UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2`emeann´ee Licence Eco-Gestion
Semestre 1 2013/2014
´Episode I : Int´egration bonus
E
XERCICE1
Justifier l’existence des int´egrales suivantes puis les calculer : I1=
1
Z
−1
(t+ 1)(t+ 2)2dt, I2=
4
Z
0
√x x−2√ x
dx, I3=
2
Z
1
3udu, I4=
4
Z
1
1 y√
ydy,
I5=
1
Z
0
(2z−1) exp(z2−z)dz, I6=
2
Z
1
a2
√1 +a3da, I7=
2
Z
1
2√ c 2 + 3c3/2dc,
I8=
e
Z
1
(lnb)5
b db, I9=
(ln 2)/2
Z
0
e2t
e2t+ 2dt, I10=
e3
Z
e
ln(3γ)
γ dγ, I11=
2
Z
0
β4exp(−β5)dβ,
I12=
3/2
Z
1/2
1−α
(α2−2α)4dα, I13=
2
Z
0
x2(x3+ 1)3/2dx, I14=
1
Z
0
s2004
(1 +s2005)2005ds,
I15=
4
Z
1
e−
√ζ
√ζ dζ, I16=
4
Z
−4
eu−e−u
eu+e−udu, I17=
√3
Z
1
exp(−3/v2)
v3 dv, I18=
1
Z
0
y4 p3
1 + 7y5dy
E
XERCICE2
Calculer les int´egrales suivantes `a l’aide d’une ou de plusieurs int´egrations par parties : A=
1
Z
−1
xe3xdx, B=
1
Z
0
(t2+t)e2tdt, Cn=
e
Z
1
unln(u)du, D=
e
Z
√e
ln(v) v dv,
E=
4
Z
1
√
3slns ds, F =
1
Z
0
ln(1 + 2t)
(1 + 2t)3dt, G=
e2
Z
1
(2x3+ 1) ln(x)dx, H=
1
Z
0
y4eydy,
I=
e
Z
1
z2(lnz)3dz, J =
1
Z
0
(3x+ 1)3ln(3x+ 1)dx, K=
e
Z
1
lny dy,
L=
2
Z
1
ln
1 + 1 t
dt, M =
2
Z
1
(1 + 2s) ln
1 + 1 s
ds, N =
1/2
Z
0
(1−2x)
r1 +x 1−xdx
E
XERCICE3
Soita∈R×+.Calculer l’int´egraleI(a) =
1/a
Z
a
lnx x dx
a) par int´egration par partie b) en posant le changement de variablex= 1/t.
E
XERCICE4
A l’aide de changement de variables indiqu´es, calculer les int´egrales suivantes : A=
1
Z
0
w√
3w+ 1dw (z= 3w+ 1), B=
e
Z
1
lnt
t dt (x= lnt), C=
1
Z
0
dx
ex+ 1 (v=ex), PourEetC,utiliser:1/[α(α−1)] = 1/(α−1)−1/αet1/[α(α+ 1)] = 1/α−1/(α+ 1) D=
1
Z
1/2
1 x(x+ 1)ln
x x+ 1
dx (t= x
x+ 1), E=
2
Z
1
ds
s(s3+ 1) (α=s3+ 1),
F =
0
Z
−1
u3du (u2+ 1)√
u2+ 1 (v=u2+ 1), G=
3
Z
0
t.ln(t2+ 1)
t2+ 1 dt (x=t2+ 1)