R´esoudre le probl`eme de Cauchy suivant (o`u l’on posera τ LR

Feuille d’exercices n5 - ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES

EQUATIONS DIFF´´ ERENTIELLES LIN´EAIRES (1er ordre) Exercice 88. (ou )

R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes (sur l’intervalle I propos´e) : 1.p1 t²qy¹ 2ty0 2.y¹ y4chpxq

3.y¹ tanpxqy cos²pxqsur I 0,^π₂

4.p1 x²qy¹pxq xypxq ? 1 x² 5.iy¹ y sinpxq

Exercice 89. ()

1. R´esoudre l’´equation suivante sur les 3 intervalles propos´es : p1x²qy¹2xy x²

a) sur I s 8,1r b) sur I s 1,1r c) sur I s1, 8r 2. Existe-t-il une solution surR`a cette ´equation ?

Exercice 90. ()

R´esoudre le probl`eme de Cauchy suivant surs 1, 8r :

"

px 1qy¹ xy x²x 1 yp1q 1

On pourra chercher une solution particuli`ere polynˆomiale.

Exercice 91. ()

R´esoudre le probl`eme de Cauchy suivant (o`u l’on posera τ ^L_R) :

# di dt

R Li E

ipt0 q Lipt0q 0

EQUATIONS DIFF´´ ERENTIELLES LIN´EAIRES (2nd ordre) Exercice 92. (ou )

R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes :

1.y²4y¹ 4ysinpxq 2. y²y¹6y e^3x sinpxq 3.y²3y¹ 4y6x 1 7e^x 4. y²2y¹ y px² 1qe^x

Pour le 4. on cherchera une solution particuli`ere sous la formexÞÑPpxqe^x.

Exercice 93. ()

R´esoudre le probl`eme de Cauchy suivant :

"

y²2p1 iqy¹ 2iyx i yp0q y¹p0q 0

Exercice 94. ()

R´esoudre le probl`eme de Cauchy :

$'

&

'% d²u

dt² ω₀²u _LC^E up0q 0

up0q _RC^E

(poserω0 ^?_LC¹ .)

Exercice 95. ()

R´esoudre le probl`eme de Cauchy :

$'

&

'% d²u

dt² ω₀du

dt ω₀²u _LC^E up0q 0

up0q _RC^E

(ω₀ ^?_LC¹ .)

EQUATIONS DIFF´´ ERENTIELLES : DIVERS Exercice 96. ( )

On souhaite r´esoudrepEq : p1 xqy²2y¹ p1xqy p1 xq³e^x. 1. Montrer quexÞÑe^x est solution de l’´equation homog`ene associ´e.

2. Soity:RÑRd´erivable et zd´efinie surR parzpxq ypxqe^x.

Montrer que y est solution de pEq si, et seulement si, z est une solution d’une autre ´equation pE¹q que l’on pr´ecisera.

3. En d´eduire toutes les solutions depEq. Exercice 97. _{( )}

On cherche les fonctionsf d´erivables surR telles que :@xPR, f¹pxq fp_x¹q. 1. Prouver quef est de classe C² sur R.

2. Trouver une EQDF du 2nd ordre (coeff. non constants) dontf est solution.

3. On poseg:tÞÑfpe^tq. Montrer queg est solution depEq:y²y¹ y0.

4. En d´eduire les solutions de pEq, puis les fonctions f possibles.

Exercice 98. ( )

R´esoudre le syst`eme suivant d’inconnues x ety :

$' '&

''

%

x¹ptq xptq yptq y¹ptq xptq yptq xp0q 0

yp0q 1

Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PCSI - 2019-2020