Approximation num ´erique compl `ete d’un probl `eme parabolique

MASTER Math´ematiques 2`eme ann´ee, 2009-2010, Marseille.

Sp´ecialit´e EDP et Calcul Scientifique.

Notes de cours autoris´ees - Dur´ee : 4h

A NALYSE N UM ERIQUE DES ´ EDP

Approximation num ´erique compl `ete d’un probl `eme parabolique

Soit T > 0, Ω un ouvert born´e, polygonal, convexe de R ² .

On se donne une fonction k ∈ C ^∞ (Ω) (en particulier born´ee !) et telle que inf Ω k > 0, une fonction f ∈ C ^∞ ([0, T ] × Ω) et une fonction u 0 ∈ C ^∞ (Ω). On notera k min = inf Ω k et k max = sup _Ω k.

On admet qu’il existe une unique solution u ∈ C ^∞ ([0, T ] × Ω) au probl`eme suivant

 



 

∂ t u − div (k(x)∇u) = f (t, x), pour tout (t, x) ∈ [0, T ] × Ω, u(t, x) = 0, pour tout (t, x) ∈ [0, T ] × ∂Ω, u(0, x) = u 0 (x), pour tout x ∈ Ω.

(1)

Le but de ce probl`eme est l’´etude compl`ete d’une m´ethode num´erique de type Euler implicite en temps / ´el´ements finis en espace pour r´esoudre ce probl`eme.

Notations :

• On rappelle que H ₀ ¹ (Ω) est l’ensemble des ´el´ements de H ¹ (Ω) dont la trace est nulle au bord. Dans ce probl`eme, on notera C P > 0 la constante dans l’in´egalit´e de Poincar´e suivante

∀v ∈ H ₀ ¹ (Ω), kvk L

≤ C P k∇vk L

.

• Dans tout le probl`eme si (t, x) 7→ v(t, x) est une fonction qui d´epend de t et de x, alors pour tout t ∈ [0, T ], v(t) d´esignera la fonction v(t, ·) qui ne d´epend donc plus que de la variable x.

• Pour toute fonction (t, x) ∈ [0, T ] × Ω 7→ v(t, x) ∈ R de classe C ^k , on note kvk _C

= max

(α0,α1,α2)∈N3 α0+α1+α2≤k

µ

k∂ _t ^α

∂ _x ^α

∂ _x ^α

vk _L

_(]0,T[×Ω)

¶ .

Partie I- Semi-discr´etisation en temps :

On commence par discr´etiser le probl`eme par rapport `a la variable de temps. Pour cela, on se donne un pas de temps

∆t = _M ^T o`u M est un entier positif. On note t ⁿ = n∆t pour 0 ≤ n ≤ M les diff´erents instants de la discr´etisation.

On fixe u ⁰ = u 0 et on consid`ere alors le syst`eme d’´equations suivantes

 



u ⁿ⁺¹ − u ⁿ

∆t − div (k(x)∇u ⁿ⁺¹ ) = f (t ⁿ⁺¹ ) = f (t ⁿ⁺¹ , ·), dans Ω, u ⁿ⁺¹ = 0. sur ∂Ω.

(2)

On propose la formulation variationnelle suivante de ce probl`eme

Trouver u ⁿ⁺¹ ∈ H ₀ ¹ (Ω) tel que c(u ⁿ⁺¹ , v) + ∆t a(u ⁿ⁺¹ , v) = c(u ⁿ + ∆tf(t ⁿ⁺¹ ), v), ∀v ∈ H ₀ ¹ (Ω), (3)

o`u on a pos´e

∀u, v ∈ H ₀ ¹ (Ω), a(u, v)

= Z

Ω

k(x)∇u · ∇v dx,

∀u, v ∈ L ² (Ω), c(u, v)

= Z

Ω

uv dx.

1. Montrer que si u ⁿ ∈ H ₀ ¹ (Ω) est connu, alors le probl`eme (3) admet une unique solution u ⁿ⁺¹ . En d´eduire que l’on d´efinit ainsi de fac¸on unique une suite (u ⁿ ) 0≤n≤M d’´el´ements de H ₀ ¹ (Ω).

2. Montrer que la fonction u ⁿ⁺¹ ainsi construite v´erifie le probl`eme elliptique (2) au sens des distributions, ainsi que la condition aux limites en un sens que l’on pr´ecisera.

3. Pour tout 0 ≤ n ≤ M − 1, on d´efinit l’erreur de consistance R ⁿ⁺¹ (x) = u(t ⁿ⁺¹ , x) − u(t ⁿ , x)

∆t − ∂ t u(t ⁿ⁺¹ , x) qui est donc une fonction de classe C ^∞ qui ne d´epend que de la variable x. D´emontrer que

kR ⁿ⁺¹ k _L

_(Ω) ≤ ∆tkuk _C

, kR ⁿ⁺¹ k L

(Ω) ≤ ∆t p

|Ω| kuk C

, k∇R ⁿ⁺¹ k L

(Ω)

def

= q

k∂ x

R ⁿ⁺¹ k ² _L

+ k∂ x

R ⁿ⁺¹ k ² _L

≤ ∆t p

2|Ω| kuk C

.

4. Pour tout 0 ≤ n ≤ M , on d´efinit l’erreur d’approximation au temps t ⁿ par e ⁿ = u(t ⁿ ) − u ⁿ . Montrer que l’on a

∀0 ≤ n ≤ M − 1, ∀v ∈ H ₀ ¹ (Ω), c(e ⁿ⁺¹ , v) + ∆t a(e ⁿ⁺¹ , v) = c(e ⁿ + ∆tR ⁿ⁺¹ , v).

5. En d´eduire que

∀0 ≤ n ≤ M − 1, ke ⁿ⁺¹ k ² _L

+ k min ∆tk∇e ⁿ⁺¹ k ² _L

≤ ke ⁿ k _L

ke ⁿ⁺¹ k _L

+ ∆tC P kR ⁿ⁺¹ k _L

k∇e ⁿ⁺¹ k _L

, et enfin que

∀0 ≤ n ≤ M − 1, 1

2 ke ⁿ⁺¹ k ² _L

+ k min

2 ∆tk∇e ⁿ⁺¹ k ² _L

≤ 1

2 ke ⁿ k ² _L

+ ∆t C _P ² 2k min

kR ⁿ⁺¹ k ² _L

. On pourra utiliser l’in´egalit´e de Young : ∀a, b ∈ R, ∀ε > 0, ab ≤ ₂ ^ε a ² + _2ε ¹ b ² .

6. Conclure que

sup

0≤n≤M ke ⁿ k _L

≤ ∆t C P

s

|Ω|T k min kuk _C

. Le sch´ema propos´e est donc d’ordre 1 en temps.

Partie II- Discr´etisation compl`ete en temps et espace - cadre abstrait :

D’un point de vue pratique, il nous faut maintenant r´esoudre le probl`eme elliptique (3) `a chaque pas de temps. On se propose pour cela d’utiliser une m´ethode de Galerkin.

On se donne une famille (V h ) h de sous-espaces de dimension finie de H ₀ ¹ (Ω) et on consid`ere pour tout n le probl`eme suivant

Trouver u ⁿ⁺¹ _h ∈ V h tel que c(u ⁿ⁺¹ _h , v) + ∆t a(u ⁿ⁺¹ _h , v h ) = c(u ⁿ _h + ∆tf(t ⁿ⁺¹ ), v h ), ∀v h ∈ V h , (4)

Pour chaque h > 0, on se donne un u ⁰ _h ∈ V h (qui est cens´e approcher u 0 ).

1. Si u ⁰ _h ∈ V h est donn´e, d´emontrer qu’il existe une unique suite (u ⁿ _h ) n d’´el´ements de V h qui v´erifie les ´equations (4).

2. Pour toute fonction w ∈ H ₀ ¹ (Ω), montrer qu’il existe un unique ´el´ement de V h not´e P h w qui v´erifie

∀v h ∈ V h , a(P h w, v h ) = a(w, v h ), ∀v h ∈ V h . Montrer qu’on a l’estimation

∀w ∈ H ₀ ¹ (Ω), k∇P h wk L

≤ k max

k min k∇wk L

.

L’op´erateur P h : H ₀ ¹ (Ω) 7→ V h ainsi contruit est appel´e projecteur elliptique sur V h par rapport `a a.

Dans la suite, on suppose que P h v´erifie la propri´et´e : il existe M 1 > 0, ind´ependant de h, tel que

∀w ∈ H ₀ ¹ (Ω) ∩ C ² (Ω),

( kP h w − wk L

≤ M 1 h ² kwk C

|P h w − w| _H

≤ M 1 hkwk _C

. (5)

Pour tout n et h, on d´efinit e ⁿ _h = u(t ⁿ ) − u ⁿ _h l’erreur totale entre la solution exacte et la solution approch´ee au temps t ⁿ . On ´ecrit cette erreur sous la forme

e ⁿ _h = (u(t ⁿ ) − P h u(t ⁿ ))

| {z }

=¯ e

+ (P h u(t ⁿ ) − u ⁿ _h )

| {z }

=e e

,

et on va ´etudier s´epar´ement ces deux termes.

3. Pour tout n ≥ 0, on pose S ⁿ = P h (∂ t u(t ⁿ )) − ∂ t u(t ⁿ ). Montrer qu’il existe M 2 > 0 ind´ependant de u, de h et de ∆t tel que

∀n ∈ {0, . . . , M}, kS ⁿ k _L

≤ M 2 h ² kuk _C

. 4. Montrer que, pour tout n ∈ {0, . . . , M − 1}, on a

c(e e ⁿ⁺¹ _h , v h ) + ∆t a(e e ⁿ⁺¹ _h , v h ) = c(e e ⁿ _h , v h ) + ∆t c(P h R ⁿ⁺¹ , v h ) + ∆t c(S ⁿ⁺¹ , v h ).

5. En d´eduire, toujours pour n ∈ {0, . . . , M − 1}, l’in´egalit´e 1

2 ke e ⁿ⁺¹ _h k ² _L

+ ∆tk min k∇e e ⁿ⁺¹ _h k ² _L

≤ 1 2 ke e ⁿ _h k ² _L

+ ∆tC _P ² k max

k min k∇R ⁿ⁺¹ k _L

k∇e e ⁿ⁺¹ _h k _L

+ ∆tC P kS ⁿ⁺¹ k _L

k∇e e ⁿ⁺¹ _h k _L

. 6. Montrer ensuite que

1

2 ke e ⁿ⁺¹ _h k ² _L

+ 1

2 ∆tk min k∇e e ⁿ⁺¹ _h k ² _L

≤ 1

2 ke e ⁿ _h k ² _L

+ ∆tC _P ⁴ k ² _max

k ³ _min k∇R ⁿ⁺¹ k ² _L

+ ∆tC _P ² 1 k min

kS ⁿ⁺¹ k ² _L

.

7. Conclure enfin que sup

n≤M ke e ⁿ _h k ² _L

≤ ke e ⁰ _h k ² _L

+ 2T C _P ⁴ k _max ²

k _min ³ ∆t ² |Ω|kuk ² _C

+ 2T C _P ² M ₂ ²

k min h ⁴ kuk ² _C

. 8. Montrer maintenant que

sup

n≤M k¯ e ⁿ _h k ² _L

≤ M ₁ ² h ⁴ kuk ² _C

.

9. Conclure qu’il existe une constante M 3 > 0 ind´ependante de ∆t et h telle que sup

n≤M

ke ⁿ _h k _L

≤ M 3 (∆t + h ² + ke e ⁰ _h k _L

).

Comment construiriez-vous u ⁰ _h en pratique ?

Le sch´ema ´etudi´e est donc d’ordre 1 en temps et d’ordre 2 en espace en norme L ² . 10. On revient dans cette derni`ere question `a l’´etude du projecteur elliptique.

(a) Montrer, en utilisant les r´esultats du cours que l’on a

∀w ∈ H ₀ ¹ (Ω), |P h w − w| H

≤ k max

k min d(w, V h ), o`u d(w, V h ) = inf w

∈V

|w − w h | _H

.

(b) On suppose maintenant qu’il existe C > 0 ind´ependante de h, telle que ∀w ∈ H ² (Ω) ∩H ₀ ¹ (Ω), d(w, V _h ) ≤ Chkwk _H

, en d´eduire que la seconde in´egalit´e de (5) est vraie.

(c) Toujours en utilisant un r´esultat du cours, montrer que

∀w ∈ H ₀ ¹ (Ω) ∩ H ² (Ω), kP h w − wk L

≤ C ⁰ h ² kwk H

. En d´eduire que la premi`ere in´egalit´e de (5) est ´egalement vraie.

Partie III- Discr´etisation compl`ete en temps et espace - approximation par ´el´ements finis :

Dans toute la suite, on suppose ici donn´e un maillage simplicial g´eom´etriquement conforme de Ω not´e T . On construit l’espace V h ⊂ H ₀ ¹ (Ω) `a partir de ce maillage et de l’´el´ement fini de Lagrange P ¹ .

1. D´ecrire en quelques lignes l’espace V h . On pr´ecisera en particulier sa dimension en fonction des caract´eristiques g´eom´etriques du maillage.

2. Montrer que le sch´ema (4) peut se mettre sous la forme suivante

M h U ⁿ⁺¹ + ∆tA h U ⁿ⁺¹ = M h U ⁿ + ∆tM h F ⁿ⁺¹ ,

o`u U ⁿ , U ⁿ⁺¹ et F ⁿ⁺¹ sont des vecteurs colonnes dont on pr´ecisera la taille et les coefficients, A h et M h sont des matrices que l’on pr´ecisera ´egalement.

3. Montrer que M h et A h sont sym´etriques d´efinies positives. En d´eduire que M h + ∆tA h est une matrice inversible pour toute valeur du pas de temps ∆t > 0.

Partie IV- Un lemme de Strang :

Dans cette partie, on s’int´eresse `a une variante de la m´ethode de Galerkin pour laquelle on va ´etablir un r´esultat semblable au lemme de C´ea. Dans la partie suivante, ce r´esultat sera appliqu´e `a l’´etude de l’influence des formules de quadrature dans la m´ethode num´erique propos´ee dans ce probl`eme.

On se place dans le cadre abstrait suivant : soit V un espace de Hilbert, a une forme bilin´eaire, continue et coercive sur V (on note α > 0 la constante de coercivit´e), L une forme lin´eaire continue sur V . On consid`ere l’unique solution u ∈ V du probl`eme

∀v ∈ V, a(u, v) = L(v). (6)

Pour tout h > 0 on se donne un sous-espace de dimension finie V h ⊂ V , une forme bilin´eaire coercive a h sur V h . 1. D´emontrer que pour tout h > 0, il existe une unique solution u h ∈ V h du probl`eme approch´e

∀v h ∈ V h , a h (u h , v h ) = L(v h ). (7)

2. En s’inspirant de la d´emonstration du lemme de C´ea, montrer que

∀v h ∈ V h , ku h − v h k V ≤ kak

α ku − v h k V + 1 α sup

w

∈V

|a h (u h , w h ) − a(u h , w h )|

kw h k V

. 3. En d´eduire qu’on a

ku − u h k V ≤ µ

1 + kak α

¶

d(u, V h ) + 1 α sup

w

∈V

|a h (u h , w h ) − a(u h , w h )|

kw h k V . Partie V- M´ethodes de quadrature :

On revient dans cette partie au cadre ´etudi´e dans les parties II et III.

On note K ˆ le simplexe de r´ef´erence associ´e `a l’´el´ement fini P <sup>1</sup> . Pour tout ´el´ement K ∈ T , on note T K une application affine qui envoie K ˆ sur K, h K d´esigne le diam`etre de K et |K| sa mesure.

La construction des matrices M h et A h obtenues dans la partie III, fait intervenir le calcul d’int´egrales sur chaque

´el´ement K du maillage. On se propose dans cette partie d’´etudier des m´ethodes d’´evaluation num´erique de ces int´egrales (le calcul exact ´etant en g´en´eral hors de port´ee) et leur influence sur la pr´ecision du calcul.

Soit N ≥ 1. On appelle formule de quadrature d’ordre N, sur l’´el´ement de r´ef´erence, une application lin´eaire continue I _N : C ⁰ ( ˆ K) 7→ R telle que

∀ˆ v ∈ P ^{N −1} , Z

K ˆ

ˆ

v dˆ x = I N (ˆ v).

1. D´eterminer l’ordre des formules de quadrature suivantes I(ˆ v) = 1

2 v(0, ˆ 0), I(ˆ v) = 1

2 v(1/3, ˆ 1/3), I(ˆ v) = 1

6 (ˆ v(0, 0) + ˆ v(1, 0) + ˆ v(0, 1)).

Entre ces trois m´ethodes, laquelle vous semble - en pratique - la plus adapt´ee `a l’utilisation dans le contexte de notre probl`eme (i.e. pour ´evaluer les int´egrales intervenant dans A h et M h ) ?

2. On fixe dor´enavant une formule de quadrature I N . D´emontrer qu’il existe C > 0 telle que

∀ˆ v ∈ H ^N ( ˆ K),

¯ ¯

¯ ¯ Z

K ˆ

ˆ

v dˆ x − I N (ˆ v)

¯ ¯

¯ ¯ ≤ C|ˆ v| _H

( ˆ K) . 3. Pour tout K ∈ T , et tout v ∈ H ^N (K), on pose

I N,K (v) = 2|K|I N (v ◦ T K ).

Montrer que ¯

¯ ¯

¯ Z

K

v dx − I N,K (v)

¯ ¯

¯ ¯ ≤ C2|K|

h ^N _K |v| H

(K) . 4. On pose maintenant

∀u h , v h ∈ V h , a h (u h , v h )

= X

K∈T

I N,K (k∇u h · ∇v h ).

Montrer que pour tout u h , v h ∈ V h , on a

|a(u h , v h ) − a h (u h , v h )| ≤ Ch ^N kkk C

a(u h , v h ).

En d´eduire qu’il existe h 0 > 0 (qui d´epend de N et de k) tel que

∀h < h 0 , ∀u h ∈ V h , a h (u h , u h ) ≥ 1

2 k min k∇u h k ² _L

. (8)

5. On pose ´egalement

∀u h , v h ∈ V h , c h (u h , v h )

= X

K∈T

I N,K (u h v h ).

Pour quelles valeurs de N , est-on sˆur d’avoir la propri´et´e suivante

∀u h , v h ∈ V h , c(u h , v h ) = c h (u h , v h ). (9) 6. On choisit dor´enavant une valeur de N pour laquelle (9) est vraie. Par ailleurs, pour simplifier un peu, on va

supposer dans la suite que f (t, x) = 0 pour tout (t, x).

Le sch´ema num´erique complet pour le probl`eme parabolique qui nous occupe devient maintenant

Trouver e u ⁿ⁺¹ _h ∈ V h tel que c(e u ⁿ⁺¹ _h , v) + ∆t a h (e u ⁿ⁺¹ _h , v h ) = c(e u ⁿ _h , v h ), ∀v h ∈ V h , (10) les seules diff´erences (en dehors du fait que f = 0) ´etant dans le fait que l’on a remplac´e la forme bilin´eaire a par la forme bilin´eaire a h qui est calcul´ee `a l’aide de la formule de quadrature I N .

On admet que l’analyse de l’erreur associ´ee `a ce probl`eme peut se d´erouler de la mˆeme fac¸on que dans les parties II et III, `a condition de savoir d´emontrer les propri´et´es (5) pour un nouvel op´erateur de projection elliptique not´e P f _h et d´efini par

∀w ∈ H ₀ ¹ (Ω), ∀v h ∈ V h , a h ( P f h w, v h ) = a(w, v h ).

7. (a) D´emontrer que pour h > 0 suffisament petit, on a l’estimation

∀w ∈ H ₀ ¹ (Ω), k∇ P f h wk L

≤ 2k max

k min k∇wk L

. (b) D´emontrer que

∀w ∈ H ₀ ¹ (Ω), |w − P f h w| H

≤ µ

1 + k max

k min

¶

d(w, V h ) + 2Ch ^N k _max ²

k ² _min kkk _C

k∇wk L

. En d´eduire que la seconde in´egalit´e de (5) est encore vraie pour l’op´erateur P f h .

8. Soit w ∈ H ₀ ¹ (Ω) ∩ H ² (Ω).

(a) Montrer qu’il existe un unique ψ w,h ∈ H ₀ ¹ (Ω) tel que

∀v ∈ H ₀ ¹ (Ω), a(v, ψ w,h ) = (w − P f h w, v) _L

. Montrer que ψ w,h ∈ H ² (Ω) et qu’il existe C > 0 ind´ependante de w et h telle que

kψ w,h k _H

≤ Ckw − P f h wk _L

. (b) D´emontrer que

kw − P f _h wk ² _L

= a(w − P f _h w, ψ _w,h − P _h ψ _w,h ) + a _h ( P f _h w, P _h ψ _w,h ) − a( P f _h w, P _h ψ _w,h ).

(c) En d´eduire que

kw − P f h wk ² _L

≤ k max |w − P f h w| H

|ψ w,h − P h ψ w,h | H

+ Ch ^N kkk _C

k max | P f h w| H

|P h ψ w,h | H

. (d) Conclure qu’il existe C ⁰ > 0 ind´ependante de w et h telle que

kw − P f h wk ² _L

≤ C ⁰ h ² kwk _H

+ C ⁰ h ^N kwk _H

.

Ceci prouve donc que pour N ≥ 2 la premi`ere estimation de (5) reste vraie pour l’op´erateur P f h et donc que la m´ethode de quadrature I N utilis´ee dans le sch´ema ne d´egrade pas ses propri´et´es de convergence.

F IN DU PROBL EME `