Cas g´ en´ eral

Nous consid´erons `a pr´esent la matrice de 1-formesλd´efinie par :

λ =





π⁰₀ ω^β ω

ϕα δ_α^βπ₀⁰−ϕ^β_α ωα

−1

2ψ −ϕ^β π⁰₀−ϕ





o`u cette fois (ω, ω<sup>α</sup>, ωα, ϕ, ϕ<sup>α</sup><sub>β</sub>, ϕ<sup>α</sup>, ϕα, ψ) est le corep`ere associ´e au syst`eme (S) par le th´eor`eme 3.7. Les ´equations (3.30) peuvent s’´ecrire sous la forme :

dλ=λ∧λ+ Λ (4.14)

avec, en reprenant les notations du paragraphe pr´ec´edent :

Λ =





 1

n+ 2Φ^γ_γ 0 0

Φα δ^β_αn+2¹ Φ^γ_γ−Φ^β_α 0

−1

2Ψ −Φ^β _n+2¹ Φ^γ_γ







Pour une 2-forme Θ =θ^γ_βω^β∧ω_γ, posons : T r(Θ) =θ^γ_γ. Les conditions (3.31) peuvent se synth´etiser en :

T r(Λ) = 0. (4.15)

Pour g ∈G₁, soit ˜λ=L^∗_g(λ) et soitλ^∗ = ad_gλ. Grˆace aux relations (4.9), nous obtenons le fait que ω^∗ = ˜ω, , ω^∗α = ˜ω^α, ω_α^∗ = ˜ωα et φ^∗ = ˜φ. Les matrices de 1-formes diff´erentielles λ^∗ et ˜λ v´erifient ainsi les ´equations de structure (3.30), (3.32) et (3.31) du fait que (4.15) est invariante sous la transformation adjointe par un ´el´ement de H₁. La condition d’unicit´e du th´eor`eme 3.7 donne alors :

L^∗_g−1(λ) = ad_g(λ). (4.16) Comme Λ = 0 quand on se restreint `a la fibre deY, le th´eor`eme de Frobenius nous assure de l’existence d’une application analytique de G1 sur la fibre de Y fibre qui ram`ene λ sur la matrice de formes de Maurer-Cartan π d´efinie plus haut. Grˆace `a (4.16), on montre que cette application est G1

-´equivariante et la propri´et´e (i) de (4.2) d´ecoule alors des propri´et´es des formes de Maurer-Cartan. Nous avons donc d´emontr´e :

Th´eor`eme 4.2. — `A tout syst`eme d’´equations diff´erentielles : (S) : u_x^α_x^β =Fαβ(x, u, ux), Fαβ=Fβα, α, β= 1. . . n,

est associ´ee une unique connexion de Cartan de groupeSLn+2(C)sur le fibr´e principal Y de groupe G1.Cette connexion est caract´eris´ee par l’´equation (4.14) et la condition (4.15).

5. ´Equivalence des syst`emes(S) et(S0)

Dans ce paragraphe, nous donnons une condition n´ecessaire et suffisante d’´equivalence des syst`emes (S) et (S0). Pour cela nous utilisons le r´esultat suivant dˆu `a E. Cartan [12] :

Th´eor`eme 5.1.— Soit θ un corep`ere sur une vari´et´e analytique com-plexe de dimension m.Le groupe de sym´etrie de θ est un groupe de Lie complexe `am param`etres (c’est-`a-dire de dimension maximale en tant que vari´et´e complexe) si et seulement si les coefficients de torsion des ´equations de structure obtenues en diff´erentiant θ sont constants.

Nous savons d’apr`es les travaux de A. Sukhov [17], [18] que le syst`eme (S0) a un groupe de sym´etrie de dimension maximale n² + 4n+ 3. Les coefficients de torsionS_βρ^ασ,R^β_αγ,T_β^αγ,Q^α_β,L^αβ,P_αβ,K^α,H_αapparaissant dans les ´equations de structure du corep`ere associ´e au syst`eme (S0) par le th´eor`eme 3.7 sont donc tous constants.

Pour d´eterminer les syst`emes (S) qui poss`edent un groupe de sym´etries ponctuelles de dimension maximale, il s’agit donc d’apr`es le th´eor`eme 5.1 de savoir `a quelles conditions les coefficients de torsion correspondant au corep`ere associ´e `a (S) sont tous constants. Or, nous avons :

Lemme 5.2.— Si les coefficients de torsion S_βρ^ασ,R^β_αγ, T_β^αγ, Q^α_β, L^αβ, P_αβ,K^α, H_α d’un corep`ere (ω, ω<sup>α</sup>, ω<sub>α</sub>, ϕ, ϕ<sup>α</sup><sub>β</sub>, ϕ<sup>α</sup>, ϕ<sub>α</sub>, ψ) associ´e `a un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles(S)sont constants, ils sont nuls.

D´emonstration. — Les ´equations de structure (3.30) nous permettent d’´ecrire la relationd²ψ= 0 sous la forme :

(dQ^σ_ρ+ 2Q^σ_ρϕ+ 2R^σ_γρϕ^γ−2T_ρ^γσϕ_γ−Q^γ_ρϕ^σ_γ +Q^σ_γϕ^γ_ρ+δ^γ_ρK^σω_γ+δ^σ_γH_ρω^γ)

∧ω^ρ∧ωσ

+(dHρ+ 2Q^γ_ρϕγ+Hγϕ^γ_ρ+Hρϕ−2Pγρϕ^γ)∧ω^ρ∧ω +(dK^σ−K^γϕ^σ_γ+ 3K^σϕ+ 2L^γσϕγ)∧ωσ∧ω= 0

(5.1) Ainsi, si les formes dQ^σ_ρ, dH_ρ et dK^σ sont nulles, les fonctions Q^β_α, R^β_αγ, T_α^βγ,H_α, K^α,L^βα etP_βα le sont aussi.

En calculant la diff´erentielle de Φ^β_α = S_ασ^βρω^σ ∧ωρ et en comparant l’expression obtenue avec (3.13), nous obtenons de fa¸con analogue le fait que siS_ασ^βρ est constant, il est nul.

Finalement, si les ´equations de structure du corep`ere (ω, ω<sup>α</sup>, ω<sub>α</sub>, ϕ, ϕ<sup>α</sup><sub>β</sub>, ϕ<sup>α</sup>, ϕα, ψ) d´efini surP<sub>S</sub><sup>(1)</sup>associ´e `a (S) sont `a coefficients constants, ce sont en fait les ´equations de structure du corep`ere associ´e au syst`eme (S0). Le r´esultat suivant d´ecoule alors du th´eor`eme 3.7 :

Th´eor`eme 5.3.— Un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles du second ordre compl`etement int´egrable (S)est ´equivalent au syst`eme (S0)si et seulement si les coefficients de torsion du corep`ere associ´e `a(S)sont nuls ou de mani`ere ´equivalente si son groupe de sym´etrie est un groupe de Lie complexe de dimensionn²+ 4n+ 3.

Le groupe de sym´etrie d’un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles (S) est un groupe de Lie complexe de dimension inf´erieure ou ´egale `a n²+ 4n+ 3. Dans le cas o`u le syst`eme (S) provient d’une hypersurface r´eelle analytique Levi non d´eg´en´er´ee H de Cⁿ⁺¹, A. Sukhov a d´emontr´e dans [17], [18] que le groupe des automorphismes locauxAut(H) de Hest un sous groupe de Lie r´eel du groupe de sym´etrie de (S). Toujours d’apr`es [17], [18], la dimension r´eelle du groupe de Lie Aut(H) est inf´erieure ou

´egale `a la dimension complexe du groupe de sym´etrie de (S). A l’aide du th´eor`eme 5.1, nous retrouvons donc le fait ´etabli dans [5] que les seules hy-persurfaces r´eelles analytiques Levi non d´eg´en´er´ees qui admettent un groupe d’automorphismes de dimension n²+ 4n+ 3 sont celles auxquelles on peut associer le syst`eme (S0), c’est `a dire `a biholomorphisme pr`es, les quadriques deCⁿ⁺¹.

Nous recherchons `a pr´esent `a avoir des expressions explicites des coeffi-cients de torsion des ´equations de structure du corep`ere associ´e au syst`eme (S). Cela nous fournira des conditions sur les fonctions F_αβ intervenant dans la d´efinition du syst`eme (S) pour que (S) et (S0) soient ´equivalents.

Nous proc´edons en trois ´etapes. Nous montrons dans un premier temps que l’annulation de certains des invariants obtenus dans le th´eor`eme 3.7 (et que nous qualifions d´esormais de fondamentaux) suffit `a garantir celle des autres.

Puis nous calculons les expressions de ces invariants pour certaines valeurs des param`etres des groupes intervenant dans la construction du deuxi`eme paragraphe. Enfin, nous utilisons les propri´et´es des connexions de Cartan pour obtenir l’expression g´en´erale des invariants fondamentaux.

Commen¸cons donc par d´emontrer le r´esultat suivant :

Th´eor`eme 5.4.— Les invariantsQ^β_α, R^β_αγ, T_α^βγ, Hα, K^α, L^βαetPβα

peuvent s’exprimer en fonction des d´eriv´ees covariantes des invariantsS_βρ^ασ par rapport aux 1-formesω^α etωα.

D´emonstration. — Nous allons utiliser les relations de Poincar´e d²ϕ^α_β = 0, d²ϕ^α = 0, d²ϕα = 0 et d²ψ = 0 que nous calculons `a l’aide des expressions (3.30). Nous en d´eduisons des relations entre les fonctions mises en jeu.

Avant de commencer le calcul proprement dit, fixons quelques notations.

Pour une 1-formeφsur la vari´et´eP_S⁽¹⁾, nous notons : φ_(ω^α₎=X^αφ φ_(ωα)=Xαφ

o`uX^α etXαsont les champs de vecteurs duaux des 1-formesω^α etωα. En recherchant le coefficient deω^γ∧ω^ρ∧ωσ dans la 3-formed²ϕ^α_β, nous obtenons l’identit´e suivante :

dS_βρ^ασ_(ωγ)+δ_ρ^αR_βγ^σ −δ_γ^σR^α_βρ= 0. (5.2) En prenant la trace surσetγ de (5.2), il vient :

R^α_βρ=−1 n

σ

dS_βρ^ασ_(ωσ). (5.3)

De mˆeme, en consid´erant cette fois le coefficient de ωγ ∧ω^ρ∧ωσ dans l’expression d²ϕ^α_β, nous avons :

dS_βρ^ασ₍

ωγ)−δ^σ_βT_ρ^αγ+δ^γ_ρT_β^ασ= 0 (5.4) et en prenant la trace surρetγ dans (5.4) :

T_β^ασ=−1 n

ρ

dS_βρ^ασ₍

ωρ). (5.5)

Nous isolons maintenant les coefficients des produits exterieurs ω^γ∧ω^ρ∧ω_σ et ω_γ∧ω^ρ∧ω_σ dans l’expressiond²ϕ^α, nous obtenons alors les ´egalit´es :

−dT_ρ^ασ_(ωγ)−1

2δ^α_ρQ^σ_γ+1

2δ^σ_γQ^α_ρ = 0 (5.6)

−dT_ρ^ασ₍

ωγ)+δ^γ_ρL^ασ= 0. (5.7) Le calcul de la trace surσet γ dans (5.6) et la trace surγ etρdans (5.7) nous donne les relations suivantes :

Q^α_ρ = 2 n

σ

dT_ρ^ασ_(ωσ) (5.8)

et

L^ασ= 1 n

ρ

dT_ρ^ασ₍

ωρ) (5.9)

En explicitant `a pr´esent les coefficients des produits ext´erieurs ω^γ ∧ω^ρ∧ω_σ dans l’expression de la 3-forme diff´erentielle d²ϕ_α desquels nous calculons la trace, nous obtenons :

P_αρ= 1 n

γ

dR^σ_α(ωγ) (5.10)

Enfin, il d´ecoule de (5.1) :

δ^σ_γH_ρ+dQ^σ_ρ(ωγ) = 0 (5.11) et

δ^γ_ρK^σ+dQ^σ_ρ(

ωγ) = 0. (5.12)

En prenant la trace surσetγdans (5.11) et surγetρdans (5.12), il vient : H_ρ=−1

n

σ

dQ^σ_ρ(ωσ) (5.13)

K^σ=−1 n

ρ

dQ^σ_ρ(

ωρ), (5.14)

Les relations (5.3), (5.5), (5.8), (5.9), (5.10), (5.13) et (5.14) permettent de conclure la d´emonstration du th´eor`eme.

En cons´equence, nous avons directement le r´esultat suivant :

Corollaire 5.5.— Si les fonctionsS_βρ^ασ, sont nulles, il en est de mˆeme pour les fonctionsQ^β_α,R^β_αγ,T_α^βγ,H_α,K^α,L^βα etP_βα.

Ainsi, d’apr`es le th´eor`eme 5.1 et le lemme 5.2, pour que le syst`eme (S) soit ´equivalent `a (S0) il faut et il suffit que les fonctions S_βρ^ασ soient nulles.

Pla¸cons nous `a pr´esent sur une trivialisation localeU×H×H<sup>(1)</sup>du fibr´e P<sub>S</sub><sup>(1)</sup>o`uU est un ouvert deMS. Nous calculons les expressions explicites des invariants fondamentauxS_βρ^ασ en l’´el´ement Id_H×H(1) du groupeH×H⁽¹⁾.

Pour unek-formeφsur U×H×H⁽¹⁾, on note φ|Id les valeurs deφen l’identit´e du groupeH×H⁽¹⁾.

Proposition 5.6.— Pour tous les indicesα,β,ρ,σvariant entre1et n, nous avons les expressions :

S_αρ^βσ|Id= ∂²Fαρ

D´emonstration. — Nous commen¸cons par ´etablir les expressions expli-cites des formes de Maurer-Cartan modifi´ees intervenant dans le lemme 3.3.

Nous savons queH est le groupe des matrices (2n+ 1)×(2n+ 1) inversibles s’´ecrivant :

Pour plus de clart´e, les formes de Maurer-Cartan modifi´ees deH utilis´ees dans le lemme 3.3 sont d´esormais not´ees ˜ϕ, ˜ϕ^α_β, ˜ϕ^α et ˜ϕ_α, et nous cessons d’utiliser les conventions de sommation d’Einstein.

Pour une fonctionf :M −→C, nous d´efinissons l’op´erateur de d´eriv´ee totale restreint `a Mde la fa¸con suivante :

Dˆ_x^γ(f) = ∂f

Le syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles (S) ´etant suppos´e compl`ete-ment int´egrable, les fonctions Fαβ intervenant dans sa d´efinition v´erifient donc les identit´es suivantes :

Dˆx^γ(Fαβ) = ˆDx^α(Fγβ) = ˆD_x^β(Fαγ), (5.16)

Un calcul direct explicite effectu´e au moment de la d´etermination des ´equations de structure donn´ees dans le lemme 3.3 montre que :

˜ Nous voulons maintenant expliciter le terme (d

γ,λ,ρ,σ

∂F_σλ

∂uγ

m^σ_αm^λ_ρm^β_γω^ρ)|Id

intervenant dans (5.18). Pour cela nous avons besoin du lemme calculatoire suivant :

Lemme 5.7.— Soit une application analytiqueF:M −→C.La diff´ eren-tielle deF peut s’´ecrire sous la forme :

dF = Ces r´esultats proviennent directement des conditions d’int´egrabilit´e (5.16) du syst`eme (S).

Nous obtenons ainsi l’expression de la diff´erentielle ext´erieure de la forme

˜

Lors de la premi`ere boucle de l’algorithme de Cartan que nous avons effectu´ee apr`es le premier prolongement (voir lemme 3.4), nous avons d´eter-min´e certains param`etres du groupeG<sup>(1)</sup> de fa¸con `a ce que la condition de

trace (3.10) soit v´erifi´ee. D’apr`es (3.11) et (3.12), nous disposons des valeurs attribu´ees `a ces param`etres :

b^β_α=− 1 Or en utilisant (3.11), nous obtenons l’expression des coefficientsS^ασ_βρ inter-venant dans les ´equations de structure (3.9) apr`es la normalisation (3.12) du lemme 3.4 :

S_βρ^ασ|Id= ˜S_βρ^ασ|Id+δ_ρ^σb^α_β|Id+δ^σ_βb^α_ρ|Id+δ_ρ^αb^σ_β|Id+δ_β^αb^σ_ρ|Id. (5.24) En rempla¸cant dans (5.24) les coefficientsb^α_β|Id, b^α_ρ|Id, b^σ_β|Idetb^σ_ρ|Id par les expressions (5.23) correspondantes calul´ees enId_H×H(1), il vient finalement :

S^βσ_αρ|Id= ∂²F_αρ

Les groupes de Lie intervenant dans la suite de l’algorithme sont choisis pour ne pas agir sur l’ensemble des valeurs des fonctionsS_αρ^βσ. Nous avons ainsi d´emontr´e la proposition 5.6.

D’autre part, dans le quatri`eme paragraphe, nous avons construit `a l’aide des 1-formes diff´erentiellesω, ω^α, ωα, ϕ, ϕ^α_β, ϕ^α, ϕα, ψd´efinies sur l’espace des variables (x, u, , u⁽¹⁾, a, a^α, bα, m^α_β, t) une connexion de Cartan sur leG1-fibr´eYau dessus deE. Grˆace `a la propri´et´e (ii) de (4.2), nous savons comment les fonctionsS_αρ^βσ sont transform´ees quand on fait agir le groupe G1 surY. Nous avons en fait les expressions :

S_αρ^βσ= 1

an^γ_αn^σ_λm^β_µm^κ_ρS_γκ^µλ|Id. (5.25) De (5.25), il d´ecoule que l’annulation des fonctionsS^βσ_αρ|Idest suffisante pour que les fonctionsS_αρ^βσ soient nulles partout.

Le syst`eme d’´equation aux d´eriv´ees partielles (S) est donc ´equivalent au syst`eme (S0) si et seulement si les fonctions S_αρ^βσ|Id sont toutes nulles. `A l’aide des expression (5.15) de la proposition 5.6, nous aboutissons donc au th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 5.8.— Le syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles com-pl`etement int´egrable :

(S) : u_xαx^β =F_αβ(x, u, u_x), F_αβ=F_βα, α, β= 1. . . n est ´equivalent au syst`eme :

(S0) : u_x^α_x^β = 0, α, β= 1. . . n, si et seulement si les fonctions Fαβ v´erifient les conditions :

∂²Fαρ

En resolvant le syst`eme (5.26), nous retrouvons les formules d´emontr´ees par M. Hachtroudi dans [10] pour les fonctions F<sub>αβ</sub> intervenant dans la d´efinition d’un syst`eme (S) ´equivalent `a (S0) :

F_αβ(x, u, u_x) =A^κu_xαu_xβu_xκ+ (B_β^κu_xα+B_α^κu_xβ)u_xκ+C_αβ^κ u_xκ+D^k_αβ (5.27) o`u A, B, C et D sont des fonctions holomorphes en les variablesx et u avec A<sup>κ</sup><sub>αβ</sub> = A<sup>κ</sup><sub>βα</sub> et D<sup>κ</sup><sub>αβ</sub> = D<sup>κ</sup><sub>βα</sub> et o`u nous utilisons les conventions de sommation d’Einstein.

Pourn= 2, les relations (5.26) s’´ecrivent :

∂²F₁₁

Dans sa th`ese [13], S. Neut a programm´e l’algorithme de Cartan avec MAPLE.

Il montre que les conditions (5.28) sont n´ecessaires et suffisantes pour que les syst`emes (S) et (S0) soient ´equivalents dans le casn= 2.

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