Exercice 2 : Un probl` eme de Cauchy pour l’ordre 2

DM de MPSI2

Corrig´ e de devoir non surveill´ e

Equations diff´ ´ erentielles

Exercice 1 : Ordre 1

L’´equation homog`ene associ´ee `aE admet pour solution g´en´eralex7→Ce^arctan(x) surR^∗+, o`uC parcourtR. Pour d´eterminer une solution particuli`ere deE sur R^∗+ (si on n’en trouve pas d’´evidente), on utilise la m´ethode de variation de la constante, en la cherchant sous la forme φ :x7→C(x)e^arctan(x), pour une certaine fonction d´erivableC. Pour toutx >0,

φ⁰(x) =

C⁰(x) + C(x) 1 +x²

e^arctan(x),

doncφest solution deE si et seulement si, pour toutx >0,

(1 +x²)C⁰(x)e^arctan(x)= (1 +x²)e⁻arctan(1/x),

soit encoreC⁰(x) =e^−π2, grˆace `a la relation arctan(x) + arctan(1/x) = ^π₂ (valable carx >0).

On peut donc prendreφ:x7→xe^{−π2+arctan(x)},i.e.φ:x7→xe⁻arctan(1/x). La solution g´en´erale deE est donc :

x7→(λ+xe^−π2)e^arctan(x), ou encore

x7→λe^arctan(x)+xe⁻arctan(1/x), o`uλparcourtR.

Exercice 2 : Un probl` eme de Cauchy pour l’ordre 2

Observons d´ej`a que d’apr`es le cours, ce probl`eme de Cauchy admet une unique solution.

L’´equation diff´erentielle (E) : y⁰⁰+ (1 +m)y⁰+my= 2me^mx est d’´equation caract´eristique z²+ (1 +m)z+m= 0,

de solutions−1 et−m(donc admet une unique solution si et seulement sim= 1).

mest donc solution de l’´equation caract´eristique si et seulement sim∈ {−1,0}.

– Si m= 0, alors la fonction nulle est solution ´evidente (et c’est la seule car le probl`eme est de Cauchy).

– Sim=−1, alorsE admet une solution de la formef :x7→λxe^−x, pour un certain r´eelλ. On trouve par identificationλ= 1. La solution au probl`eme de Cauchy consid´er´e est de la forme

φ:x7→αe^x+βe^−x+xe^−x,

pour certains r´eelsαetβ. Les conditionsφ(0) = 0 etφ⁰(0) = 0 donnentα=−1/2 etβ= 1/2. La solution

`

a Cest donc

φ:x7→xe^−x−sh(x).

– Si m /∈ {0,−1}, alorsE admet une solution particuli`ere de la forme x7→λe^mx,

pour un certainλ∈R. Par identification, on trouveλ= 1/(m+ 1).

– Supposonsm6= 1. Soitφ:x7→ _(m+1)¹ e^mx+αe^−x+βe^−mx la solution deC (α, β∈R).

Les conditionsφ(0) = 0 etφ⁰(0) = 0 s’´ecrivent 1

m+ 1+α+β= 0 et m

m+ 1 −α−mβ= 0.

On trouve doncα= 2m/(1−m²) etβ = 1/(m−1).

L’unique solution au probl`eme de Cauchy consid´er´e est donc :

φ:x7→ 1

m+ 1e^mx+ 2m

1−m²e^−x+ 1

m−1e^−mx. – Supposonsm= 1. Soitφ:x7→ ¹₂e^x+ (αx+β)e^−xla solution deC (α, β∈R).

Les conditionsφ(0) = 0 etφ⁰(0) = 0 s’´ecrivent 1

2 +β= 0 et 1

2 +α−β= 0.

On trouve doncβ=−1/2 etα=−1.

L’unique solution au probl`eme de Cauchy consid´er´e est donc : φ :x7→sh(x)−xe^−x.