Chapitre I - Mesure & Int´ egration
1 (rappels sur) L’int´egrale de Riemann (1826-1866)
2 Th´eorie de la mesure
3 Th´eorie de l’int´egrale de Lebesgue (1875-1941)
4 Th´eor`eme de convergence domin´ee et cons´equences
5 Exemples importants de la th´eorie de l’int´egrale de Lebesgue
6 Les int´egrales impropres
7 Mesure produit et th´eor`eme de Fubini
8 Diff´eomorphisme et changement de variables
1. (rappels sur) L’int´ egrale de Riemann (1826-1866)
1 D´efinition, propri´et´es
2 Int´egration et d´erivation, TFA, calcul par primitives
3 N´ecessit´e d’une th´eorie plus puissante contexte
f : (a, b)−→R
intervalle(a, b)born´e : −∞< a < b <+∞
fonction f born´ee :|f| ≤M
1. D´ efinition de l’int´ egrale de Riemann
sch´ema de construction - d´efinitions
1 int´egrale des fonctions en escalierI(ϕ) =P
ϕ(ti)|xi+1−xi|
2 int´egrale inf´erieure I−(f), int´egrale sup´erieure I+(f)
−M|b−a| ≤ I−(f) = sup
ϕ≤f
I(ϕ) ≤ I+(f) = inf
f≤ϕI(ϕ) ≤M|b−a|
3 int´egrale de Riemann : f ∈ R(a, b)⇐⇒I−(f) =I+(f) et Z b
a
f(t)dt=I−(f) =I+(f)
Exemple de Dirichlet : pour f =1[0,1]∩Q, on a I−(f) = 0 etI+(f) = 1.
Continuit´ e et Riemann-int´ egrabilit´ e
Th´eor`eme
f ∈ C0([a, b]) =⇒f ∈ R(a, b)
1 La continuit´e sur l’intervalle ouvert ne suffit pas !
1
x ∈ C0(]0,1[)et 1x 6∈ R(0,1)
2 La continuit´e sur l’intervalle ferm´e n’est pas n´ecessaire ! 1[0,1
2]6∈ C0(]0,1])et 1[0,1
2]∈ R(0,1) Th´eor`eme (Lebesgue ?)
Pour toute f born´eesur (a, b), on a
f ∈ R(a, b)⇐⇒f est continue presque partout sur]a, b[
Inaccessible `a ce stade ...
Propri´ et´ es de l’int´ egrale de Riemann (1)
Hypoth`ese
f etg∈ R(a, b),λ∈R (i) Chasles : ∀c∈[a, b],
f ∈ R(a, c)∩ R(c, b) et Z b
a
f(x)dx= Z c
a
f(x)dx+ Z b
c
f(x)dx (ii) Lin´earit´e
f+g∈ R(a, b) et Z b
a
[f +g](x)dx= Z b
a
f(x)dx+ Z b
a
g(x)dx λf ∈ R(a, b) et
Z b
a
[λf](x)dx=λ Z b
a
f(x)dx
Propri´ et´ es de l’int´ egrale de Riemann (2)
(iii) monotonie
f ≤g=⇒ Z b
a
f(x)dx≤ Z b
a
g(x)dx (iv) majoration
Z b a
f(x)dx
≤ Z b
a
|f(x)|dx≤ |f|∞(b−a)
D´emonstration.
En exercice : utiliser la d´efinition.
2. Int´ egration et d´ erivation
Th´eor`eme (des primitives)
Soit f ∈ R(a, b). Pour tout x∈[a, b], on pose F(x) =
Z x a
f(t)dt.
1 F ∈ C0([a, b]);
2 si, de plus, f est continue enx0∈[a, b], alors F0(x0) =f(x0). En particulier, sif ∈ R(a, b)∩ C0(]a, b[), alors F est sa primitive qui s’annule en a.
D´emonstration.
A r´ediger.
Th´ eor` eme Fondamental de l’Analyse
Th´eor`eme (TFA)
Pour tout f : [a, b]−→R,C0([a, b]), d´erivable sur ]a, b[telle que f0 ∈ R(a, b), on a :
f(b)−f(a) = Z b
a
f0(t)dt
D´emonstration.
A r´ediger.
(contre-) Exemples :
1 √
x sur[0,1];
2 1]0,1] sur [0,1].
Calcul des int´ egrales de Riemann par primitives (1)
Th´eor`eme (TFA bis)
Soit f ∈ R(a, b). S’il existe F ∈ C0([a, b]), d´erivable sur ]a, b[et telle que
∀x∈]a, b[, F0(x) =f(x), alors on a : Z b
a
f(x)dx= [F(x)]ba d´=ef F(b)−F(a)
D´emonstration.
F v´erifie les hypoth`eses du TFA.
Calcul des int´ egrales de Riemann par primitives (2)
Th´eor`eme (int´egration par parties)
Soient f et g∈ C0([a, b]), d´erivables sur]a, b[, telles que f0 et g0 ∈ R(a, b).
Alors on a :
Z b a
f(x)g0(x)dx= [f(x)g(x)]ba− Z b
a
f0(x)g(x)dx
D´emonstration.
f g v´erifie les hypoth`eses du TFA.
Calculer :
1
Z 2 1
ln(x)dx;
2 In= Z 1
0
xnexdx.
Calcul des int´ egrales de Riemann par primitives (3)
Th´eor`eme (changement de variable)
Soit f ∈ R(a, b)∩ C0(]a, b[). S’il existeg: [α, β]−→[a, b]continue sur [α, β], d´erivable sur]α, β[, telle queg0∈ R(α, β),g(α) =aet g(β) =b, alors on a :
Z b a
f(x)dx= Z β
α
f(g(t))g0(t)dt
D´emonstration.
Une double utilisation du TFA.
Compl´eter :
Z 1 0
p1−x2dx= ... = π 4
3. N´ ecessit´ e d’une th´ eorie plus puissante
1 fonction born´ee ? ?
Z 1 0
ln(x)dx=−1
2 intervalle born´e ? ?
Z ∞ 0
1
1 +x2dx= π 2
3 ´echange limite et int´egrale :
n→∞lim Z b
a
fn(x)dx= Z b
a
n→∞lim fn(x)dx ???
4 int´egrer les variables al´eatoires X: Ω−→R ? ?
La fonction de Dirichlet est limite de limite de fonctions continues
n→+∞lim lim
k→+∞|cos(πn!x)|k =
1 si x∈Q 0 si x6∈Q (exercice)
