Analyse, s´eance 7 : cours
LES PROBL` EMES HYPERBOLIQUES
Objectifs
De nombreux probl`emes d’´evolution (dynamique du solide, propagation d’ondes, trans- port) sont conservatifs : au cours de l’´evolution certaines grandeurs comme la quantit´e de mouvement, l’´energie ou la masse sont conserv´ees. La mod´elisation et l’approximation num´erique des ´equations aux d´eriv´ees partielles r´egissant des probl`emes conservatifs posent des probl`emes plus difficiles que ceux que nous avons d´ej`a ´etudi´es dans le cas dissi- patif. La non conservation des invariants dans l’approximation peut entrainer, outre une perte de stabilit´e, la modification des propri´et´es qualitative de la solution. Les probl`emes hyperboliques, qui sont des probl`emes avec un grand nombre d’invariants locaux, sont tr`es rep´esentatifs de cette classe. Nous allons ´etudier ces probl`emes dans un cas simple, en reprenant le mod`ele financier de la s´eance 5. On consid`erera en d´etail dans cette s´eance un cas limite mod´elis´e par une ´equation hyperbolique.
Un probl` eme de finance
Rappel du probl`eme
Le probl`eme ´ecrit sous forme abstraite est :
∂u
∂t =h(x)∂u
∂x+ 1 2σ2∂2u
∂x2 −ru x∈[xm, xM], t∈[0, T] u(x,0) =u0(x)
u(xm, t) = 0 u(xM, t) =uM(t)
(1)
avec h(x) =a(ν−x).
Nous allons ´etudier le cas limite correspondant `a une volatilit´e nulle. Noter que dans ce contexte le mod`ele perd son sens, l’´equation ayant ´et´e ´etablie sous l’hypoth`ese d’une ´evolution al´eatoire de la valeur de l’actif sous-jacent `a l’option.
Question 1
Dans un premier temps nous supposonsσ= 0 etr= 0, l’´equation est alors une ´equation aux d´eriv´ees partielles lin´eaires du premier ordre qui s’´ecrit :
∂u
∂t =h(x)∂u
∂x (2)
On appellecourbe caract´eristique dans le plan (x, t) une courbe d´efinie par une solution x(t) de l’´equation diff´erentielle caract´eristique:
x0(t) =−h(x(t)) (3)
• Quel est l’ensemble des courbes caract´eristiques si h(x) =C =Cte et si h(x) =a(ν−x)
? Rappelons pour l’interpr´etation que nous avons invers´e le temps. Montrer que de mani`ere g´en´erale (h∈C1) les courbes caract´eristiques forment un r´eseau de courbes disjointes.
• Montrer que une fonction u(x, t) ∈ C1 est solution de (3) si et seulement si u est une fonction constante sur les courbes caract´eristiques.
•Peut-on fixer des conditions initiales ou aux limites librement pour cette ´equation ? Discuter les cas h(x) = C et h(x) = a(ν −x). Donner une expression de la solution du probl`eme `a valeur initiale quand h(x) =a(ν−x).
Question 2
On reprend le probl`eme avecr 6= 0, l’´equation s’ecrit :
∂u
∂t =h(x)∂u
∂x−ru (4)
Les courbes caract´eristiques ´etant d´efinies de la mˆeme mani`ere.
• Montrer que u est toujours bien d´efinie sur les courbes caract´eristiques par une ´equation diff´erentielle et sa valeur en un seul point. Montrer que le probl`eme `a valeur initiale est bien d´efini.
Remarque :
Quand la volatilit´e est non nulle mais faible (situation ici plus num´erique que r´eelle) la solution doit satisfaire en outre les deux conditions aux limites enxmin etxmax. La solution du probl`eme reste proche de la solution du probl`eme hyperbolique sauf au voisinage des bords o`u la solution varie brutalement : il apparaˆıt une couche limite. Dans l’approximation num´erique cette situation peut cr´eer des instabilit´es que certaines m´ethodes peuvent corriger.
Les syst` emes hyperboliques
Question 3
On consid`ere les syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles suivants :
∂u
∂t −c∂v
∂x = 0
∂v
∂t −c∂u
∂x = 0
(5)
et :
∂u
∂t +∂v
∂x = 0
∂v
∂t −∂u
∂x = 0
(6)
•Montrer que la solutionu du syst`eme (5) v´erifie l’´equation des ondes tandis que la solution ude (6) v´erifie l’´equation de Laplace ∆u= 0 (ce sont les conditions de Cauchymontrant que u+iv est une fonction analytique dez=x+it).
Question 4
La notion de caract´eristique ne se g´en´eralise pas `a tous les syst`emes d’´equation aux d´eriv´ees partielles lin´eaires du premier ordre, mais seulement `a une classe de syst`emes dits hyper- boliques. Dans cette question nous ´etudions la d´efinition “g´en´erale” d’unsyst`eme hyperbolique lin´eaire `a coefficients constants..
On consid`ere un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles du premier ordre pour des fonctions de deux variables (x, t) repr´esent´ees par le vecteuru= (u1(x, t),· · ·, un(x, t))t. On notera le syst`eme :
∂u
∂t +A∂u
∂x = 0 (7)
D´efinition 1 On dit que le syst`eme (7) est unsyst`eme strictement hyperboliquesi la matrice A est `a valeurs propres r´eelles et distinctes, donc diagonalisable.
On peut interpr´eter les syst`emes hyperboliques comme les syst`emes qui admettent des ondes planes, i.e; des solutions particuli`eres de la forme u(kx−ωt) et mˆeme plus pr´ecis´ement des solutions de la formeuexpi(kx−ωt).
• Montrer que le syst`eme (5) associ´e `a l’´equation des ondes est hyperbolique mais que pour le syst`eme (6) associ´e `a l’´equation de Laplace ∆u= 0, la matriceA est antisym´etrique : elle n’a pas de valeurs propres r´eelles, le syst`eme n’est pas hyperbolique.
•On notevk, λk les vecteurs propres et valeurs propres de la matriceAt(doncAtvk=λkvk).
Montrer que, en multipliant scalairement les deux membres de l’´equation par vk, il vient : hvk,∂u
∂t +λk∂u
∂xi= 0 (8)
•On appellecaract´eristiques du syst`emeles courbesxk(t) =λkt+xk(0) int´egrales du syst`eme diff´erentiel :
dx
dt =λk (9)
Montrer que sur ces courbes la fonction u(x(t), t) v´erifie l’´equation diff´erentielle : hvk,du
dti= 0 (10)
En d´eduire dans ce cas l’existence desinvariants de Riemann :
hvk, ui=Cte (11)
La connaissance des caract´eristiques permet calculer les invariants de Riemann le long des caract´eristiques, d’o`u l’on peut d´eduire la solutionu.
En supposant connu l’´etat initial u(x,0) en t= 0 il faut : 1. d´eterminer les invariant en t= 0,
2. construire les caract´eristiques passant par un point (x, t),
3. retrouver le point d’intersection de ces caract´eristiques avec l’axe t= 0 et calculer les invariants en ces points ;
4. on connaˆıt alors la valeur des invariants en (x, t) ce qui permet de retrouver la valeur de u.
Noter que la solution en un point ne d´ependant que des valeurs ant´erieures sur les car- act´eristiques , une perturbation se propage `a vitesse finie, la vitesse de propagation ´etant donn´ee par les valeurs propres de la matrice : les probl`emes hyperboliques mod´elisent les ph´enom`enes ayant une vitesse de propagation finie (les probl`emes elliptiques et paraboliques ont une vitesse de propagation infinie).
Si le probl`eme est pos´e sur un intervalle born´e pour x, la situation se complique car il faut tenir compte des conditions au bord (nous allons ´etudier ce cas sur un exemple).
Question 5
Un exemple
On ´etudie l’´equation des ondes avec position et vitesse initiale connues et conditions aux limites nulles sur un intervalle (corde vibrante) :
∂2u
∂t2 =c2∂2u
∂x2 u(x,0) =u0(x)
∂u
∂t(x,0) = 0
u(0, t) =u(L, t) = 0
(12)
En consid´erant le syst`eme hyperbolique (5) ´equivalent, d´eterminer et utiliser les car- act´eristiques pour calculer la solution du probl`eme :
• en supposant d’abord x∈R,
• puis 0≤x≤Len tenant compte des conditions aux limites. Dans ce cas on propagera les caract´eristiques `a partir d’un point de l’axe t = 0. Ces caract´eristiques viennent buter sur un bordx= 0 oux=L. On notera que par tout point du bord passent deux caract´eristiques et que les valeurs des invariants sur ces caract´eristiques sont li´ees par la conditionu= 0 ce qui permet de d´eterminer l’un quand on connait l’autre. On peut donc repartir d’un bord en changeant de caract´eristique et propager un nouvel invariant.
De proche en proche on d´etermine la solution. On dit parfois que les caract´eristiques se r´efl´echissentsur le bord.
Remarque : dans ce cas particulier on peut prolonger les fonctions par sym´etrie et transla- tion de fa¸con `a d´efinir des fonctions p´eriodiques en x, de p´eriode 2L et obtenir un probl`eme
´equivalent avecx∈R,u(x, t) p´eriodique enx, ce qui permet de se ramener au cas pr´ec´edent et d’obtenir une solution explicite.
S.L
