les coefficients de torsion restants U_jkⁱ sont des invariants associ´es `a la forme vectorielleθ(c’est-`a-dire :siφ^∗θˇ=θ,φ^∗( ˇU_jkⁱ ) =U_jkⁱ ) et vont ainsi fournir des conditions n´ecessaires d’´equivalence locale de P avec uneG-structure donn´ee ˇP.

Nous allons ensuite normaliser les coefficientsU_jkⁱ (ou seulement certains d’entre eux, selon les cas ´etudi´es), c’est `a dire leur attribuer des valeurs judicieusement choisies et r´eduire le groupe G `a un sous groupe de Lie H qui stabilise ces valeurs quand il agit sur le tenseur U_jkⁱ par l’action g.U_jkⁱ (x, g) =U_jkⁱ (x, gg). Plus pr´ecis´ement, nous fixons des valeursuⁱ_jk= U_jkⁱ (x₀, g₀). Dans les cas ´etudi´es par la suite, l’action du groupe G sur l’ensemble des valeursU_jkⁱ est transitive, ce qui permet alors de construire une fonction analytique g₀ : U ⊂ M −→ G telle que U_jkⁱ (x, g₀(x)) =uⁱ_jk. Nous d´efinissons alors une nouvelle forme vectorielleη =g₀·ω. E. Cartan a montr´e que le probl`eme deG-´equivalence consid´er´e se ram`ene `a un probl`eme deH-´equivalence et il s’agit ainsi de reprendre l’algorithme en calculant les

´equations de structure de la formeθ=h.η avech∈H.

Les G-structures ´etudi´ees ici ont des groupes de sym´etries locales de dimension finie. D`es lors, si les valeursU_jkⁱ sont constantes ou trop difficiles

`

a normaliser, nous pouvons prolonger le probl`eme en un probl`eme ´equivalent de la mani`ere suivante.

Nous commen¸cons par r´esoudre les ´equations : Aⁱ_jκr_k^κ−Aⁱ_kκr^κ_j = 0 i, j, k= 1, . . . , m.

Ceci nous permet de savoir quelles combinaisons lin´eaires des formesθ^jnous pouvons ajouter `a chaque composante de la 1-forme vectorielle (θ, α) tout en pr´eservant les ´equations de structure obtenues apr`es absorption au moment o`u nous d´ecidons de prolonger le probl`eme. SoitG⁽¹⁾ le sous-groupe ab´elien deGL_m+s(C) constitu´e des matrices :

In 0 r^κ_j Is

.

E. Cartan a d´emontr´e que laG-structure P consid´er´ee comme une vari´et´e admet uneG⁽¹⁾-structure et qu’on peut se ramener `a un probl`eme deG⁽¹⁾-

´equivalence sur P. Nous reprenons donc l’algorithme sur la vari´et´e P en calculant les ´equations de structure de la 1-forme diff´erentielle Θ :

Θ =

In 0 r^κ_j Is

θ α

.

L’algorithme s’arrˆete quand on s’est ramen´e `a un probl`eme de {e}-

´equivalence par des r´eductions et des prolongements successifs. Nous dis- posons alors de m´ethodes pour r´esoudre compl`etement ce type de probl`eme [12].

3. Equivalence de syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles analytiques du second ordre et G-´equivalence

Nous allons `a pr´esent appliquer les techniques expos´ees au paragraphe 2

`

a l’´etude du probl`eme d’´equivalence des syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles (S) et (S0). Pour l’essentiel, nous suivons la d´emonstration de S.S. Chern dans [4], en l’adaptant en fait de mani`ere `a rester dans le cadre de l’algorithme expos´e pr´ec´edemment. Ceci nous permet, comme on le verra par la suite, d’obtenir des formules explicites pour certains des invariants associ´es `a (S).

Soit J_n,1² l’espace des jets d’ordre deux des fonctions holomorphes

`

a n variables d´efinies au voisinage de l’origine muni des coordonn´ees (x, u, u⁽¹⁾, u⁽²⁾) avec u⁽¹⁾ = (u1, . . . , un) et u⁽²⁾ = (uαβ)αβ. Soit M_S la sous-vari´et´e deJ_n,1² associ´ee `a (S) d´efinie par les ´equations :

u_αβ=F_αβ(x, u, u⁽¹⁾) α, β= 1. . . n αβ.

Les variables (x, u, u⁽¹⁾) constituent un syst`eme de coordonn´es holomorphes sur M<sub>S</sub>. Nous consid´erons alors sur M<sub>S</sub> les formes de contact associ´ees `a (S) :

4=du−uβdx^β

4α=duα−Fαβdx^β α= 1, . . . , n.

Nous notons ´egalement4^α=dx^α. Les vari´et´es int´egrales de la distribution (4, 4_α) sur lesquelles lan-forme4¹∧. . .∧4ⁿ ne s’annule pas sont exacte- ment les 2-graphes des solutions de (S). De plus, la compl`ete int´egrabilit´e du syst`eme (S) implique queM_Sest feuillet´ee par de tels 2-graphes. La dis- tribution (4, 4α) est donc compl`etement int´egrable au sens de Frobenius surM_S, que l’on appelle vari´et´e des solutions de (S).

Nous d´efinissons de mˆeme les 1-formes diff´erentielles ˇ4, 4ˇ^α, 4ˇα as- soci´ees `a (S0) dans les coordonn´ees (ˇx,u,ˇ uˇ⁽¹⁾) sur la vari´et´e des solutions M0 de (S0).

Lemme 3.1.— Soitφ(ˇx,u) = (x, u)ˇ une application biholomorphe d´efinie sur un ouvert de Cⁿ⁺¹.Les deux syst`emes (S)et(S0)sont ´equivalents par φsi et seulement si

φ^(2)∗



 4 4^α 4_α



 = g



 4ˇ ˇ 4^α

ˇ 4_α





o`u g est une application holomorphe de M_S dans le sous-groupe de Lie

complexe GdeGL_2n+1(C)compos´e des matrices de la forme :



 a 0 0 a^α m^α_β 0 bα 0 n^β_α





et φ⁽²⁾ d´esigne ici la restriction `a M0 du prolongement de φ`a l’espace de jetsJ_n,1² .

Une telle applicationφapplique en effet chaque 2-graphe d’une solution de (S0) sur le 2-graphe d’une solution de (S). Les syst`emes (S0) et (S) sont ainsi ´equivalents par φ.

Nous d´efinissons laG-structureP_G,S au dessus deMS comme la r´educ- tion du fibr´e des corep`eres de M<sub>S</sub> compatible avec le feuilletage de M<sub>S</sub> donn´e par les 2-graphes des solutions de (S). D’apr`es le lemme 3.1, nous sommes amen´es `a consid´erer le probl`eme d’´equivalence locale desG-structu- res PG,0 et PG,S d´efinies respectivement sur les vari´et´es M0 et M_S. Nous choisissons des rep`eres de r´ef´erence sur M0 et M<sub>S</sub> de mani`ere `a ce que les corep`eres (4, 4^α, 4α) et ( ˇ4, 4ˇ^α, 4ˇα) soient les 1-formes vectorielles canoniquement associ´ees `a chacune des deux G-structures (cf paragraphe pr´ed´edent). Nous appliquons `a pr´esent l’algorithme de Cartan pour nous ramener `a un probl`eme d’´equivalence de {e}-structure et en d´eduire un syst`eme d’invariants associ´e `a laG-structureP_G,S.

Soit le syst`eme de 1-formes diff´erentielles d´efini surP_G,S par :



 ω ω^α ω_α



 = g.



 4 4^α 4_α



 .

Une premi`ere ´etape consiste `a calculer les diff´erentielles de ces 1-formes, nous ´ecrivons donc :

dω=ϕ∧ω+an_α^γm_β^αω^β∧ω_γ+η∧ω dω^α=ϕ^α∧ω+ϕ^α_β∧ω^β+η^α∧ω+η_β^α∧ω^β dωα=ϕα∧ω+φ^β_α∧ωβ+θα∧ω+θ^β_α∧ωβ

o`u

dg.g⁻¹ =



 ϕ 0 0 ϕ^α ϕ^α_β 0 ϕα 0 µ^β_α





est une matrice de formes de Maurer-Cartan deG. Les formesη, η^α, θα, η_β^α, θ_β^α sont des 1-formes diff´erentielles qui s’´ecrivent comme des combinaisons lin´eaires

`

a coefficients holomorphes sur P_G,S des formes ω, ω^α, ω_α et on note (m^α_β)⁻¹= (m_β^α), (n^α_β)⁻¹= (n_β^α).

Nous proc´edons ensuite `a l’absorption de la torsion dans les ´equations pr´ec´edentes, les ´equations de structure du probl`eme s’´ecrivent alors sous la forme :

dω= ˜ϕ∧ω+am_β^αn_α^γω^β∧ω_γ dω^α= ˜ϕ^α∧ω+ ˜ϕ^α_β∧ω^β dω_α= ˜ϕ_α∧ω+ ˜µ^β_α∧ω_β o`u :

˜

ϕ=ϕ+η

˜

ϕ^α=ϕ^α+η^α

˜

ϕα=ϕα+θα

˜

ϕ^α_β=ϕ^α_β+η_β^α

˜

µ^β_α=µ^β_α+θ_α^β

sont des formes de Maurer-Cartan modifi´ees deG. Pour all´eger les notations, nous noterons d´esormais de la mˆeme mani`ere les formes de Maurer-Cartan et les formes de Maurer-Cartan modifi´ees lorsque cela ne porte pas `a confusion.

Le proc´ed´e de normalisation de l’algorithme de Cartan appliqu´e `a ces

´equations de structure permet d’effectuer une premi`ere r´eduction du probl`e- me :

Lemme 3.2.— Le probl`eme deG-´equivalence consid´er´e se ram`ene `a un probl`eme deH-´equivalence o`uH est le sous-groupe de Lie deGdes matri-

ces : 

 a 0 0 a^α m^α_β 0 b_α 0 n^β_α





v´erifiant n^α_β=am_β^α avec (m^α_β)⁻¹= (m_β^α).

D´emonstration.— Suivant le proc´ed´e de normalisation expos´e au para- graphe 2, nous attribuons aux coefficients an_α^βm_γ^α les valeurs δ_γ^β. H est le sous groupe de Lie de G qui stabilise ces valeurs normalis´ees. Selon la m´ethode de Cartan, nous pouvons d´efinir uneH-structureP_H,S surMS et nous ´etudions `a pr´esent le probl`eme deH-´equivalence, voir [16], [12] et [9]

pour plus de d´etails sur la d´emonstration du proc´ed´e de normalisation.

Les formes de Maurer-Cartan du groupe de LieH sont donn´ees par la

matrice : 

 ϕ 0 0 ϕ^α ϕ^α_β 0 ϕα 0 δ_α^βϕ−ϕ^β_α



.

Nous obtenons le r´esultat suivant :

Lemme 3.3.— Apr`es absorption de la torsion, les ´equations de structure du nouveau probl`eme sont :

dω=ϕ∧ω+ω^β∧ωβ

dω^α=ϕ^α∧ω+ϕ^α_β∧ω^β

dωα=ϕα∧ω+ϕ∧ωα−ϕ^β_α∧ωβ.

(3.1)

D´emonstration. — Pour plus de coh´erence, nous donnons ici la preuve de S.S. Chern [4].

Du fait que nous travaillons `a pr´esent avec le groupe H, nous avons :

dω=ϕ∧ω+ω^β∧ωβ. (3.2)

Nous pouvons ´egalement ´ecriredω^α sous la forme :

dω^α=ϕ^α∧ω+ϕ^α_β∧ω^β (3.3) o`uϕ^αet ϕ^α_β sont des formes de Maurer-Cartan modifi´ees du groupeH.

En diff´erenciant (3.2), il vient :

(dϕ−ϕ^α∧ω_α)∧ω+ω^α∧(−dω_α+ϕ∧ω_α−ϕ^β_α∧ω_β) = 0.

Il s’en suit que :

−dωα+ϕ∧ωα−ϕ^β_α∧ωβ≡0 mod ω, ω^β. Or le syst`eme

ω= 0, ω_α= 0

est compl`etement int´egrable, donc dω_α≡0mod ω, ω_β. Il en d´ecoule que :

−dωα+ϕ∧ωα−ϕ^β_α∧ωβ=a^γ_αβω^β∧ωγ, avec :

a^γ_αβ=a^γ_βα.

D`es lors, en rempla¸cant ϕ^β_α par ϕ^β_α−a^β_αγω^γ, (3.3) demeure inchang´ee et nous obtenons ainsi les ´equations (3.1).

Nous constatons qu’il ne reste plus de coefficients de torsion `a nor- maliser dans (3.1). Suivant l’algorithme de Cartan, nous prolongeons donc le probl`eme, c’est-`a-dire comme nous l’avons vu au deuxi`eme paragraphe,

nous nous int´eressons au probl`eme d’´equivalence sur la vari´et´e P<sub>HS</sub> que nous d´efinissons comme il suit. Les formesω, ω<sup>α</sup>etω<sub>α</sub>sont intrins`equement d´efinies sur le fibr´eP_HS au dessus deMS. Nous cherchons les changements de coordonn´ees lin´eaires sur P_HS qui laissent stables ces formes ainsi que les ´equations (3.1). Les formes diff´erentielles ω, ω^α, ωα, ϕ, ϕ^α_β, ϕ^α, ϕα

sont ainsi d´etermin´ees `a une transformation du groupe G<sup>(1)</sup> pr`es, o`u G<sup>(1)</sup> est le sous-groupe de Lie complexe `a (n+ 1)²param`etres deGL_n²_+4n+2(C) compos´e des matrices d´efinies par blocs :

I_2n+1 0 R I_(n+1)²

o`uRest d´efinie par :













I2n+1 0

R I_(n+1)²























 ω ω^α ω_α ϕ ϕ^α_β ϕ^α ϕ_α













=











 ω ω^α ω_α ϕ^∗ ϕ^∗_β^α ϕ^∗α ϕ^∗_α













=











 ω ω^α ωα

ϕ+tω ϕ^α_β+b^α_βω

ϕ^α+b^α_βω^β+c^αω ϕα−b^β_αωβ+dαω+tωα











 .

Nous consid´erons d´esormais un probl`eme deG<sup>(1)</sup>-´equivalence sur la vari´et´e PH,S. Dans ce qui suit, nous continuons `a utiliser les techniques de calcul de la d´emonstration de S.S. Chern dans [4].

Nous diff´erencions les ´equations (3.1) pour obtenir les autres ´equations de structure du nouveau probl`eme. Pour ne pas alourdir les notations, nous omettrons d´esormais les ´etoiles sauf quand nous voudrons faire ressortir l’action du groupeG⁽¹⁾ sur les valeurs des coefficients de torsion.

En diff´erenciant la premi`ere ´equation de (3.1), nous obtenons : dϕ≡ϕ^β∧ω_β+ω^β∧ϕ_β mod ω,

et ainsi :

dϕ=ψ∧ω+ϕ^β∧ωβ+ω^β∧ϕβ (3.4) o`uψest une forme de Maurer-Cartan modifi´ee deG⁽¹⁾. En diff´erenciant les deux autres ´equations de (3.1), il vient :

d²ω^α= Φ^α_β∧ω^β+ Φ^α∧ω= 0

d²ωα=−Φ^β_α∧ωβ+ Φα∧ω= 0 (3.5)

o`u nous posons :

Φ^α_β=dϕ^α_β+ϕ^α∧ω_β+ϕ_β∧ω^α−ϕ^α_γ ∧ϕ^γ_β−δ^α_βω^γ∧ϕ_γ−1

2δ_β^αψ∧ω Φ^α=dϕ^α−ϕ^α∧ϕ−ϕ^α_β∧ϕ^β−1

2ψ∧ω^α Φ_α=dϕ_α+ϕ^β_α∧ϕ_β−1

2ψ∧ω_α.

(3.6) Des ´equations (3.5), on tire :

Φ^α_β ≡S_βρ^ασω^ρ∧ω_σ mod ω. (3.7) Les fonctions S_βρ^ασv´erifient les relations de sym´etrie :

S_βρ^ασ=S_βρ^σα=S^ασ_ρβ. (3.8) Toujours d’apr`es (3.5), il s’en suit que :

Φ^α_β =S_βρ^ασω^ρ∧ωσ+φ^α_β∧ω Φ^α≡φ^α_β∧ω^β mod ω Φα≡ −φ^β_α∧ωβ mod ω

o`uφ<sup>β</sup><sub>α</sub> est une 1-forme diff´erentielle surP<sub>H,S</sub>. Apr`es l’absorption de la tor- sion, les ´equations de structure sont donc les ´equations (3.1) auxquelles on ajoute les nouvelles ´equations :

dϕ= ψ∧ω+ϕ^β∧ω_β+ω^β∧ϕ_β

dϕ^α_β= ψ^α_β∧ω−ϕ^γ_β∧ϕ^α_γ−ϕ_β∧ω^α−ϕ^α∧ω_β+δ^α_βω^γ∧ϕ_γ +S_βρ^ασω^ρ∧ω_σ

dϕ^α= ψ^α_β∧ω^β+λ^α∧ω+ϕ^α∧ϕ+ϕ^α_β∧ϕ^β dϕα= −ψα^β∧ωβ+µα∧ω+ψ∧ωα−ϕ^β_α∧ϕβ

(3.9)

o`uψ, ψ<sub>β</sub><sup>α</sup>, λ<sup>α</sup>, µα sont des formes de Maurer-Cartan modifi´ees deG<sup>(1)</sup>. Il en d´ecoule une premi`ere r´eduction du groupeG⁽¹⁾ :

Lemme 3.4.— Nous imposons :

S_βσ^ασ= 0. (3.10)

Le nouveau groupe correspondant `a cette normalisation est le sous-groupe de Lie deG<sup>(1)</sup> form´e des matrices telles que les coefficientsb<sup>α</sup><sub>β</sub> de la matrice R sont ´egaux `aδ^α_β^t₂.

D´emonstation. — Les coefficients S_βρ^ασ sont des fonctions de x, u, u⁽¹⁾ et des param`etres respectifs het g<sup>(1)</sup> des groupesH et G<sup>(1)</sup>. En calculant S<sub>βσ</sub><sup>∗ασ</sup> =S<sub>βσ</sub><sup>ασ</sup>(x, u, u<sup>(1)</sup>, h, g<sup>(1)</sup>g<sup>(1)</sup>), c’est-`a-dire en faisant agir l’´el´ement g⁽¹⁾ deG⁽¹⁾ sur l’ensemble des valeurs prises par les coefficients de torsion des ´equations de structure pr´ec´edentes, nous pouvons savoir comment les fonctionsS_βσ^ασ varient sous l’action deG⁽¹⁾. Nous avons :

S_βρ^∗ασ=S_βρ^ασ+δ^σ_ρb^α_β+δ_β^σb^α_ρ +δ^α_ρb^σ_β+δ_β^αb^σ_ρ−δ^α_βδ_ρ^σt−δ_ρ^αδ^σ_βt. (3.11) En prenant la trace sur σ et ρ dans (3.11), c’est-`a-dire en sommant les relations (3.11) quand les indicesσet ρsont ´egaux, nous obtenons :

S_βσ^∗ασ=S_βσ^ασ+ (n+ 2)b^α_β−(n+ 1)δ_β^αt+δ^α_βb^σ_σ. (3.12) Nous pouvons donc choisir b^α_β en fonction des variables x, u, u⁽¹⁾, des param`etres h du groupe H et de t de mani`ere `a avoir S^ασ_βσ = 0. Nous d´eterminons ensuite le sous-groupe deG⁽¹⁾ dont l’action sur l’ensemble des valeurs des coefficients de torsion laisse inchang´ees ces valeurs normalis´ees.

La relation (3.12) impose la conditionb^α_β=δ^α_β^t₂ dans la matriceRpour que la somme S_βσ^∗ασ reste nulle.

Nous commen¸cons donc une deuxi`eme boucle de l’algorithme de Cartan avec le groupe et la nouvelle 1-forme diff´erentielle vectorielle d´efinis grˆace au lemme.

Nous diff´erencions les 2-formes diff´erentielles Φ^β_αet nous obtenons : dΦ^β_α=ϕ^β_γ∧Φ^γ_α−ϕ^γ_α∧Φ^β_γ+Φ_α∧ω^β+Φ^β∧ω_α+δ_α^βω^γ∧Φ_γ−1

2δ_α^βΨ∧ω (3.13) avec

Ψ =dψ−ψ∧ϕ−2ϕ^α∧ϕα. (3.14) Or, grˆace `a la normalisation (3.10), il vient :

Φ^α_α=φ^α_α∧ω.

En diff´erenciant cette identit´e, et en comparant avec (3.13) dans laquelle on remplace Φ^α et Φαpar les valeurs donn´ees dans (3.6), nous avons :

φ^α_β ≡0 mod ω, ω^ρ, ω_σ. Nous pouvons donc ´ecrire :

φ^α_β ≡R^α_βγω^γ+T_β^αγωγ mod ω,

et finalement :

Φ^α_β =S_βρ^ασω^ρ∧ωσ+R^α_βγω^γ∧ω+T_β^αγωγ∧ω Φ^α≡R^α_βγω^γ∧ω^β+T_β^αγωγ∧ω^β mod ω Φα≡ −R^β_αγω^γ∧ωβ−T_α^βγωγ∧ωβ mod ω.

(3.15) Nous en d´eduisons l’expression des ´equations de structure correspondant `a la boucle de l’algorithme que nous venons d’effectuer. Il s’agit des ´equations (3.1) auxquelles viennent se joindre les ´equations :

dϕ= ψ∧ω+ω^β∧ϕ_β+ϕ^β∧ω_β dϕ^α_β = 1

2δ^α_βψ∧ω−ϕ^γ_β∧ϕ^α_γ −ϕ_β∧ω^α−ϕ^α∧ω_β+δ_β^αω^γ∧ϕ_γ +S_βρ^ασω^ρ∧ω_σ+R^α_βγω^γ∧ω+T_β^αγω_γ∧ω

dϕ^α= 1

2ψ∧ω^α+λ^α∧ω+ϕ^α∧ϕ+ϕ^α_β∧ϕ^β +R^α_βγω^γ∧ω^β+T_β^αγω_γ∧ω^β

dϕα= 1

2ψ∧ωα+µα∧ω−ϕ^β_α∧ϕβ

−R^β_αγω^γ∧ω_β−T_α^βγω_γ∧ω_β

(3.16)

o`uψ, λ^α, µ_αsont ici aussi des formes de Maurer-Cartan modifi´ees.

De la mˆeme mani`ere qu’au lemme 3.4, nous ´etablissons comment les fonctionsR^β_αγetT_α^βγsont transform´ees sous l’action du sous-groupe deG⁽¹⁾ avec lequel nous travaillons :

R^∗β_αγ=R^β_αγ−δ^β_γdα−1 2δ^β_αdγ

T_α^∗βγ =T_α^βγ−δ_γ^γc^β−1 2δ^β_αc^γ.

(3.17)

Lemme 3.5.— Nous pouvons imposer :

R^α_αγ=T_α^αγ= 0. (3.18)

Cette nouvelle normalisation conduit `a reprendre l’algorithme avec le groupe de LieH⁽¹⁾ compos´e des matrices

I2n+1 0 R I_(n+1)²

o`uR est d´efinie par :













I2n+1 0

R I_(n+1)²























 ω ω^α ω_α ϕ ϕ^α_β ϕ^α ϕα













=











 ω ω^α ω_α ϕ+tω ϕ^α_β+δ^α_β^t₂ω ϕ^α+₂^tω^α ϕα+₂^tωα











 .