Etude dynamique des modes collectifs dans les gaz de fermions froids

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Etude dynamique des modes collectifs dans les gaz de

fermions froids

Thomas Lepers

To cite this version:

No d’ordre 113-2010 LYCEN – T 2010-07

Thèse

présentée devant

l’Université Claude Bernard Lyon-I

Ecole Doctorale de Physique et d’Astrophysique

pour l’obtention du

DIPLOME de DOCTORAT

Spécialité : Physique Nucléaire et Théorique

(arrêté du 7 août 2006)

par

Thomas LEPERS

Etude dynamique des modes collectifs dans les gaz de

fermions froids

Soutenue le 25 juin 2010 devant la Commission d’Examen

Jury : Mme M. Ericson Présidente du jury M. J. Aichelin Rapporteur

M. P. Schuck Rapporteur M. D. Davesne Directeur de thèse M. M. Urban

Doctorat de physique th´

eorique

Universit´e Claude Bernard Lyon I

Thomas Lepers

Etude dynamique des modes collectifs dans les gaz de fermions froids

Sous la direction de Dany Davesne

25 Juin 2010

Table des mati`

eres

Introduction 7

1 La physique du BEC-BCS crossover 9

1.1 Le BEC-BCS crossover . . . 9

1.1.1 La condensation de Bose Einstein (BEC) . . . 9

1.1.2 Superfluidit´e BCS . . . 11

1.1.3 Description th´eorique du BEC-BCS crossover . . . 13

1.1.4 Unitarit´e . . . 14

1.2 R´ealisation d’un BEC-BCS crossover . . . 14

1.2.1 Les m´ethodes de refroidissement . . . 15

1.2.2 Le pi´egeage des atomes . . . 15

1.2.3 La r´ealisation d’un BEC-BCS crossover . . . 16

1.3 Les diff´erents r´egimes dynamiques . . . 17

1.3.1 Le r´egime sans collision, non-superfluide . . . 17

1.3.2 Le r´egime hydrodynamique . . . 17

1.4 Modes collectifs . . . 18

1.4.1 Utilisation des modes collectifs . . . 18

1.4.2 Mode de compression quadrupolaire . . . 18

1.4.3 Mode de surface quadrupolaire . . . 20

1.4.4 Mode ciseaux . . . 21

1.5 Cadre d’´etude . . . 22

1.5.1 Th´eorie de la diffusion . . . 22

1.5.2 Les r´esonances de Feshbach . . . 24

1.5.3 L’interaction `a deux corps . . . 26

1.5.4 Approximation d’´echelle . . . 27

2 L’interaction effective dans le milieu 29 2.1 L’approximation de Hartree . . . 29

2.2 La matrice T . . . 30

2.2.1 Dans le vide . . . 30

2.2.2 Effets de milieu . . . 32

2.3 La self-´energie Σ . . . 33

2.3.1 Relation de dispersion des quasiparticules . . . 34

2.3.2 Temp´erature critique, crit`ere de Thouless . . . 35

2.4 La densit´e . . . 35

2.4.1 Les cas libre et perturbatif . . . 36

2.4.3 Les corr´elations . . . 38

2.4.4 Quasiparticule . . . 39

2.5 La section efficace . . . 40

2.6 Approximation de densit´e locale . . . 42

3 Fr´equence et amortissement des modes collectifs 44 3.1 Th´eorie cin´etique : ´equation de Boltzmann . . . 44

3.2 Fonction test Φ . . . 47

3.3 Fr´equence et amortissement sans champ moyen . . . 48

3.3.1 Etude du temps de relaxation . . . 48

3.3.2 D´etermination de la fr´equence et de l’amortissement du mode . . . . 48

3.4 Fr´equence et amortissement dans le cas Hartree . . . 50

3.4.1 Les ´energies . . . 50

3.4.2 Fr´equence et amortissement . . . 52

3.5 Th´eor`eme du viriel g´en´eralis´e . . . 53

3.6 Fr´equence et amortissement au-del`a du champ moyen . . . 53

3.6.1 Mode de Kohn . . . 54

3.6.2 Mode ciseaux . . . 54

3.6.3 Mode radial quadrupolaire . . . 55

3.6.4 Mode radial de respiration . . . 55

3.7 R´esultats et discussion . . . 56

3.7.1 Mode radial quadrupolaire `a 1/kFa = −1.34 . . . 56

3.7.2 Mode ciseaux `a 1/kFa = −0.45 . . . 58

3.7.3 Modes collectifs dans la limite unitaire . . . 59

3.7.4 Conclusion . . . 61

4 R´esolution num´erique de l’´equation de Boltzmann 63 4.1 Description physique du probl`eme . . . 63

4.1.1 M´ethode des particules tests . . . 63

4.1.2 Equations du mouvement . . . 64

4.1.3 Propagation des particules . . . 65

4.1.4 Le terme de collision . . . 65

4.1.5 Le taux de collisions . . . 66

4.1.6 Le potentiel de pi`ege . . . 67

4.2 R´esolution num´erique . . . 68

4.2.1 Extension finie . . . 69

4.2.2 Calcul du terme de collision . . . 70

4.2.3 Description lagrangienne . . . 71

4.2.4 Initialisation . . . 72

4.2.5 M´ethode de propagation . . . 72

4.2.6 Optimisation . . . 73

4.2.7 Conservation de l’´energie . . . 74

4.2.8 Stabilit´e de la distribution d’´equilibre . . . 76

4.2.9 Convergence du taux de collisions . . . 77

4.2.10 Expansion libre du gaz . . . 79

4.3 Etude th´eorique du mode quadrupolaire . . . 81

4

4.3.2 Mode de Kohn . . . 82

4.3.3 Mode de respiration . . . 84

4.3.4 Mode quadrupolaire dans le cas classique . . . 85

4.3.5 R´eponse du mode quadrupolaire . . . 87

4.3.6 Comparaison avec la m´ethode des moments . . . 89

4.3.7 D´etermination de la r´eponse temporelle . . . 90

4.4 Etude de la r´eponse du syst`eme dans un cas particulier . . . 91

4.4.1 Comparaison des diff´erentes r´eponses . . . 91

4.4.2 Fr´equence et amortissement du mode . . . 93

4.4.3 Erreurs sur la fr´equence et l’amortissement . . . 93

4.5 Comparaison sur une gamme de temp´erature . . . 94

4.5.1 Taux de collisions sur une gamme de temp´erature . . . 94

4.5.2 Temps de relaxation du gaz d’atomes . . . 96

4.5.3 Fr´equence et amortissement du mode quadrupolaire . . . 98

4.6 M´ethode des moments d’ordre sup´erieur . . . 100

4.6.1 D´etermination de la r´eponse . . . 100

4.6.2 Etude de la r´eponse . . . 103

4.7 Perspectives . . . 105

Conclusion 107 A Calcul de IS 110 B D´etermination de l’´equation des modes 112 B.1 Mode ciseaux . . . 112

B.2 Mode radial quadrupolaire . . . 115

B.3 Mode radial de respiration . . . 115

R´

esum´

e

Grace aux progr`es ´enormes des techniques de refroidissement, des exp´eriences actuelles avec des atomes fermioniques pi´eg´es atteignent des temp´eratures extrˆemement basses de l’ordre du nanoKelvin. Le but principal de ces exp´eriences est l’´etude de la transition nomm´ee ”BEC-BCS crossover”. Pour cela, on change le champ magn´etique autour d’une r´esonance de Feschbach, ce qui implique que la longueur de diffusion change des valeurs r´epulsives (a positif), `a travers la limite unitaire (a infini) aux valeurs attractives (a n´egatif). Du cˆot´e BEC, o`u le syst`eme forme un condensat de Bose-Einstein de mol´ecules fortement li´ees, aussi bien que du cˆot´e BCS, o`u les atomes forment des paires de Cooper qui ont une grande extension par rapport `a la distance moyenne entre les atomes, on s’attend `a ce que le syst`eme devienne superfluide, `a condition que la temp´erature soit inf´erieure `a une certaine temp´erature critique. Afin de trouver des signes sans ´equivoque de la superfluidit´e, il est n´ecessaire de regarder des observables dynamiques comme l’expansion du nuage atomique lorsque le pi`ege est ´eteint ou des oscillations collectives du nuage.

Le travail effectu´e au cours de cette th`ese est une ´etude de la dynamique des modes collectifs dans les gaz de fermions froids. Nous avons d´evelopp´e un mod`ele bas´e sur l’´eva-luation de la matrice T. L’utilisation de l’´equation de transport de Boltzmann pour les particules permet ensuite une ´etude semi-num´erique des modes collectifs dans tous les r´e-gimes d’interaction. Cette ´etude a permis de mettre en ´evidence pour la premi`ere fois que la fr´equence du mode radial quadrupolaire est sup´erieure `a deux fois la fr´equence du pi`ege, comme cela est v´erifi´e exp´erimentalement et contrairement aux premi`eres th´eories n’incluant pas les effets de champ moyen. Les r´esultats obtenus ont aussi mis en ´evidence la n´ecessit´e d’une r´esolution num´erique compl`ete de l’´equation de Boltzmann et de l’am´elioration des techniques de d´etermination des observables physiques du gaz. Cette r´esolution num´erique de l’´equation de Boltzmann a montr´e que la d´etermination du temps de relaxation par la m´ethode des moments est erron´ee de 30%, ce qui influe fortement sur la d´etermination de la fr´equence et de l’amortissement du mode collectif. Enfin, l’am´elioration de la m´ethode des moments, consid´erant l’ordre sup´erieur, permet d’am´eliorer sensiblement l’accord avec le r´esultat num´erique. Une telle investigation n’avait jamais ´et´e r´ealis´ee et montre la n´ecessit´e de consid´erer les moments d’ordre sup´erieurs pour l’´etude des modes collectifs par l’´equation de Boltzmann d’un gaz de fermions dans la phase normale.

Remerciements

Mes premiers remerciements vont `a Dany Davesne qui a encadr´e ce travail de th`ese. Il a port´e une attention soutenue `a mon travail avec de nombreux ´echanges et une grande disponibilit´e.

Ce travail a ´et´e effectu´e en ´etroite collaboration avec Michael Urban, il a su me faire profiter de ses connaissances sur le domaines des atomes au cours des nombreuses visites et discussions t´el´ephoniques.

Je remercie aussi tout particuli`erement Madame Ericson de l’int´erˆet qu’elle a port´e `a mon travail durant ces trois ann´ees de th`ese. Madame Ericson m’a aussi fait l’honneur d’accepter d’ˆetre pr´esidente de mon jury de th`ese.

Je tiens aussi `a remercier Messieurs Aichelin et Schuck de l’intˆeret qu’ils ont port´e `a mon manuscrit et d’avoir accept´e d’ˆetre les rapporteurs de ma th`ese. De mˆeme, je remercie Monsieur Leyronas d’avoir accept´e de faire partie du jury.

Au cours de cette th`ese, j’ai eu le plaisir de travailler avec Silvia Chiacchiera qui est une physicienne d’une honnˆetet´e et d’une efficacit´e sans pareil.

Je remercie aussi Mich`ele Leduc, directrice de l’Institut Francilien de Recherche sur les Atomes Froids (IFRAF) de m’avoir conseill´e, notamment pour les membres de mon jury de th`ese.

Je tiens aussi `a remercier Corentin d’avoir bien voulu attendre que je termine de r´ediger mon manuscrit, cela nous a permis de passer par la suite des moments inoubliables.

Enfin, le dernier remerciement sera pour Sophie qui m’a accompagn´e personnellement pendant ces trois ann´ees et pendant bien plus longtemps encore.

Introduction

Apr`es la premi`ere r´ealisation d’un condensat de Bose-Einstein en 1995 pour une vapeur dilu´ee d’atomes, de nouvelles perspectives ont ´et´e ouvertes dans ce domaine de recherches.

L’id´ee de base du condensat de Bose-Einstein (BEC) date de 1925, quand Einstein, sur la base d’un article du physicien Indien S.N. Bose (1924) [1] traitant la description statistique des quantas de lumi`ere, pr´edit l’apparition d’une transition de phase dans un gaz d’atomes sans interaction. Cette transition de phase est associ´ee avec la condensation d’atomes dans l’´etat de plus basse ´energie et est la cons´equence des effets de statistique quantique [2]. Pendant longtemps, ces pr´edictions n’ont pas eu d’impact pratique. En 1938, F.London, juste apr`es la d´ecouverte de la superfluidit´e de l’h´elium liquide, eut l’intuition que cette superfluidit´e pouvait ˆetre une manifestation de la condensation de Bose-Einstein. Puis, la premi`ere th´eorie autocoh´erente des superfluides a ´et´e d´evelopp´ee par Landau (1941) en terme de spectre des excitations ´el´ementaires du fluide. En 1947, Bogoliubov ´elabore la premi`ere th´eorie microscopique des gaz de bosons en interaction, bas´ee sur le concept de condensat de Bose-Einstein. Les ´etudes exp´erimentales sur les gaz d’atomes dilu´es ont ´et´e d´evelopp´ees plus tard, `a partir des ann´ees 1970, profitant de nouvelles techniques de phy-sique atomique bas´ees sur le pi´egeage optique et magn´etique. Les premi`eres ´etudes qui ont port´e sur l’hydrog`ene, consid´er´e comme le candidat le plus s´erieux pour une condensation de Bose-Einstein, ont permis de s’approcher fortement du BEC. Dans les ann´ees 1980, l’am´e-lioration des techniques de refroidissement laser et de pi´egeage magn´eto-optique ont rendu possible le refroidissement et pi´egeage d’atomes neutres. Les alcalins permettent d’exploiter au maximum ces techniques car leurs transitions optiques sont accessibles avec ces lasers et la structure de leurs niveaux d’´energie interne permet de les refroidir fortement. Une fois les atomes pi´eg´es, la temp´erature peut encore ˆetre diminu´ee `a l’aide du refroidissement par ´eva-poration. Ainsi, pendant plusieurs ann´ees les gaz de nature bosonique ont ´et´e ´etudi´es pour examiner les cons´equences importantes de la condensation de Bose-Einstein. Puis, apr`es la r´ealisation d’un BEC pour les bosons, d’importants efforts ont ´et´e faits pour r´ealiser un gaz de Fermi d´eg´en´er´e. Bien que la structure explicite des niveaux hyperfins diff`ere entre les iso-topes bosoniques et fermioniques car le spin nucl´eaire est diff´erent, le pi´egeage magn´etique peut ˆetre utilis´e dans les deux cas. Le but de ces ´etudes ´etait d’atteindre les tr`es basses tem-p´eratures (∼ nK), o`u l’on esp`ere observer la transition Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS), qui est similaire `a ce qui se passe dans les supraconducteurs ou l’h´elium liquide(3_{He). La}

possibilit´e de contrˆoler l’interaction entre particules via les r´esonances de Feshbach a per-mis de r´ealiser des condensats de Bose Einstein de mol´ecules compos´ees de deux fermions et de modifier continuement l’interaction afin de passer d’un condensat de Bose-Einstein `a un gaz de fermions dans une phase superfluide BCS. Cette transition continue est appell´ee le BEC-BCS crossover. Les principales r´eussites de l’´etude de cette transition ont ´et´e, par exemple, l’´etude du caract`ere superfluide incluant la nature hydrodynamique des

8

tions collectives ou encore la r´ealisation de vortex quantiques, signature de la superfluidit´e dans la partie BCS du BEC-BCS crossover. N´eanmoins, l’´etude de la phase normale (non-superfluide) permet aussi d’explorer des aspects importants de la physique domin´ee par la statistique de Fermi, tel que le principe d’exclusion de Pauli qui affecte significativement les propri´et´es collisionnelles du gaz.

D’un point de vue th´eorique, les premiers efforts ont ´et´e r´ealis´es pour am´eliorer la th´eorie de Gross-Pitaevski [3, 4, 5] des gaz de Bose pi´eg´es interagissant faiblement. Cette th´eorie de champ moyen, non lin´eaire, est capable de rendre compte de nombreuses quantit´es mesur´ees exp´erimentalement dans les condensats de Bose-Einstein comme les profils de densit´e, les oscillations collectives ou encore la structure des vortex. L’attention des th´eoriciens s’est ensuite tourn´ee vers les ph´enom`enes qui ne peuvent pas ˆetre d´ecrits par cette th´eorie de champ moyen, comme par exemple, le rˆole des corr´elations pour des syt`emes en rotation rapide [6]. Les fermions pouvant former des paires pour obtenir des bosons, on peut voir la physique des bosons comme un cas particulier de la physique des fermions o`u les paires sont fortement li´ees et o`u le caract`ere fermionique des constituants n’interviendrait plus. La physique des fermions en interaction permet alors d’aborder de nombreuses questions fondamentales ; c’est ce qui constitue ´evidemment la principale motivation pour de telles ´etudes.

Aujourd’hui, le champ d’´etude des atomes froids s’est largement ´etendu, notamment avec l’´etude des syst`emes asym´etriques [7] ou encore la recherche de la phase FFLO [8]. L’am´elioration des techniques de pi´egeage permet d´esormais d’obtenir des ions froids pi´eg´es dont l’´etude exp´erimentale rend possible la r´ealisation des syst`emes d’information quantique [9], de simuler l’´equation de Dirac [10], de mesurer des constantes fondamentales avec une pr´ecision in´egal´ee [11, 12]. D’autre part, les atomes froids dans un r´eseau optique permettent de simuler des exp´eriences de mati`ere condens´ee [13, 14], la dynamique hors ´equilibre des syst`emes interagissant fortement tels que la transition entre isolateur de Mott et phase super-fluide `a partir du mod`ele de Bose-Hubbard [15], la d´ecroissance d’´etats excit´es doublement occup´es dans le mod`ele de Fermi-Hubbard [16] et l’apparition du magn´etisme [17]. Enfin, cette ´etude pourrait relier la gravitation avec la statistique de spins [18]. Cette th`ese se situe donc dans un champ de recherches en constante expansion et dont l’´etude exp´erimentale est ´etroitement li´ee aux ´etudes th´eoriques actuelles.

Chapitre 1

La physique du BEC-BCS crossover

Nous allons commencer par introduire le sujet de la physique des gaz de fermions confin´es dans un potentiel. Nous verrons les points importants de la physique du BEC-BCS crossover avec notamment les diff´erents r´egimes mais aussi les modes collectifs dont l’´etude exp´eri-mentale et th´eorique permet de d´ecrire de nombreuses observables comme le champ moyen ou la section efficace de collision.

1.1

Le BEC-BCS crossover

1.1.1

La condensation de Bose Einstein (BEC)

La physique du condensat de Bose Einstein est connue depuis longtemps et d´ecrite dans de nombreux ouvrages (cf [20] par exemple). On consid`ere dans ce qui suit un gaz de bosons sans interaction qui constitue l’exemple le plus simple de r´ealisation d’un condensat de Bose Einstein et qui pr´edit correctement des propri´et´es importantes des syst`emes actuels.

Pour des bosons sans interaction `a l’´equilibre thermodynamique, le nombre d’occupation moyen d’une particule dans l’´etat ν avec une ´energie Eν est donn´ee par la fonction de

distribution de Bose Einstein1 _:

n(Eν) =

1

exp[(Eν − µ)/kBT ] − 1

(1.1) o`u le potentiel chimique µ est fix´e par la condition de normalisation N =P

νn(Eν) et peut

donc ˆetre calcul´e en fonction de T et N . Le potentiel chimique du boson est soumis `a la condition µ < E0, o`u E0 est l’´energie du fondamental. Pour les hautes temp´eratures, le

nombre d’occupation moyen est beaucoup plus petit que 1, la fonction de distribution est alors bien approxim´ee par la fonction de distribution classique de Boltzmann. D’autre part, si la temp´erature diminue avec un nombre constant de particules N , le potentiel chimique augmente avec une limite stricte sup´erieure E0 (µ < E0). En effet, le nombre d’occupation

qui diverge pour µ = E0, devient n´egatif si le potentiel chimique d´epasse cette valeur

mini-male de l’´energie. Ainsi, lorsque µ augmente, le nombre d’occupation de l’´etat fondamental N0 = n(E0) =

1

exp[(E0− µ)/kBT ] − 1

(1.2)

1

On ne tient pas compte ici d’un ´eventuel facteur de d´eg´en´erescence de spin.

1.1 Le BEC-BCS crossover 10

devient tr`es grand. Ce m´ecanisme est `a l’origine de la condensation de Bose Einstein : la condensation de Bose Einstein correspond `a une population macroscopique de l’´etat fon-damental d’un gaz de bosons qui apparaˆıt en dessous d’une temp´erature critique TC. Pour

obtenir un crit`ere de condensation de Bose-Einstein, on consid`ere le nombre d’atomes dans les ´etats excit´es : NE = N − N0. Pour une temp´erature T donn´ee, NE atteint un maximum

dans la limite µ → E0, ce nombre est d´etermin´e par :

N_Emax =X

ν>0

1

exp[(Eν − E0)/kBT ] − 1

. (1.3)

Si la temp´erature descend sous la valeur TC, NEmax devient beaucoup plus petit que N . Par

cons´equent, N0 est de l’ordre de N : il y a peuplement macroscopique de l’´etat fondamental.

Remarquons que pour un grand nombre de particules, kBTcest bien plus grand que l’´ecart

entre deux niveaux ´energ´etiques ∆E et que l’´energie du fondamental E0(qui d´etermine aussi

la valeur du potentiel chimique). Ainsi, lorsque T → TC, µ → E0 et E_kB0−µ_TC  1. On peut

alors consid´erer que le potentiel chimique est nul dans la discussion qui suit.

Dans un pi`ege harmonique `a trois dimensions de fr´equence ω et avec une description continue du syst`eme, on peut r´e´ecrire l’´equation pr´ec´edente en utilisant la densit´e d’´etats2

g() = 2_/2~3_ω3_{. Le nombre maximum d’atomes dans un ´etat excit´e devient alors :}

Nmax E = Z ∞ 0 2 2~3_ω3 1 exp[/kBT ] − 1 d. (1.4) En utilisant (exp(β) −1)−1 ₌P∞

j=1exp(−jβ), on obtient pour le calcul de cette int´egrale :

NEmax =

 kBT

~_ω 3

ζ(3) (1.5)

o`_{u ζ(3) ' 1.202 est la fonction Zeta de Riemann, ζ(z) =}P∞

n=1 1

nz. Au seuil du ph´enom`ene

de condensation, la majorit´e des atomes est encore dans des niveaux excit´es. Toute nouvelle diminution de la temp´erature fera croˆıtre prodigieusement la population du fondamental. La temp´erature seuil s’exprime donc par la relation :

N = kBTC ~_ω

3

ζ(3), (1.6)

2

Pour un oscillateur harmonique `a 3 dimensions, on a : 1 2mω 2 r2 + p 2 2m= E qui se r´eduit `a ˜r2 + ˜p2 = E avec ˜r =qmω2 2 r et ˜p = p

√2m. Le nombre de particules n(E) ayant une ´energie

inf´erieure `a E est donc le volume de la sph`ere `a 6 dimensions divis´e par le volume d’une particule de l’espace des phases (avec les notations ˜r et ˜p). Ainsi, on obtient :

n(E) = π3 6E 3 h3_ω3_/8 = 1 6  E ~_ω 3

La densit´e d’´etats ´etant le nombre de particules ayant une ´energie comprise entre E et E + dE, il vient finalement :

g(E) = dn dE(E) =

E2

1.1 Le BEC-BCS crossover 11 soit TC = ~_ω kBζ(3) N1/3. (1.7)

En dessous de la temp´erature critique, les niveaux excit´es ne suffisent plus `a contenir la population des N atomes. Le niveau fondamental se peuple alors de mani`ere macroscopique. La fraction d’atomes condens´es N0/N = (N − NEmax)/N se calcule `a partir des ´equations

(1.5) et (1.6), et donne : N0/N = 1 −  T TC 3 . (1.8)

Ainsi, en dessous de la temp´erature critique TBEC

C , un gaz de bosons forme un condensat

de Bose-Einstein, cet ´etat a ´et´e observ´e pour la premi`ere fois [21]. La possibilit´e de contrˆoler l’interaction entre les particules a permis de former des BEC de mol´ecules compos´ees de deux fermions. Nous allons voir maintenant que pour un gaz de fermions, il existe aussi un ´etat particulier lorsque la temp´erature est inf´erieure `a une temp´erature critique TBCS

C

caract´eristique de cet ´etat.

1.1.2

Superfluidit´

e BCS

Dans le cas des fermions, la pr´esence d’une interaction entre particules peut se manifester de deux mani`eres diff´erentes. Une interaction forte peut grouper un nombre pair de parti-cules et former des entit´es fortement localis´ees et ob´eissant `a la statistique de Bose-Einstein. On est ramen´e au cas BEC par la formation de mol´ecules diatomiques compos´ees de deux fermions. En revanche, s’il n’y a pas une interaction suffisamment importante pour former des mol´ecules, ces fermions subissent `a basse temp´erature une transition de phase pr´esentant une analogie ind´eniable avec la condensation de Bose-Einstein. La premi`ere th´eorie micro-scopique satisfaisante pour d´ecrire ce ph´enom`ene est due `a Bardeen, Cooper et Schrieffer, cette th´eorie est universellement connue sous le nom de th´eorie BCS.

Pour des fermions identiques sans interaction et `a l’´equilibre thermodynamique, le nombre d’occupation moyen d’une particule dans l’´etat ν avec une ´energie Eν est donn´ee par la

fonc-tion de distribufonc-tion de Fermi-Dirac3 _:

n(Eν) =

1

exp[(E0− µ)/kBT ] + 1

(1.9) o`u le potentiel chimique µ est fix´e par la condition de normalisation N = P

νn(Eν) n’est

ici soumis a priori `a aucune contrainte. Dans la limite de temp´erature nulle (T = 0), tous les ´etats ayant une ´energie inf´erieure au potentiel chimique sont occup´es tandis que tous les autres sont inoccup´es. La notion de potentiel chimique `a temp´erature nulle, aussi appell´ee ´energie de Fermi, est donc tr`es importante :

EF = µ(T = 0) ≡ kBTF (1.10)

o`u TF est la temp´erature de Fermi. Pour des temp´eratures telles que T < TF, on dit que le

gaz est d´eg´en´er´e. A partir de l’´energie de Fermi, on peut aussi d´efinir le nombre d’onde de Fermi par la relation :

kF =

√ 2mEF

~ . (1.11)

3

1.1 Le BEC-BCS crossover 12

Pour comprendre simplement l’id´ee de la th´eorie de formation de paires BCS, consid´erons un syst`eme de N fermions identiques de masse m et de spin 1

2 dans l’´etat fondamental (la

mer de Fermi). Si on ajoute deux nouvelles particules, le nouvel ´etat fondamental est obtenu en mettant ces deux particules dans l’´etat disponible de plus basse ´energie. Mais ceci est vrai seulement s’il n’y a pas d’interactions entre particules. Que se passe-t-il alors s’il existe une interaction attractive V (r1− r2) entre les deux particules ajout´ees ?

En g´en´eral, la fonction d’onde de ce syst`eme est donn´ee par le produit antisym´etrique d’une fonction d’onde de paire corr´el´ee Ψ(r1, r2; α, β) et un d´eterminant de Slater `a N

particules d´ecrivant la mer de Fermi. La fonction d’onde est un produit de la fonction d’onde plane du centre de masse, de la fonction d’onde d´ecrivant le mouvement relatif ψ(r1− r2)

et de la fonction de spin χ(α, β) : Ψ(r1, r2; α, β) = exp[

1

2iP · (r1+ r2)]ψ(r1− r2)χ(α, β). (1.12) Comme les particules sont identiques par construction, la fonction d’onde de paire doit ˆetre antisym´etrique par ´echange de 1 et 2 impliquant que le produit ψ(r)χ(α, β) est impaire.

L’effet important des particules dans la mer de Fermi est de bloquer les ´etats `a une particule sous l’´energie de Fermi. On peut plus facilement regarder cela en travaillant dans l’espace des moments, on d´efinit les composantes de Fourier :

ψ(r) = 1 (2π)3 Z dkeik·rψk (1.13) et Vk = Z dre−ik·rVr. (1.14)

A partir de la fonction d’onde de paire, on peut obtenir, dans l’espace des moments, l’´equation de Schr¨odinger de paire :

ξk+P/2+ ξk−P/2 − E
Ψk= −(2π)3 Z k0_>k F dk0Vk−k0Ψ_k0 (1.15) o`u ξk = ~2_k2

2m − µ est l’´energie des quasiparticules. A partir de cette ´equation, on voit que

l’´energie la plus basse est obtenue si les particules ont des moments de norme ´egale et de direction oppos´ee. En posant P = 0 et en supposant une interaction isotrope, on peut d´evelopper Ψk et Vk−k0 en terme de polynˆomes de Legendre. Avec un potentiel constant

proche de la surface de Fermi et nul ailleurs, on obtient alors l’´equation : (2ξk− E) Ψl(k) = −Vlg(EF)

Z c 0

Ψl(k0)dξk0 (1.16)

o`u la densit´e d’´etat g(EF) a ´et´e consid´er´ee constante pour ˆetre sortie de l’int´egrale. A partir

de cette ´equation, on voit directement que pour une interaction attractive (Vl< 0), la valeur

propre d’´energie E est n´ecessairement n´egative. Donc, en pr´esence de la mer de Fermi, les deux particules forment un ´etat li´e pour une interaction attractive faible. Cette paire corr´el´ee est appel´ee paire de Cooper.

1.1 Le BEC-BCS crossover 13

amena Bardeen, Schrieffer et Cooper `a postuler une fonction d’onde correll´ee pour les ´elec-trons dans un supraconducteur qui est un produit antisym´etrique des fonctions d’onde de paires.

L’´emergence d’une nouvelle physique pour une temp´erature inf´erieure `a la temp´erature critique TBCS

C a ´et´e ´etudi´ee exp´erimentalement dans les gaz d’atomes froids. De plus, la

possibilit´e de contrˆoler l’interaction entre particules permet de former des mol´ecules boso-niques dans un ´etat BEC (pour T < TBEC

C ) compos´ees de deux fermions pour une longueur

de diffusion grande et positive. Ces mˆemes atomes forment des paires de Cooper (pour T < TBCS

C ) si l’interaction conduit `a une longueur de diffusion grande et n´egative. La

pos-sibilit´e de passer continuement d’un ´etat BEC vers un ´etat BCS dans un tel syst`eme a ´et´e observ´ee exp´erimentalement [22]. Toutes les grandeurs physiques telles que la densit´e du gaz sont continues, on parle donc du BEC-BCS crossover.

1.1.3

Description th´

eorique du BEC-BCS crossover

Nous avons vu au cours des sections pr´ec´edentes la physique du condensat de Bose-Einstein (BEC) et la supraconductivit´e BCS. Bien que ces deux physiques concernent `a la fois des bosons et des fermions, il est possible de passer continuement d’un ´etat BEC `a un ´etat BCS via le contrˆole d’un champ magn´etique externe. Cette d´enomination de crossover se justifie notammment par la continuit´e du profil de densit´e du gaz dans le pi`ege harmonique. La r´ealisation d’un BEC-BCS crossover n’est pas possible avec n’importe quel gaz d’atomes de fermions froids. Il faut des propri´et´es particuli`eres des fermions, notamment la possibilit´e de contrˆoler la longueur de diffusion a en fonction d’un champ magn´etique externe via le ph´enom`ene de r´esonance de Feshbach. Nous d´ecrirons plus tard ces r´esonances. On peut n´eanmoins retenir que la nature du gaz d´epend du param`etre adimensionn´e 1/kFa avec kF

le nombre d’onde de Fermi et a la longueur de diffusion du gaz. Pour des valeurs de 1/kFa

positives et tr`es grandes, on est du cˆot´e BEC. Pour une temp´erature du gaz inf´erieure `a la temp´erature critique TC, le gaz subit une condensation de Bose-Einstein. Si 1/kFa  −1,

on est du cˆot´e BCS. Le gaz est dans une phase de supraconductivit´e BCS pour T < TC.

Dans le r´egime −1 6 1/kFa 6 1, on est dans le r´egime d’interaction forte, on ne peut plus

1.2 R´ealisation d’un BEC-BCS crossover 14

Fig. _{1.1 – Le BEC-BCS crossover. En modifiant l’interaction entre les deux fermions de} spins diff´erents, on peut passer d’un r´egime de mol´ecules fortement li´ees `a un r´egime de paire de Cooper `a longue port´ee dont la taille caract´eristique est plus grande que la distance entre particules. Entre ces deux r´egimes limites, on rencontre un r´egime interm´ediaire o`u la taille des paires est comparable `a la distance interparticules. Figure extraite de [23].

1.1.4

Unitarit´

e

Un probl`eme compliqu´e concerne l’´etude du comportement du syst`eme dans le cas kF|a| ≥ 1 donc dans le cas d’une longueur de diffusion qui devient plus grande que la

distance interparticule. Ceci correspond au cas inhabituel o`u le gaz est dilu´e et en forte interaction en mˆeme temps. En effet, comme le nombre de particules du gaz est constant, le moment de Fermi kF est fixe. Le cas kF|a| ≥ 1 correspond `a une augmentation de la longueur

de diffusion |a|, on se retrouve donc le cas d’un gaz toujours dilu´e mais dont les particules sont en interactions fortes entre elles. Dans ce cas, il n’est pas ´evident de savoir si le syst`eme est stable ou est susceptible de collapser. De plus, si le gaz est stable, on ne sait pas si le syst`eme sera superfluide comme dans les cas limites BEC et BCS. Pour l’instant, aucun r´esultat exact n’existe pour d´ecrire ce r´egime, n´eanmoins des mod`eles et des simulations nu-m´eriques d´ecrivent le comportement du gaz [24, 25, 26]. Ces approches s’appuient aussi sur les r´esultats exp´erimentaux qui indiquent clairement que le syst`eme est stable et superfluide en dessous de la temp´erature critique. La limite 1/kFa = 0 est appell´ee limite d’unitarit´e.

Dans ce r´egime, la longueur de diffusion n’est plus une quantit´e repr´esentative du syst`eme. Les seules ´echelles de longueur qui restent sont l’inverse du nombre d’onde de Fermi k_F−1 et la longueur d’onde thermique. Toutes les quantit´es thermodynamiques deviennent alors des fonctions universelles de l’´energie de Fermi EF et du rapport de temp´erature T /TF. C’est

l’universalit´e de la limite d’unitarit´e.

1.2

R´

ealisation d’un BEC-BCS crossover

1.2 R´ealisation d’un BEC-BCS crossover 15

1.2.1

Les m´

ethodes de refroidissement

La premi`ere ´etape de refroidissement des atomes est un refroidissement laser utilisant la pression de radiation et l’effet Doppler pour obtenir un gaz d’atomes initialement pi´eg´es `a une temp´erature de l’ordre du mK [27]. Ensuite, afin d’atteindre des temp´eratures de l’ordre du nK, les exp´erimentateurs utilisent la technique de refroidissement par ´evaporation. Ce type de refroidissement repose sur l’´elimination des atomes les plus ´energ´etiques d’un gaz pi´eg´e dans un pi`ege conservatif en parall`ele `a une rethermalisation des atomes restants `a une temp´erature plus basse. La baisse en temp´erature peut s’effectuer sur plusieurs ordres de grandeur en abaissant le seuil en ´energie de perte des atomes, au prix toutefois d’une importante perte d’atomes. Il est plus difficile de refroidir un gaz de fermions qu’un gaz de bosons. En effet, en dessous d’une temp´erature de l’ordre du mK i.e. bien avant d’entrer dans le r´egime d´eg´en´er´e, les collisions entre fermions identiques dans le mˆeme ´etat interne sont fortement inhib´ees par le principe de Pauli, ce qui limite l’efficacit´e du refroidissement par ´evaporation. Deux voies ont ´et´e emprunt´ees pour contourner cette limitation : on pr´epare le gaz dans un m´elange d’´etats internes avant l’´evaporation, et les collisions se font entre atomes d’´etats internes diff´erents, ou bien on refroidit le gaz par thermalisation avec un gaz de bosons simultan´ement pr´esent (on parle alors de refroidissement sympathique) [28]. La plupart des r´esultats exp´erimentaux que l’on d´ecrira au cours de cette th`ese proviennent du groupe de Innsbruck qui utilise du 6_{Li refroidi sous la forme d’un m´elange de deux ´etats}

hyperfins.

1.2.2

Le pi´

egeage des atomes

Le pi`ege magn´etique est une configuration de champ magn´etique qui pr´esente un mi-nimum local o`u sont attir´es les atomes dans l’´etat de spin ad´equat. Les atomes dont le moment magn´etique est n´egatif ressentent un minimum d’´energie au minimum du champ magn´etique. L’´elimination des atomes ´energ´etiques se fait par envoi d’une onde radiofr´e-quence qui transf`ere les atomes dans un ´etat interne de moment magn´etique positif, donc non pi´eg´e.

Le pi`ege dipolaire optique utilise les forces conservatrices exerc´ees par la lumi`ere non r´esonnante sur un atome. Si la fr´equence du laser est inf´erieure aux fr´equences de transition d’un atome, ce dernier est attir´e vers la r´egion d’intensit´e laser maximale. Dans le cas contraire, l’atome est repouss´e. De plus, avec l’effet Doppler, la fr´equence laser ”vue” par l’atome est modifi´ee, cr´eant ainsi un pi`ege dans la r´egion d’intensit´e maximale du laser. On pi`ege ainsi un gaz d’atomes au foyer d’un faisceau laser intense. Les atomes dont l’´energie est plus grande que la hauteur du puit d’´energie potentielle s’´echappent du pi`ege. L’´evaporation est donc conduite en abaissant progressivement la puissance du laser.

Les exp´eriences sur les gaz de 6_{Li interagissant fortement dans les diff´erents laboratoires}

(Duke, ENS Paris, Innsbruck, MIT) sont bas´ees sur diff´erentes approches. Le probl`eme g´en´eral est de r´eussir `a obtenir un nombre suffisamment important d’atomes de 6_{Li dans}

un faible volume donn´e par le pi`ege dipolaire optique. Les exp´eriences de l’ENS et du MIT utilisent un pi`ege magn´etique en ´etape interm´ediaire, ce qui permet d’avoir un large volume et donc peu de pertes. Dans ce cas, on pi`ege le 6_{Li avec son isotope bosonique} 7_{Li afin de}

1.2 R´ealisation d’un BEC-BCS crossover 16

Fig. _{1.2 – Repr´esentation du diagramme de phase du BEC-BCS crossover. TC correspond} `a la temp´erature critique donc `a l’apparition d’un condensat de Bose-Einstein ou la mani-festation d’une superfluidit´e type BCS. T? _{est l’appariement et se confond avec T}

C dans le

cas d’un gaz de fermions avec interaction faible. Le syst`eme passe continuement d’une phase BEC `a une phase BCS lorsqu’on modifie le param`etre 1/kFa donc le champ magn´etique

externe B. Courbe extraite de [29].

laser de grande puissance pour le pi´egeage initial.

1.2.3

La r´

ealisation d’un BEC-BCS crossover

Comme nous en avons d´ej`a parl´e (Sec. 1.1.3), une propri´et´e int´eressante de certains gaz d’atomes froids est l’existence d’une r´esonance de diffusion qui d´epend du champ magn´etique ext´erieur, fix´e par les exp´erimentateurs, ce qui permet de contrˆoler la longueur de diffusion et donc l’intensit´e de l’interaction entre particules. Dans ces r´esonances de Feshbach, les atomes forment des mol´ecules diatomiques avec une ´energie de liaison qui est contrˆol´ee par un champ magn´etique ext´erieur. Cet aspect exp´erimental est important pour les mol´ecules form´ees `a partir de fermions, car il permet de passer continuement d’un couplage fort entre les mol´ecules form´ees de deux atomes dans la limite des condensats de Bose-Einstein `a un couplage faible dans la limite BCS (Fig. 1.2).

r´eso-1.3 Les diff´erents r´egimes dynamiques 17

nance, vers 834G, les processus de diffusion sont dans la limite unitaire, on obtient un gaz quantique universel. Au dessus de la r´esonance, la longueur de diffusion devient n´egative, il n’est plus possible d’avoir un ´etat li´e entre deux atomes, on a alors un gaz de fermions en interaction.

1.3

Les diff´

erents r´

egimes dynamiques

Le comportement collectif du gaz d´epend directement du comportement de chacune des particules qui le compose. Ainsi, dans le cas d’un gaz de fermions, nous allons voir dans les mouvements collectifs du gaz les effets du blocage de Pauli qui interdit l’occupation du mˆeme ´etat quantique par deux atomes. L’observation de modes collectifs permet par ailleurs une ´etude d´etaill´ee des propri´et´es macroscopiques du gaz quantique. Il existe deux r´egimes principaux d’oscillations collectives dans la phase normale du cˆot´e BCS de la transition BEC-BCS : le r´egime hydrodynamique et le r´egime sans collision.

1.3.1

Le r´

egime sans collision, non-superfluide

Dans un gaz de Fermi d´eg´en´er´e interagissant faiblement, les collisions ´elastiques sont bloqu´ees par le principe d’exclusion de Pauli. En effet, les ´etats finaux des processus de diffusions ´elastiques ´etant d´ej`a occup´es, la collision ne peut avoir lieu. Ce blocage de Pauli a des cons´equences tr`es importantes pour la dynamique d’un gaz de Fermi `a deux composantes. En effet, les fermions oscillent ind´ependamment dans le potentiel de pi`ege, par cons´equent les effets des collisions ´elastiques et de la relaxation par collision sont faibles. Dans le cas non-d´eg´en´er´e, l’influence des collisions entre les deux ´etats de spin peut ˆetre tr`es forte, ce qui est mis `a profit dans le processus de refroidissement par ´evaporation utilis´e exp´erimentalement [29]. Donc, dans le cas non d´eg´en´er´e, le taux de collisions est grand alors que dans le cas d´eg´en´er´e, il est faible car la plupart des collisions sont bloqu´ees. Plus le taux de collisions est important, plus le temps de relaxation d’un mode collectif du gaz sera faible. Le temps de relaxation est donc un param`etre physique important pour la distinction entre les deux r´egimes. Enfin, nous verrons (Sec. 1.4.2) que dans le r´egime sans collision l’oscillation du gaz se fait `a une fr´equence double de celle du pi`ege.

1.3.2

Le r´

egime hydrodynamique

1.4 Modes collectifs 18

1.4

Modes collectifs

1.4.1

Utilisation des modes collectifs

Un des objectifs des exp´eriences de BEC-BCS crossover est de d´eterminer la transition entre la phase normale et la phase superfluide. Mˆeme si les fr´equences des modes collectifs sont g´en´eralement diff´erentes dans les r´egimes hydrodynamiques et sans collision, le compor-tement hydrodynamique du gaz n’est pas, comme on l’a dit dans la section pr´ec´edente, un signe suffisant de superfluidit´e. En fait, il peut ˆetre soit une cons´equence de la superfluidit´e soit d’un taux de collisions suffisamment ´elev´e dans la phase du fluide normal. Il a donc ´et´e propos´e de distinguer entre trois phases : superfluide, collisionnelle hydrodynamique et sans collision [31].

Les r´esultats exp´erimentaux sugg`erent que la transition entre les phases superfluide et de fluide normal est accompagn´ee d’un tr`es fort amortissement des modes collectifs. Les fr´equences des modes collectifs dans la limite de temp´erature nulle peuvent ˆetre d´etermin´ees avec l’hydrodynamique superfluide, mais le cas `a temp´erature finie est bien plus compliqu´e. Une premi`ere id´ee a ´et´e d’appliquer l’hydrodynamique `a deux fluides de Landau [32], mais cela n´ecessitait que le taux de collisions dans la phase normale soit suffisament important, i.e. bien plus grand que la fr´equence du mode. Or ce n’est pas le cas, car dans un syst`eme pi´eg´e, les fr´equences des modes collectifs sont au plus de l’ordre de la fr´equence du pi`ege. Dans la limite oppos´ee, lorsque la composante normale du fluide est dans le r´egime sans collisions, ce qui devrait ˆetre le cas dans la limite de faible interaction, une th´eorie de transport qui couple l’hydrodynamique superfluide `a l’´equation de Vlasov pour la composante normale a ´et´e sugg´er´ee [33, 34, 35]. Bien que cette description donne une explication qualitative de l’amortissement des modes collectifs proche de la transition entre phase superfluide et phase normale, elle ne donne pas une description quantitative des exp´eriences r´ecentes car celles-ci sont toujours effectu´ees dans un r´egime de forte interaction kF|a| > 1. Dans la phase

normale, i.e. pour des temp´eratures au-dessus de la temp´erature critique TC de la transition

superfluide, les modes collectifs ont toujours un fort amortissement car les exp´eriences ne sont ni dans le r´egime hydrodynamique, ni dans le r´egime sans collision. Ce r´egime interm´ediaire est ´etudi´e th´eoriquement `a l’aide de l’´equation de Boltzmann et constitue le point de d´epart de cette th`ese. Un des points importants a notamment ´et´e de d´eterminer les fr´equences des modes collectifs `a partir d’une description pr´ecise du gaz incluant les interactions et les effets de champ moyen dans l’´equation de Boltzmann. Les r´esultats que nous verrons par la suite expliquent les ´ecarts entre la fr´equence th´eorique et les mesures exp´erimentales.

Dans la suite (Fig. 1.3), on consid`ere une g´eom´etrie du pi`ege en forme de cigare avec des fr´equences de pi`ege ωx, ωy et ωz telles que ωz  ωx, ωy. Dans le cas d’une sym´etrie

axiale, on notera la fr´equence radiale ωr = ωx = ωy, tandis que ωz sera la fr´equence axiale

du pi`ege. N´eanmoins, il existe aussi le cas du mode ciseaux o`u les fr´equences radiales sont l´eg`erement diff´erentes ωx 6= ωy pour ”voir” l’oscillation de l’ellipse en regardant depuis la

direction axiale.

1.4.2

Mode de compression quadrupolaire

1.4 Modes collectifs 19

y z x

Fig. _{1.3 – Repr´esentation de la g´eom´etrie du gaz d’atomes pi´eg´es. La taille du nuage est} bien plus grande selon l’axe z que selon les axes x et y. On observe toujours l’´evolution selon l’axe z. Dans le cas du mode ciseaux, il existe aussi une l´eg`ere asym´etrie selon x et y pour observer l’oscillation d’une ellipse autour de l’axe z.

t

t=0 t=T/4 t=T/2 t=3T/4 _t=T

y x

z

1.4 Modes collectifs 20

s’av`ere donc importante pour mieux comprendre la physique du syst`eme ´etudi´e.

Le mode de compression radiale consiste en une oscillation coupl´ee en phase selon les axes x et y. Ainsi, le nuage de gaz d´ecrit un mouvement p´eriodique avec une diminution puis une augmentation du rayon du nuage (Fig. 1.4).

La fr´equence de cette oscillation d´epend du r´egime d’interaction du gaz et peut ˆetre directement calcul´ee pour certains cas simples. Par exemple, dans la limite sans interaction d’un gaz sans collision, la fr´equence ωc du mode de compression radial est donn´ee par :

ωc= 2ωr. (1.17)

En effet, le gaz a une oscillation d´ecoupl´ee selon les diff´erents degr´es de libert´e. Par cons´e-quent, pour une particule, un aller correspond `a un passage du maximum au maximum oppos´e du potentiel en passant par le minimum, le retour ´etant le trajet inverse. Pendant ce temps, le gaz aura eu une forme dilat´ee (maximum de potentiel) puis contract´ee (minimum de potentiel) puis un retour `a l’´etat dilat´e. Donc, pendant un aller-retour de la particule, le gaz aura subi deux mouvements de contraction-dilatation. La fr´equence d’oscillation du gaz est donc double de celle du pi`ege. Pour un gaz en r´egime hydrodynamique, ωc d´epend

de l’´equation d’´etat du syst`eme et par cons´equent de l’indice polytropique γ de l’´equation d’´etat (d´efinit par E = ργ_{). Dans le cas d’un condensat de Bose interagissant faiblement}

(γ = 1), on obtient ωc = 2ωr, tandis que la limite unitaire (γ = 2/3) donne ωc =

q

10 3ωr

[36]. Entre ces deux valeurs limites, il n’est pas possible d’obtenir directement la valeur de ωc. Dans le r´egime d’un gaz de Fermi sans collision avec de faibles interactions, on verra que

le rapport ωc/ωr se situe alors entre 2 et

q

10

3 (cf Sec. 3.7.3).

On peut comprendre pourquoi il n’est pas facile de d´eterminer cette valeur simplement : le r´egime d’un BEC interagissant fortement d´epend de la valeur de l’indice polytropique γ, qui est difficile `a calculer dans tout ce r´egime. Ce r´egime de forte interaction se situe plus pr`es de la r´esonance que le r´egime BEC interagissant faiblement. Afin d’inclure la physique `a N -corps, les interactions dans un BEC interagissant faiblement sont d´ecrites par une approche de champ moyen. Cette approche n’est plus valide si l’interaction augmente fortement, il faut donc aller au-del`a de cette description. De plus, l’influence des constituants fermioniques des mol´ecules du BEC augmente quand on approche de la r´esonance. Tous ces effets affectent l’´equation d’´etat, ce qui influence la fr´equence du mode de compression. Il y a comp´etition entre deux effets : la forte interaction dans le gaz de Bose et l’apparition du comportement fermionique des constituants. Dans un gaz de Bose interagissant fortement, l’´energie moyenne par particule est augment´ee par d´epl´etion quantique. Cet effet au-del`a du champ moyen corrige l’´equation d’´etat de mani`ere `a r´eduire la compressibilit´e du gaz ; tandis que l’´emergence du comportement fermionique conduit `a une augmentation de cette compressibilit´e.

1.4.3

Mode de surface quadrupolaire

1.4 Modes collectifs 21 t t=0 t=T/4 t=3T/4 t=T x y z t=T/2

Fig. _{1.5 – Repr´esentation du mode quadrupolaire radial au cours du temps avec une vision} du mouvement selon la direction de l’axe z. Les mouvements selon les axes x et y sont d´ephas´es d’une demi p´eriode T /2.

hydrodynamique et sans collision. La phase d’oscillation apr`es expansion peut aussi donner des informations sur le r´egime collisionnel par l’interm´ediaire de l’amortissement.

Le mode de surface quadrupolaire consiste en des oscillations de la taille du nuage de gaz selon les axes x et y, avec un d´ephasage de π entre ces deux directions. Ainsi, `a une taille maximale selon x (respectivement y) correspond une taille minimale selon y (resp. x) (Fig. 1.5). Pour un potentiel de pi`ege harmonique, la fr´equence de ce mode de surface en r´egime hydrodynamique est :

ωq =

√

2ωr. (1.18)

Comme pour le mode de respiration, dans le r´egime sans collision, les atomes oscillent librement dans le pi`ege. La fr´equence du mode est donc :

ωq = 2ωr. (1.19)

1.4.4

Mode ciseaux

De mˆeme que le mode quadrupolaire de surface d´ecrit pr´ec´edemment, le mode ciseaux est aussi un mode collectif de surface. Donc, la compressibilit´e et par cons´equent l’´equation d’´etat du gaz n’a pas d’effet sur l’oscillation du gaz dans le r´egime hydrodynamique. Pour exciter ce mode, il faut une g´eom´etrie anisotropique du pi`ege : on consid`ere donc toujours le cas d’un pi`ege harmonique poss´edant la forme d’un cigare dont les fr´equences ωx, ωy et ωz

v´erifient ωz  ωx, ωy. Mais il est aussi n´ecessaire d’avoir une ellipticit´e dans le potentiel de

pi`ege entre les directions x et y. C’est la principale diff´erence avec la g´eom´etrie pour les modes de surface et de compression. Le mode ciseaux est alors d´ecrit par un mouvement de rotation p´eriodique autour de l’axe z (Fig. 1.6). Comme pour le mode de surface quadrupolaire, les fr´equences de ce mode d´ependent des interactions du gaz. Dans le r´egime hydrodynamique, le temps de relaxation est petit et le gaz oscille collectivement avec une fr´equence [37] :

ωS,h=

q ω2

x+ ω2y. (1.20)

Dans le r´egime sans collision, les atomes ont une oscillation `a deux fr´equences donn´ees par [37] :

1.5 Cadre d’´etude 22 t x y z t=0 t=T/4 t=T/2 t=3T/4 _t=T

Fig._{1.6 – Repr´esentation du mode ciseau au cours du temps avec une vision du mouvement} selon la direction l’axe z. Au cours d’une p´eriode, on observe une oscillation de la surface du nuage d’atomes autour de l’axe z. La forme elliptique de la surface est ici une cons´equence des diff´erentes valeurs des fr´equences : ωx 6= ωy.

Quand le r´egime sans collision est modifi´e, la plus grande fr´equence ωS,c+ est

adiabatique-ment connect´ee `a la fr´equence hydrodynamique, tandis que la fr´equence la plus basse ω_S,c− est absente dans la limite hydrodynamique. En pratique, les deux fr´equences sont donc possibles pour ce mode ciseaux, n´eanmoins seule la fr´equence ωS,c+est observ´ee

exp´erimen-talement. En effet, dans le r´egime hydrodynamique, les donn´ees sont interpol´ees par une seule fonction sinuso¨ıdale amortie, tandis que dans le r´egime sans collision, on interpole la somme de deux fonctions sinuso¨ıdales amorties avec chacune leurs propres param`etres libres.

1.5

Cadre d’´

etude

Dans cette section, on pr´esente quelques ´el´ements th´eoriques n´ecessaire pour l’´etude des gaz d’atomes froids et plus particulli`erement les modes collectifs via l’´equation de Boltzmann. On expose notamment la th´eorie de la diffusion n´ecessaire pour l’obtention de la section efficace de collision, les r´esonances de Feshbach, outil fondamental des pi`eges d’atomes froids et l’approximation d’´echelle utilis´ee dans notre mod`ele de champ moyen.

1.5.1

Th´

eorie de la diffusion

La dynamique collisionnelle de deux atomes de masse m est g´en´eralement d´ecrite en consid´erant la diffusion d’une particule de masse r´eduite mr = m/2 dans un potentiel V (r).

Pour des atomes neutres dans l’´etat fondamental, le potentiel d’interaction est `a sym´etrie sph´erique : V (r) = V (r). Si on ´ecrit l’´equation de Schr¨odinger stationnaire :

 p2 2mr + V (r)  Ψk(r) = EkΨk(r) (1.22)

pour la particule relative de masse mr et d’´energie Ek = ~2k2/2mr, la solution asymptotique

est alors la superposition d’une onde plane incidente et d’une fonction d’onde diffus´ee : Ψk(r) ∼ eikz+ f (k, θ)

eikz

r (1.23)

1.5 Cadre d’´etude 23

d´efini comme l’angle entre les moments relatifs avant et apr`es le processus de collision. A partir de l’amplitude de diffusion, on peut d´efinir la section efficace diff´erentielle

dσ

dΩ = |f(k, θ)|

2_{. (1.24)}

Les atomes ´etant identiques, la partie orbitale de la fonction d’onde doit ˆetre sym´etrique ou antisym´etrique selon que le spin total des deux particules est respectivement pair ou impair. Afin de tirer avantage de la sym´etrie du probl`eme, les fonctions d’onde incidente et diffus´ee peuvent ˆetre d´evelopp´ees en terme de polynˆome de Legendre. Ce d´eveloppement en ondes partielles conduit `a une ´equation de Schr¨odinger unidimensionnelle pour la fonction d’onde radiale dans un potentiel

Vef f(r) =

~2_{l(l + 1)} 2mrr2

+ V (r). (1.25)

Pour la fonction d’onde partielle avec l = 0, le potentiel Vef f(r) est simplement le potentiel

interatomique V (r). Dans le cas l 6= 0, il existe une barri`ere centrifuge suppl´ementaire. Pour une onde partielle l, la section efficace est alors [38] :

σl(k) =

4π

k2(2l + 1) sin 2_δ

l(k) (1.26)

o`u δl(k) est le d´ephasage, qui, dans la limite k → 0 se comporte comme δl(k) ∝ k2l+1. Ainsi,

dans la limite des basses ´energies, la section efficace des ondes partielles avec l 6= 0 tend vers z´ero si k tend vers z´ero. Pour les basses ´energies, l’onde partielle avec l = 0 est la seule `a contribuer `a la section efficace totale. Ce r´egime est appell´e la limite d’onde s et est caract´eris´e par une amplitude de diffusion isotropique. La section efficace de diffusion est alors donn´ee par [39] :

lim

k→0σl=0(k) = 4πa

2 _(1.27)

o`u la longueur de diffusion est d´efinie par a = − lim k→0 tan δ0(k) k ≡ 1 κ. (1.28)

Le signe dans la d´efinition de la longueur de diffusion est choisi afin que la longueur de diffusion d’une sph`ere de rayon R soit +R. L’´etude qualitative des fonctions d’onde montre que l’on a a > 0 pour tout potentiel r´epulsif. Pour un potentiel attractif, la situation est plus complexe `a cause de l’existence d’´etat li´e. Une longueur de diffusion grande et positive signale la pr´esence d’un ´etat li´e [38].

On peut comprendre qualitativement que les ondes partielles (l > 0) n’interviennent pas pour des temp´eratures suffisamment basses. En effet, si l 6= 0, les atomes en interaction subissent une barri`ere centrifuge proportionnelle `a l en plus du potentiel atomique. Dans le cas du 6_{Li, la barri`ere pour l = 1 est de l’ordre de k}

B × 7 mK [40]. Pour des ´energies

d’interaction suffisamment basses, les atomes sont r´efl´echis sur la barri`ere de potentiel et ne s’approchent pas suffisamment pour interagir via le potentiel V (r). La section efficace totale est donn´ee par la somme sur toutes les contributions des diff´erentes ondes partielles : σ(k) =P∞

l=0σl(k).

1.5 Cadre d’´etude 24

d’ondes s. Cette consid´eration, largement justifi´ee, permet de simplifier significativement le probl`eme que l’on consid`ere, la principale cons´equence ´etant une isotropie de la section efficace de collision entre les atomes de spins diff´erents.

Concernant les propri´et´es sp´ecifiques de diffusion d’un gaz fermionique ultra-froid, les exp´eriences comportent N = 106 _{particules dans un cube de 100µm de cˆot´e, soit une}

den-sit´e de ρ = N_V = 1018 _m−3 _{= 10}12 _at.cm−3_{. La distance interparticule moyenne est alors}

ρ−1/3 _{' 10}−6_{m. La port´ee du potentiel interatomique ´etant de l’ordre de 10}−9_{m, on peut}

par cons´equent consid´erer que le processus de diffusion dominant est l’interaction `a deux corps et utiliser l’expression asymptotique pour la fonction d’onde de l’´etat diffus´e.

Pour un gaz dilu´e dans la limite d’onde s, on peut montrer que les propri´et´es macrosco-piques du gaz d´ependent seulement de la longueur de diffusion des ondes s et pas de la forme particuli`ere du potentiel d’interaction `a deux corps. Ceci permet d’avoir un formalisme `a N -corps o`u le potentiel microscopique est remplac´e par un potentiel effectif de courte por-t´ee qui reproduit correctement la longueur de diffusion, l’interaction `a deux corps la plus simple ´etant l’interaction de contact (Sec. 1.5.3). Dans ce cas, la relation entre l’amplitude de diffusion de l’onde s et la longueur de diffusion a est [39] :

f (k) = − a

1 + ika, (1.29)

avec k le nombre d’onde relatif des deux particules. La section efficace totale pour les colli-sions ´elastiques de particules non-identiques devient alors :

σ(k) = 4πa

2

1 + k2_a2 . (1.30)

On utilisera ce r´esultat par la suite pour simuler une section efficace dans le vide.

1.5.2

Les r´

esonances de Feshbach

L’origine physique et les propri´et´es ´el´ementaires d’une r´esonance de Feshbach peuvent ˆetre comprises simplement de la mani`ere suivante. On consid`ere deux courbes de potentiel mol´eculaire Vbg(r) et Vc(r) (Fig. 1.7). Pour une distance interatomique r grande, le potentiel

de fond Vbg(r) relie asymptotiquement deux atomes libres dans le gaz de fermions froid. Dans

une collision avec une tr`es faible ´energie E, ce potentiel repr´esente le canal ouvert. L’autre potentiel Vc(r), repr´esentant le canal ferm´e, peut supporter des ´etats li´es de mol´ecule pr`es

du seuil du canal ouvert. Dans notre cas, le canal ferm´e d´ecrit l’interaction entre atomes dans un ´etat de spins diff´erent de celui consid´er´e dans le canal de diffusion.

1.5 Cadre d’´etude 25 0 V_c(R) E entrance channel or open channel

E

n

e

rg

y

_{Atomic separation R}

Fig._{1.7 – Repr´esentation du potentiel ´energ´etique en fonction de la distance interatomique.} Le canal ouvert Vbgcorrespond `a deux atomes libres, tandis que le canal ferm´e Vcposs`ede un

´etat li´e de mol´ecule. Les moments magn´etiques correspondants `a ces deux niveaux d’´energie sont diff´erents, on peut donc r´ealiser une translation d’un potentiel par rapport `a l’autre en modifiant le champ magn´etique externe. La r´esonance de Feshbach a lieu lorsque le niveau d’´energie de l’´etat li´e Eccorrespond `a l’´energie de l’´etat de diffusion du canal ouvert. Courbe

1.5 Cadre d’´etude 26

Fig. _{1.8 – Longueur de diffusion de l’onde s en fonction du champ magn´etique B. On voit} une divergence pour un champ magn´etique B0 = 834G et un changement de signe de la

longueur de diffusion a qui est positive (cˆot´e BEC) pour les champs magn´etiques faibles et n´egative (cˆot´e BCS) pour les champs magn´etiques sup´erieurs au dessus de la r´esonance. a0 = 0.0529nm est le rayon de Bohr. Courbe extraite de [29].

avec par exemple dans le cas du6_{Li : a}

bg = −1405a0, a0 = 0, 0529177nm le rayon de Bohr,

∆B = 300G la largeur de la r´esonance et B0 = 834, 15 G la valeur du champ magn´etique `a

l’unitarit´e [29]. La longueur d’onde abg est la longueur d’onde associ´ee au potentiel Vbg(r) et

repr´esente la valeur sans r´esonance. Elle est directement reli´ee au niveau d’´energie du dernier ´etat li´e vibrationnel de Vbg(r). Le param`etre B0 repr´esente la position de la r´esonance, o`u

la longueur de diffusion diverge (a → ±∞), et ∆ est la largeur de r´esonance. Remarquons que abg et ∆ peuvent ˆetre positif ou n´egatif.

1.5.3

L’interaction `

a deux corps

Afin de d´ecrire l’interaction entre deux particules, il faut se rappeler les ordres de gran-deur des diff´erentes exp´eriences ´etudi´ees au cours de cette th`ese. On consid`ere en effet des atomes de6_{Li qui interagissent `a tr`es courte port´ee (d ' 10}−1 _{nm) et comme nous l’avons vu}

pr´ec´edemment (Sec. 1.5.1), la densit´e moyenne est ρ ' 1012_cm−3 _{donc la distance moyenne}

entre particules est l ' 1µm. Comme d  l, une particule ne ressent par cons´equent pas l’interaction produite par les autres particules. On mod´elise donc cette interaction par une interaction de contact δ(r − r0_{), l’effet des autres particules n’´etant ressenti que lorsqu’il y}

a contact.

Dans le formalisme de la seconde quantification, on va montrer que pour un tel potentiel v(r − r0_{) ≡ gδ(r − r}0_{), il n’existe pas d’interaction entre particules de mˆeme spin. Pour cela,}

1.5 Cadre d’´etude 27

On peut alors r´e´ecrire le terme d’interaction du hamiltonien : Hint = g 2 X SS0 Z drΨ†_S(r)Ψ†_S0(r)ΨS0(r)Ψ_S(r) = g 2 X SS0 Z dr1 2  Ψ†_SΨ†_S0 − Ψ†_S0Ψ†_S 1 2(ΨS0ΨS− ΨSΨS0) = g 2 X S Z drΨ†_SΨ†_−SΨ_−SΨS = g 2 Z drΨ†_↑Ψ†_↓Ψ_↓Ψ_↑+ Ψ†_↓Ψ†_↑Ψ_↑Ψ_↓ = g Z drΨ†_↑Ψ†_↓Ψ_↓Ψ_↑ (1.33)

o`u l’on a utilis´e l’anticommutation des fermions (Ψ†_SΨ†_S0 = −Ψ†_S0Ψ†_S) et remarqu´e que le

terme sous la somme discr`ete, dans la deuxi`eme ligne, est nul si S = S0_{, ce qui impose}

S 6= S0_{. On retrouve ici un r´esultat qui n’est qu’une cons´equence du principe de Pauli : on}

ne peut pas cr´eer deux particules de mˆeme spin au mˆeme endroit.

1.5.4

Approximation d’´

echelle

Le formalisme que nous allons utiliser au cours de cette th`ese est celui de la th´eorie des champs `a temp´erature finie. Au cours d’un processus de diffusion quelconque, l’´etat final et l’´etat initial d’un syst`eme sont reli´es par la matrice S. Les diff´erents processus ayant lieu peuvent simplement conduire `a une modification de l’´energie et du moment de la particule mais aussi `a un processus de cr´eation-annihilation pour lequel on aurait un nombre diff´erent de particules entre l’´etat initial et l’´etat final. Afin de traiter ces diff´erents processus, on les classe suivant une s´erie perturbative qui correspond `a une s´erie de puissance du param`etre d’interaction g.

Donc, au premier ordre d’approximation, on doit avoir le terme de Hartree correspondant `a l’interaction de type particule-particule et le terme de Fock ou terme d’´echange. Or, dans le cadre de notre ´etude, on remarque que ce second terme est nul car l’interaction a lieu entre atomes de spins oppos´es. En effet, le syst`eme est d´ecrit par des interactions de courte port´ee et le principe de Pauli exclut la possibilit´e d’avoir des particules de mˆeme spin au mˆeme endroit `a un instant donn´e. En d’autres termes, la fonction de corr´elation spin-spin < ρ_↑(r)ρ_↓(r) > est nulle. Par cons´equent, il ne peut pas y avoir d’interaction entre particules de mˆeme spin, le terme d’´echange est nul et on ne consid´erera donc que le terme de Hartree.

Une autre mani`ere de voir le processus revient `a consid´erer l’´equation de Dyson G(k, ωn) = G0(k, ωn) + G0(k, ωn)Σ?(k, ωn)G(k, ωn)

donc G(k, ωn) = [G0(k, ωn)−1− Σ?(k, ωn)]−1 (1.34)

qui relie la fonction de Green compl`ete G, la fonction de Green ”nue” G0 _{et la self-´energie Σ}?

1.5 Cadre d’´etude 28

Chapitre 2

L’interaction effective dans le milieu

Dans cette section, on d´eveloppe le mod`ele utilis´e pour d´eterminer les caract´eristiques d’un mode collectif (fr´equence, amortissement). Cette ´etude correspond `a un mod`ele au-del`a de l’approximation de Hartree fr´equemment utilis´ee pour rendre compte des effets de champ moyen. On commencera donc par montrer les limites de cette approximation puis on d´eveloppera l’approximation de la matrice T non autocoh´erente. Nous d´eterminerons dans ce cadre des quantit´es physiques telles que la section efficace et la densit´e dont nous verrons diff´erentes approximations. Enfin, le travail d´ecrit ci-dessous a fait l’objet d’une publication [19].

2.1

L’approximation de Hartree

On consid`ere un gaz de fermions uniforme `a deux composantes (↑,↓). Tant que la port´ee de l’interaction est petite par rapport `a la distance moyenne entre les particules, on peut mod´eliser l’interaction entre atomes de spins oppos´es par une interaction de port´ee nulle (Sec. 1.5.3). L’hamiltonien du syst`eme, s’´ecrit alors en seconde quantification 1 _:

H = Z drh_{− ψ}†∇ 2 2mψ + gψ † ↓ψ†↑ψ↑ψ↓ i , (2.1)

o`u m, g et Ψ sont la masse de l’atome, la constante de couplage et l’op´erateur de champ fermionique. La constante de couplage est reli´ee `a la longueur de diffusion a par la relation :

g = 4πa

m . (2.2)

De plus, l’interaction ´etant attractive, on a g < 0. Dans l’approximation de Hartree, les ´energies `a une particule des composantes ↑ et ↓ sont d´ecal´ees respectivement de : UH↑= gρ↓

et U_H↓= gρ_↑. Le terme de Fock ou d’´echange s’annule car l’interaction est uniquement entre atomes de spins oppos´es. Nous consid´ererons que les deux ´etats de spins sont ´egalement peupl´es, et l’on notera ρ = ρ_↑ = ρ_↓ la densit´e par ´etat de spin. Le d´ecalage de Hartree est alors le mˆeme pour les deux composantes et on l’´ecrira :

UH = gρ . (2.3)

1

D´esormais, on se place dans le syst`eme ~ = c = kB = 1. De plus, la plupart des variables physiques sont

exprim´es dans les unit´es de l’oscillateur harmonique o`u l’on a m = ω = 1, n´eanmoins pour plus de clart´e on fera souvent apparaˆıtre ces derni`eres variables.

2.2 La matrice T 30

Pour ce mod`ele, on va calculer la densit´e en fonction du potentiel chimique µ. Il est suffisant ici de consid´erer la limite de temp´erature nulle, donc telle que T  F, o`u

F =

k2 F

2m et kF = (6π

2_ρ)1/3 _(2.4)

sont respectivement l’´energie et le moment de Fermi. Ces ´equations qui d´efinissent F et kF

restent valides mˆeme si le nombre d’occupation ne ressemble plus `a une fonction de Heaviside `a cause de la temp´erature et des effets de corr´elation. A temp´erature nulle, la relation entre F et µ(T = 0) est donn´ee par F = µ − UH. En rempla¸cant F et UH par leur d´efinition,

nous verrons (Sec 2.4.2) que l’on obtient l’´equation cubique suivante pour kF :

−2ak 3 F 3πm − k2 F 2m + µ = 0 . (2.5)

Cette ´equation n’a pas de solution si µ d´epasse une valeur critique µmax = π2/(24ma2) soit

une densit´e ρmax = π/(48|a|3) correspondant `a kF|a| = π/2. La mˆeme valeur a d´ej`a ´et´e

trouv´ee [42] et correspond `a la densit´e o`u le syst`eme devient instable pour la s´eparation des phases entre basse densit´e (gaz) et haute densit´e (solide). L’origine de cette instabilit´e dans l’approximation de Hartree provient d’une ´energie d’interaction gρ2_{/2 plus importante}

`a haute densit´e que l’´energie cin´etique qui varie comme ρ5/3_{. Ainsi, si cette approximation}

´etait correcte, un gaz de Fermi `a basse temp´erature avec une interaction attractive devrait ˆetre instable d`es que kF|a| > π/2. Or, l’exp´erience prouve que les gaz de fermions froids sont

stables pour des valeurs de kF|a| bien plus importantes et mˆeme `a l’unitarit´e car le syst`eme

pr´ef`ere former des paires plutˆot que de se s´eparer en deux phases [43]. On en conclut donc que l’instabilit´e n’est pas physique et n’est qu’un artefact de l’approximation de Hartree.

2.2

La matrice T

Dans l’approximation de Hartree, vue au cours de la section pr´ec´edente, la constante de couplage g ´etait reli´ee `a la longueur de diffusion dans le vide. Ceci signifie que nous consid´erions implicitement que l’amplitude de diffusion ´etait la mˆeme dans le gaz que dans le vide. Comme nous le verrons, cette hypoth`ese est `a l’origine de l’instabilit´e non-physique de l’approximation de Hartree `a forte densit´e. En r´ealit´e, l’amplitude de diffusion devient proportionnelle `a 1/kF au lieu de a `a haute densit´e [44]. Les ´energies d’interaction et cin´etique

croissent alors toutes les deux comme ρ5/3 _{et il est possible d’´eviter cette instabilit´e.}

2.2.1

Dans le vide

Le sch´ema d’approximation que nous adoptons ici, afin de calculer l’amplitude de diffu-sion dans le milieu, est bas´ee sur l’approximation de la matrice T qui satisfait l’´equation de Lippmann-Schwinger [45] r´epr´esent´ee diagrammatiquement (Fig. 2.1) :

2.2 La matrice T 31

i

=

+

i

Τ

Τ

Fig. _{2.1 – Repr´esentation diagrammatique de l’´equation de Lippmann-Schwinger.}

o`u Γ repr´esente l’amplitude de diffusion. Le membre de droite de cette ´equation est ind´e-pendant de ω et q (g ´etant une constante), donc l’amplitude de diffusion Γ n’en d´epend pas non plus. Il en est de mˆeme pour ω0 _{et q}0_{. La matrice T ne d´epend donc que de l’´energie}

totale E et du moment total k des deux atomes. On pose : j0(E, k) = Z dq00 (2π)3 Z dω00 (2π) 1 h E 2 + ω00− (k/2+q00₎2 2m + i i h E 2 − ω00−(k/2−q 00₎2 2m + i i (2.7)

o`u j0 repr´esente la fonction de Green libre `a deux particules. L’amplitude de diffusion est

alors donn´ee par la relation :

Γ(E, k) = g

1 − gj0(E, k)

. (2.8)

Le probl`eme dans ces ´equations est que j0 est divergent. Afin de r´esoudre ce probl`eme,

on peut introduire un cut-off Λ, d´eterminer la constante de couplage g en fonction de Λ telle que l’on retrouve la longueur de diffusion dans le vide et enfin prendre la limite Λ → ∞ en conservant a constant [46]. De mani`ere explicite, on part du cas simple Γ(0, 0) :

j0(0, 0, Λ) = Z |q|6Λ dq (2π)3 Z _dω (2π) 1  ω − 2mq2 + i   −ω − 2mq2 + i  = Z Λ 0 4πq2dq (2π)3 1 −qm2 + i = −_2πm2Λ . On en d´eduit directement Γ(0, 0, Λ) = ₁₊gmg 2π2Λ

. Cette valeur repr´esentant la constante nue

4πa

m , on peut directement obtenir une relation avec la longueur de diffusion a :

g = 4π m

a 1 −π2Λa

. (2.9)