Int´egration Num´erique
Pour ses calculs en physique et en astronomie, Newton est le premier `a utiliser des formules de quadrature, suivi en cela par ses successeurs anglais (Cotes 1711, Simpson 1743). Euler, dans son gigantesque trait´e (Inst. Calculi Integralis 1768, 1769, 1770, Opera XI-XIii), met toute son ing´eniosit´e `a rechercher des primitives analytiques. Cependant, de nombreuses int´egrales r´esistent encore et toujours `a l’envahisseur (exemples
,
); de nombreux calculs en astronomie (perturbations des orbites plan´etaires) contraignent Gauss (1814) `a intensifier la th´eorie des for- mules de quadrature. Les programmes qui ont tourn´e sur les premiers ordinateurs furent en grande partie les calculs d’int´egrales: ces probl`emes sont les plus faciles `a programmer. Pour cette mˆeme raison, nous commenc¸ons par ce sujet.
Probl`eme. Etant donn´e une fonction continue sur un intervalle born´e
(0.1) on cherche `a calculer l’int´egrale
! #"$
(0.2)
Bibliographie sur ce chapitre
P.J. Davis & P. Rabinowitz (1975): Methods of Numerical Integration. Academic Press, New York.
G. Evans (1993): Practical Numerical Integration. John Wiley & Sons. [MA 65/336]
V.I. Krylov (1959): Priblizhennoe Vychislenie Integralov. Goz. Izd. Fiz.-Mat. Lit., Moscow. Tra- duction anglaise: Approximate calculation of integrals. Macmillan, 1962. [MA 65/185]
R. Piessens, E. de Doncker-Kapenga, C.W. ¨Uberhuber & D.K. Kahaner (1983): QUADPACK.
A Subroutine Package for Automatic Integration. Springer Series in Comput. Math., vol. 1. [MA 65/210]
A.H. Stroud (1974): Numerical quadrature and Solution of Ordinary Differential Equations. Springer.
[MA 65/89]
I.1 Formules de quadrature et leur ordre
La plupart des algorithmes num´eriques proc`edent comme suit: on subdivise % en plusieurs sous-intervalles (
'&
(*)+-,.)/0*)1$$$2)354
&1
) et on utilise le fait que
!
#"
&
4768,
9;:
(
=<?>A@
=<
!
#"$
(1.1)
B&
( -, 0 CDCDC
9
9;E
,
CDCDC 54
&F
!
#"
FIG. I.1: Une division d’un intervalle en sous-intervalles
De cette mani`ere, on est ramen´e au calcul de plusieurs int´egrales pour lesquelles la longueur de l’intervalle d’int´egration est relativement petite. Prenons une de ces int´egrales et notons la longueur de l’intervalle parG 9 H& 9;E ,JIK 9 . Un changement de variable nous donne alors
=<L>M@
=<
! #" & G 9 ,
(
!
9ONQP
G 9
"
P $
Notons enfinR P
" H&F!
9NQP
G 9 "
. Il reste alors `a calculer une approximation de
,
( R P
"
P $
(1.2)
Exemples. 1. La formule du point milieu,
( R P
"
PTS
R
UWVYX ";$
0 1 2
2. La formule du trap`eze,
( R P
"
PTS[Z
\ R
L]
" N R
^U
" $
0 1 2
Ces deux formules (point milieu et trap`eze) sont exactes siR P " est un polyn ˆome de degr´e_ U . 3. On obtient la formule de Simpson si l’on passe une parabole (polynˆome de degr´e
X
) par les trois points `]A R L] "" , ^UWVYXA R ^UWVYX "^"
, UW R ^U "" et si l’on approche
l’int´egrale (1.2) par l’aire sous la parabole:,
( R P
"
PaSbZ
c R
L]
"
N/d
R
UWVYX
" N R
^U
" $
0 1 2
4. La “pulcherrima et utilissima regula” de Newton (degr´e, e ) :
( R P
"
PTS Z
f R
L] " N
eWR ^UWV
e " N eWR
`XMV
e " N R
U " $
0 1 2
5. En g´en´eralisant cette id´ee (passer un polyn ˆome de degr´e g I
U
par lesg points ´equidistants
ih;V8
g I U " R
jhV8
g I U ""^"
,
h.&1]A $W$$ g I U
), on obtient les formules de Newton-Cotes (Newton 1676, Cotes 1711). Pour gk_ml les coefficients de ces formules sont donn´ees dans le tableau I.1. Leur dessin en figure I.2 montre que les poids “explosent” au-del`a de g
&nU=]
. Si on veut augmenter la pr´ecision, il vaut mieux raffiner les subdivisions en (1.1) qu’augmenter le degr´eg .
D´efinition 1.1 Une formule de quadrature `ag ´etages est donn´ee par
,
( R P
"
PaS o
p?:
, p R
rq
p
";$
(1.3) Les
q p
sont les nœuds de la formule de quadrature et les
p
en sont les poids.
TAB. I.1: Formules de Newton-Cotes
g ordre poids p nom
2 2 \Z \Z trap`eze
3 4 cZ sc cZ Simpson
4 4 fZ tf tf fZ Newton
5 6 vxwu t
\
vxw
Z \
v=w t \
v=w vxwu Boole
6 6 Z
v
\xfxf \=fxfuy y w
\=fxf y w
\xf=f \xf=fuy
Z v
\xfxf —
7 8 fs Z
s w \ Z c
f s w \ u
f s w \ u \
f s w \ u
f s w \ Z c
f s w s Z
f s w Weddle
−1 00 1
s = 3
−1 00 1
s = 4
−1 00 1
s = 5
−1 00 1
s = 6
−1 00 1
s = 7
−1 0 1
−1 0 1 2 s = 9
−1 0 1
−1 0 1 2 s =11
−1 0 1
−1 0 1 2 s =13
−1 0 1
−1 0 1 2 s =15
−1 0 1
−1 0 1 2 s =17
FIG. I.2: Dessin des poids des formules de Newton-Cotes
If there are four ordinates at equal intervals, letz be the sum of the first and the fourth, { the sum of the second and third, and| the interval between the first and the fourth ; then ... the area between the first and the fourth ordinates will be}z~D{| D .
(I. Newton, Methodus, publ. 1711, cit´e d’apr`es H.H. Goldstine, p. 76) D´efinition 1.2 On dit que l’ordre de la formule de quadrature (1.3) est , si la formule est exacte pour tous les polynˆomes de degr´e_ I U , c.-`a-d.,
,
( R P
"
P & o
p?:
, p R
`q
p "
pour 2W'R_
I U $
(1.4) On voit que les formules du point milieu et du trap`eze sont d’ordre
X
. La formule de Newton- Cotes `ag ´etages a un ordrekg (par d´efinition).
Th´eor`eme 1.3 La formule de quadrature (1.3) a un ordre si et seulement si
o
p:
, p
q^
68,
p & U
pour &UWWXA $$$ $
(1.5) D´emonstration. La n´ecessit´e de (1.5) est une cons´equence de (1.4) si l’on pose R P
" & P 68,
. Pour en montrer la suffisance, on utilise le fait qu’un polyn ˆome de degr´e I U est une combinai- son lin´eaire de
UW
P
$$W$
P
68,
et que l’int´egrale
,
( R P
"
P ainsi que l’expression
o
p?:
, pR
`q
p "
sont lin´eaires enR .
En fixant les nœudsq , $$W$ q
o
(distincts), la condition (1.5) avec & g est un syst`eme lin´eaire pour
,
$$$
W
o U U $W$$ U
q , q 0 $W$$
q o
... ... ...
q o 68,
, q o
68,
0
$W$$ q o
68,
o ,
0
...
o & U
UWVYX
...
U=V
g $
(1.6)
Comme la matrice dans (1.6) est inversible (matrice de Vandermonde), la r´esolution de ce syst`eme nous donne une formule de quadrature d’ordrekg .
Si l’on v´erifie les conditions (1.5) pour la formule de Simpson, on fait une observation int´eres- sante. Par d´efinition, il est ´evident que la condition (1.5) est satisfaite pour
&UWWXA
e , mais on remarque qu’elle satisfait aussi (1.5) pour & d :
Z
c C
]
N sc C Z
\
NZ
c C
U^&
Z
s
Z
c C
]
N sc C Z
\ N Z
c C
U^&
y
\ s
&
Z
y $
Elle est donc d’ordre d . Par cons´equent, elle n’est pas seulement exacte pour des polyn ˆomes de degr´e 2 mais aussi pour des polyn ˆomes de degr´ee . Ceci est une propri´et´e g´en´erale d’une formule sym´etrique.
] q , q 0 q q
q
U
mˆeme
p
FIG. I.3: Coefficients et nœuds d’une formule de quadrature sym´etrique Th´eor`eme 1.4 Une formule de quadrature sym´etrique (c.-`a-d. q p &U I q
o E ,6
p, p &
o E ,6
p pour
tout
h
; voir la fig. I.3) a toujours un ordre pair. C.-`a-d., si elle est exacte pour les polynˆomes de degr´e_
X= I X
, elle est automatiquement exacte pour les polynˆomes de degr´e
XW I U
. D´emonstration. Chaque polynˆome de degr´e
X= I U
peut ˆetre
´ecrit sous la forme
R P " &1
C P I UWVYX "
0¡a68,
N R , P "
o`u R , P " est de degr´e _
XW
I X
. Il suffit alors de montrer qu’une formule sym´etrique est exacte pour P
I UWVYX "
0¡a68,
. A cause de la sym´etrie de cette fonction, la valeur exacte vaut
,
( P I UWVYX "
0¡a68,
P
&¢] $ q p q o E
,6
p
£D¤j¥
P
P I UWVYX "
0¡a68,
Pour une formule de quadrature sym´etrique on a
p rq
p I UWVYX
"
0¡a68,
N o E
,6
p
rq
o E ,6
p I UWVYX
"
0¡a68,
&F]
. Donc, l’approximation num´erique de
,
( P I UWVYX "
0¡a68,
P
est ´egalement z´ero.
I.2 Etude de l’erreur
Afin d’´etudier l’erreur commise en approchant l’int´egrale par une formule de quadrature, commen- c¸ons par une exp´erience num´erique :
Prenons une fonction
!
#"
, d´efinie sur
%
, divisons l’intervalle en plusieurs sous-intervalles
´equidistants (G
&b ` I " V¦
) et appliquons une formule de quadrature du paragraphe pr´ecedent.
Ensuite, ´etudions l’erreur (en ´echelle logarithmique)
§¨©¨
&
ª
#"kI 4768,
9;:
( G o
p:
, p
!
9-N q p G "
(2.1) en fonction de fe (nombre d’´evaluations de la fonction ! #" ; on a fe &«¦
C g I U " N U
pour Newton-Cotes). Le nombre fe repr´esente une mesure pour le travail (proportionnel au temps de calcul sur un ordinateur). La fig. I.4 montre les r´esultats (pour
¦&bUW=XA
d
W¬MAU=A
e
XA
$$$
) obtenus par les formules de Newton-Cotes pour les deux int´egrales :
(/®W¯M°
#"
±³²
°^´Hµ
#""
et
0
(¶®=¯M°
#"$
10−12 10−9 10−6 10−3 100
101 102 10310−12 10−9 10−6 10−3 100
101 102 103
fe erreur
fe erreur
trap`eze (ordre
X
) Simpson (ordred ) Newton (ordred )
Boole (ordre )
g
&F
(ordre
) Weddle (ordre
¬
) FIG. I.4: L’erreur en fonction du travail fe pour les formules de Newton-Cotes En ´etudiant les r´esultats de la fig. I.4, nous constatons que :
· le nombre de chiffres exacts, donn´e par
IQ¸
¯ ,¹(
§¨º¨
"
, d´epend lin´eairement de
¸¯
,¹( fe
"
;
· la pente de chaque droite estI (o`u est l’ordre de la formule);
· pour un travail ´equivalent, les formules avec un ordre ´elev´e ont une meilleure pr´ecision.
Explication des r´esultats de la fig. I.4.
Etudions d’abord l’erreur faite sur un sous-intervalle de longueurG
»
`¼ ( G " &
½ EM¾
½
! #"I
G o
p?:
, p
! (
N q p G "
& G ,
(
ª (
NQP
G
"
P I o , p
! (
N q p G " $
(2.2)
En supposant suffisamment diff´erentiable, on peut remplacer ! ( N¿P G " et! ( N q p G " par les s´eries de Taylor (d´evelopp´ees autour de( ), et on obtient ainsi
» `¼ ( G " &
À
( G E ,
ÂÁ
,
( P P I o
p?:
, p q p
JÃ
Ä ("
& G E ,
Á U
N U I o
p?:
, p q p
JÃ
Ä (D"
NÅ
G E 0 "
(2.3)
(ici, on a bien suppos´e que la formule de quadrature ait l’ordre mais pas l’ordre N U ). La constante
F&
U
Á U
N U I o
p?:
, p q p (2.4)
s’appelle constante de l’erreur. Supposons queG soit petit de mani`ere `a ce que le termeÅ G
E 0 "
dans (2.3) soit n´egligeable par rapport au terme
G E , Ã Ä
(D"
, alors on obtient
§¨©¨
&
4768,
9;:
( »
`¼
9 G " S G
4768,
9;:
( G Ã Ä 9 " S G
Ã Ä #"
&1
G Ã
68,
Ä
r
"#I
Ã
68,
Ä
`
" $
Cette formule nous permet de mieux comprendre les r´esultats de la fig. I.4. Comme§¨©¨ S ,
C G
et fe S
0 V G , nous avons
¸¯
,¹(
§¨º¨
" S ¸¯
,¹(
r ,^"
N C ¸¯
,¹(
G " S ÇÆÈ
g P I C ¸¯
,¹( fe
";$
Ceci montre la d´ependance lin´eaire entre les quantit´es ¸¯ ,¹( §¨©¨ " et ¸¯ ,¹( fe" , et aussi le fait que la pente soit de
I .
Estimation rigoureuse de l’erreur.
Notre but suivant est de trouver une formule exacte de l’erreur d’une formule de quadrature. Une telle estimation nous permettra de d´emontrer des th´eor`emes de convergence et assurera une certaine pr´ecision du r´esultat num´erique.
Th´eor`eme 2.1 Consid´erons une formule de quadrature d’ordre et un entierÉ satisfaisantÉk_¶ . Si
Ê
(
(
N G
estÉ fois continˆument diff´erentiable, l’erreur (2.2) v´erifie
»
r¼ ( G " &
GË
E , ,
( ¦ Ë
iÌ " ÃË Ä (
N Ì G
" Ì
(2.5) o`u¦
Ë
iÌ "
, le noyau de Peano, est donn´e par
¦ Ë
jÌ " &
^U I Ì " Ë
É Á I o
p?:
, p
`q
p I Ì " Ë
68,
E
É I U " Á
o`u rÍ " Ë
68,
E
H&
rÍ " Ë 68,
si ÍÏÎ1] ,
]
si
Í _ ]
. D´emonstration. Nous introduisons la s´erie de Taylor avec reste1
!
(
NÐP
G " & Ë 68,
9;:
( P G " 9
Ñ Á ÒÃ
9 Ä (D"
N G Ë Ó
( P I Ì " Ë
68,
É I U " Á
JÃ
Ë Ä (
N Ì G
"
Ì
(2.6) dans la formule (2.2) pour» rÔ ( G " . En utilisant
Ó
( P I Ì " Ë
68,
R
jÌ " ÌÏ&
,
( P I Ì " Ë
68,
E R
iÌ " Ì
1voir le paragraphe III.7 du livre de E. Hairer & G. Wanner (1995), Analysis by Its History. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer.
et le fait que la partie polynomiale de (2.6) ne donne pas de contribution `a l’erreur (`a cause de
É ), nous obtenons
» `¼ ( G " &
GË
E , ,
( ,
( P I Ì " Ë
68,
E
É I U " Á P I o
p?:
, p
rq
p I Ì " Ë
68,
E
É I U " Á ÃË Ä
(
N Ì G
" Ì $
Une ´evaluation de l’int´egrale int´erieure donne le r´esultat.
Th´eor`eme 2.2 (Propri´et´es du noyau de Peano) Consid´erons une formule de quadrature d’ordre
et un nombreÉ satisfaisant
U
_ÉÕ_¶ . Alors, on a:
a) ¦kÖ
Ë
iÌ " & I ¦ Ë
68, iÌ "
pourÉÕ X (pourÌ¿&q p siÉ &1X );
b)
¦ Ë
U " &F]
pourÉ×
U
si
q p _ U
(
h.&ØUW $$W$ g );
c) ¦
Ë
`] " &¢]
pourÉÕ X siq p ] (h.&UW $W$$ g );
d)
,
( ¦
jÌ " ÌÊ&
Z
ÙAÚ
Z
ÙaÛ
Z I o
p:
, p q p
&
(constante de l’erreur (2.4));
e) ¦ , iÌ " est lin´eaire par morceaux, de pente I U et avec des sauts de hauteur p aux pointsq p
(
hT&UW
$$$
g ).
0 1
q , q 0 q q
, I 0
FIG. I.5: Le noyau de PeanoÜ
,
}¹Ý5 d’une formule de quadrature
Les noyaux de Peano pour la formule du point milieu sont
¦ , iÌ " & I Ì
si
Ì ) UWVºX
U I Ì
si
Ì
UWVYX
¦ 0 iÌ " & Ì 0
VYX
si
Ì _
UWVºX
^U I Ì " 0
VYX
si
Ì
UWVºX
(voir la fig. I.6). Pour la formule de Newton-Cotes (g &FÞ ), ils sont dessin´es dans la fig. I.7.
¦ , iÌ " ¦ 0 jÌ "
FIG. I.6: Noyaux de Peano pour la formule du point milieu
Grˆace au r´esultat du th´eor`eme pr´ec´edent, on peut facilement estimer l’erreur pour l’intervalle entier %ßWà. Pour une division arbitraire (´equidistante ou non;G 9 & 9;E ,8I 9 ), notons l’erreur par
§¨©¨
&
!
#"I 4768,
9;:
( G
9+o
p?:
, p
!
9ON
q pG 9
"$
(2.7)
¦ , iÌ
" ¦ 0
jÌ
" ¦
iÌ
"
¦
iÌ " ¦á jÌ "
¦ãâ iÌ "
FIG. I.7:Noyaux de Peano pour la formule de Newton-Cotes avecäaå ¥
Th´eor`eme 2.3 Soit Ð7% É fois continˆument diff´erentiable et soit l’ordre de la formule de quadrature ´egal `a (É ). Alors, l’erreur (2.7) admet l’estimation
æ
§¨º¨
æ
_çG
Ë C
r I " C ,
( æ¦ Ë
iÌ " æ Ì C!èÕé
±
ÂêºëWì
í
æ
JÃ
Ë Ä
#"
æ
(2.8) o`u G
&
èÕé
± 9 G 9
.
D´emonstration. La formule (2.5) donne
æ» `¼
( G " æ
_GË
E , ,
( æ¦ Ë
jÌ
" æ C æ ÃË Ä (
N Ì G " æ Ì
_G Ë E , ,
( æ¦ Ë
jÌ
" æ Ì C è×é
±
Âê©ë½ì½
EM¾
í æÒÃ
Ë Ä #"
æ$
Comme l’erreur (2.7) est la somme des erreurs sur les sous-intervalles de la division, on obtient
æ
§¨©¨
æ _ 4768,
9;:
( æ»
`¼ 9 G 9 " æ _
4a68,
9;:
(
GË E ,
9
_GË
C G 9 C ,
( æ¦ Ë
iÌ " æ Ì C è×é
±
Âêºë=<ì=<?>A@
í æ ÃË Ä
#" æ
_
è×é
±
Âê©ëì
í
æÒÃ
Ë Ä
#"
æ
ce qui montre l’assertion (2.8), car
4a68,
9:
( G 9
&F I
. Exemples. Pour la formule du point milieu, on a
æ
§¨©¨
æ
_G
0 C
r I " C Z
\ s Cîè×é
±
ÂêºëWì
í æ ÖÖ
#" æ%ï
pour la formule du trap`eze
æ
§¨©¨
æ
_G
0 C
r I " C Z
Z \ Cîè×é
±
ÂêºëWì
í æ ÖÖ
#"
æ%ï
pour la formule de Simpson
æ
§¨º¨
æ
_G
C
` I " C Z
\xf=fxw C!è×é
±
í
æ
JÃ
Ä
#"
æï
pour la formule de Newton-Cotes (g &1Þ )
æ
§¨©¨
æ
_G
â C
r I " C Z
Z v t y t
cxw C!è×é
±
Âê©ëì
í
æ
ÒÃ â Ä
#"
æ$
Le calcul de
,
( æ¦
iÌ " æ Ì
pour ces formules n’est pas difficile. Consid´erons par exemple la for- mule de Newton-Cotes (g
&«Þ
). On constate que
¦áâß iÌ
"
ne change pas de signe sur
%]AMU=
(voir fig. I.7) et on utilise la propri´et´e (d) du th´eor`eme 2.2. Ceci donne
,
( æ
¦áâ jÌ " æ ÌÏ&
,
(
¦áâA iÌ " Ì & Z
c Ú Zu I t \
v=w
Z
s â N Z \
vxw
Z
\ â N t \
vxw
ts â N u
v=w
U â & Z
Z v t y t
cxw
$
I.3 Formules d’un ordre sup´erieur
Aber Gauss hat in den G ¨ottinger Commentarien gezeigt, dass man durch schickliche Wahl der Abscissen, f¨ur welche die Ordinaten berechnet werden, den Grad der N¨aherung auf das Doppelte treiben kann ; ... Die grosse Einfachheit und Eleganz der Gaussischen Resultate, l¨asst einen einfachen Weg vermuten. (Jacobi 1826, Crelle J. 1, p. 302) Si l’on fixe les nœuds
q , $$$ q
o
(distincts), il existe une formule de quadrature
r
p
Wq
p"
unique, ayant un ordreðØg . On obtient les poids p soit par la r´esolution du syst`eme lin´eaire (1.6), soit par la formule de l’exercice 1.
Question. Y a-t-il un choix des
q p
permettant d’avoir un ordre sup´erieur?
Th´eor`eme 3.1 Soit
r
p
q
p " o
p?:
, une formule de quadrature d’ordrekçg et soit
ñ P " &
P I q ,^"
C
$W$$
C P I q o
"$
(3.1) Alors, l’ordre est g N
si et seulement si
,
( ñ P " R P
"
P
&F]
pour tout polynˆomeR P
"
de degr´e_
I U
. (3.2)
D´emonstration. Soit! P " un polyn ˆome de degr´e_g N I U . L’id´ee, due `a Jacobi (1826), est de diviser
!
P "
parñ P " et d’´ecrire
ª
P "
sous la forme
!
P " & ñ P " R P " N ¨ P "
o`u deg¨ _òg I
U
et degR1_
I U
. Alors, l’int´egrale exacte et l’approximation num´erique satisfont
,
(
!
P
"
P & ,
( ñ P " R P
"
P-N
,
( ¨ P
"
P
o
p?:
, p
ª rq
p " & o
p?:
, p ñ rq
p "
&1]
R
rq
p " N o
p:
, p¨
`q
p
";$
Comme la formule de quadrature est exacte pour¨ P " (l’ordre est òg par hypoth`ese), elle est exacte pour
!
P "
si et seulement si
,
( ñ P " R P
"
P
&F]
.
Exemple 3.2 Pour qu’une formule de quadrature `ag & e ´etages ait un ordre d , il faut que
]B&
,
( P I q
,"
P I q
0"
P I q
"
P & Z
s I
`q
, N q 0 N q " Z
t N
rq
, q 0 N q , q N q 0 q " Z
\ I q , q 0 q
ce qui est ´equivalent `a
q &
UWV
d I rq , N q 0" V e N q , q 0 VYX
U=V
e I rq , N q 0D" VYX
N q , q 0 $
Exemple 3.3 Continuons l’´etude de formules de quadrature `ag & e ´etages et essayons de d´eter- miner lesq , q 0 q pour que l’ordre soit &F . Par le th´eor`eme 3.1, il faut que
q , q 0 q I Z
\
`q , q 0 N q , q N q 0 q "
NØZ
t
rq , N q 0 N q " & Z
s
Z
\ q , q 0 q I Z
t
`q , q 0 N q , q N q 0 q "
NØZ
s
rq , N q 0 N q " & Z
y
Z
t q , q 0 q I Z
s
`q , q 0 N q , q N q 0 q " N Z
y
rq , N q 0 N q " & Z
c
(3.3)
Ce syst`eme est non lin´eaire en
q , q
0
q
et paraˆıt difficile `a r´esoudre. Par contre, il est lin´eaire en
Í , &1q , N q 0 N q ,
Í 0 &Fq , q 0 N q , q N q 0 q et
Í
&Fq , q 0 q , qui sont les coefficients du polyn ˆome
ñ P " & P I q ,"
P I q 0"
P I q " & P I Í , P 0 N Í 0 P I Í $
En r´esolvant le syst`eme (3.3) pour
Í , Í 0 Í
, on obtient
Í , & e
VYX
,
Í 0 & e
VYÞ
et
Í
&ØUWVYXY]
, et donc
ñ P " & P I t\ P 0 N ty P I Z
\xw
& P I Z
\ P I
yîó
ô Z y
Z w P I y Û ô Z y
Z w $
Par chance, le polyn ˆomeñ P " ne poss`ede que des racines r´eelles. Elles sont toutes dans l’intervalle
`]MAU "
, ce que nous convient. Avec les poids
p
, obtenues par le syst`eme lin´eaire (1.6), nous avons donc trouv´e une formule de quadrature d’ordre &1 avec seulementg & e ´etages:
,
( R P
"
PKS
y
Z f R
yîó
ô Z y
Z w N f
Z f R Z
\ N y
Z f R y Û ô Z y
Z w $
Th´eor`eme 3.4 Si est l’ordre d’une formule de quadrature `ag ´etages, alors
õ_
X g $
(3.4) D´emonstration. Supposons, par l’absurde, que l’ordre satisfasseK
X g N U
. Alors, l’int´egrale dans (3.2) est nulle pour tout polyn ˆomeR P
"
de degr´e _g . Ceci contredit le fait que
,
( ñ P " ñ P
"
P & ,
( P I q ,"
0 C
$$$
C P I q o " 0 P
Î1] $
I.4 Polynˆomes orthogonaux de Legendre
Pour construire une formule de quadrature d’ordre
X g avec g
& d
WÞA $$W$
, on peut en principe faire le mˆeme calcul que dans l’exemple 3.3. Toutefois, l’approche avec les polyn ˆomes de Legendre simplifie les calculs, fournit des formules simples pourñ P " et donne beaucoup de comprehension pour les formules de quadrature d’un ordre optimal.
