Universit´e PIERRE ET MARIE CURIE 2010-2011
L2 Math´ematiques Module LM220
Examen Janvier 2011 (deuxi`eme session) Dur´ee 2 heures
Les documents, calculatrices et t´el´ephones portables sont interdits.
Toutes les r´eponses devront ˆetre soigneusement justifi´ees.
Vous devez choisir un exercice parmi les exercices 4 et 5.
Exercice 1. R´esoudre dans Z le syst`eme suivant :
x≡2 mod. 3 x≡5 mod. 7 x≡9 mod. 13.
Exercice 2. Trouver le reste de la division euclidienne de 3115+ 5115 par 88.
Exercice 3. Soientaetb deux entiers naturels non nuls tels que pgcd(a, b) = 1. Montrer que pgcd(a+b, ab) = 1,
Exercice 4 (Entiers de Gauss).
1. D´eterminer si les entiers suivants sont des sommes de deux carr´es d’entiers : 1625, 347, 349. Dans le cas affirmatif, ´ecrivez-les comme somme de deux carr´es d’entiers.
2. Soit p ∈ Z un nombre premier positif. On suppose que p peut s’´ecrire comme somme de deux carr´es, p=s2+t2, avec s, t ∈N. Montrer alors que cette ´ecriture est unique, c’est-`a-dire, que l’ensemble {s2, t2} est uniquement d´etermin´e par p.
3. Que se passe-t-il lorsque p n’est pas premier?
Exercice 5 (Codes correcteurs).
On note F2 le corps `a deux ´el´ements. Soit P ∈F2[X] un polynˆome de degr´e r.
1. A quelle condition sur le polynˆome P ∈F2[X] l’anneau K = F(P2[X)] est-il un corps ? Donner l’exemple d’un tel polynˆome dans les cas r= 2, r = 3.
2. Calculer la dimension de K (en tant que F2-espace vectoriel) et le cardinal deK.
3. On suppose dans toute la suite que K est un corps ; soit α ∈K∗ un g´en´erateur du groupe multiplicatif (K∗,×). Montrer que l’ordre de α (dans le groupe (K∗,×)) est 2r−1.
4. On consid`ere l’application F2-lin´eaire :
f :Fn2 −→K donn´ee par f(x1, . . . , xn) =Pn
j=1xjαj, et on pose C= kerf.
On suppose que n= 2r−1 ; montrer quef est surjective et calculer dim C.
5. Soit H la matrice def (dans la base canonique de (F2)n et une base quelconque de K). Montrer que les colonnes de H sont tous les vecteurs non nuls deK.
6. Montrer que la distance minimale du code C est 3 (on pourra commencer par mon- trer que deux colonnes d’indices diff´erents sont distinctes). Quelle est sa capacit´e de correction ?
