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´Episode I : Int´egration bonus

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2`emeann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 1 2013/2014

´Episode I : Int´egration bonus

E

XERCICE

1

Justifier l’existence des int´egrales suivantes puis les calculer : I1=

1

Z

−1

(t+ 1)(t+ 2)2dt, I2=

4

Z

0

√x x−2√ x

dx, I3=

2

Z

1

3udu, I4=

4

Z

1

1 y√

ydy,

I5=

1

Z

0

(2z−1) exp(z2−z)dz, I6=

2

Z

1

a2

√1 +a3da, I7=

2

Z

1

2√ c 2 + 3c3/2dc,

I8=

e

Z

1

(lnb)5

b db, I9=

(ln 2)/2

Z

0

e2t

e2t+ 2dt, I10=

e3

Z

e

ln(3γ)

γ dγ, I11=

2

Z

0

β4exp(−β5)dβ,

I12=

3/2

Z

1/2

1−α

2−2α)4dα, I13=

2

Z

0

x2(x3+ 1)3/2dx, I14=

1

Z

0

s2004

(1 +s2005)2005ds,

I15=

4

Z

1

e

ζ

√ζ dζ, I16=

4

Z

−4

eu−e−u

eu+e−udu, I17=

3

Z

1

exp(−3/v2)

v3 dv, I18=

1

Z

0

y4 p3

1 + 7y5dy

E

XERCICE

2

Calculer les int´egrales suivantes `a l’aide d’une ou de plusieurs int´egrations par parties : A=

1

Z

−1

xe3xdx, B=

1

Z

0

(t2+t)e2tdt, Cn=

e

Z

1

unln(u)du, D=

e

Z

e

ln(v) v dv,

E=

4

Z

1

3slns ds, F =

1

Z

0

ln(1 + 2t)

(1 + 2t)3dt, G=

e2

Z

1

(2x3+ 1) ln(x)dx, H=

1

Z

0

y4eydy,

I=

e

Z

1

z2(lnz)3dz, J =

1

Z

0

(3x+ 1)3ln(3x+ 1)dx, K=

e

Z

1

lny dy,

L=

2

Z

1

ln

1 + 1 t

dt, M =

2

Z

1

(1 + 2s) ln

1 + 1 s

ds, N =

1/2

Z

0

(1−2x)

r1 +x 1−xdx

E

XERCICE

3

Soita∈R×+.Calculer l’int´egraleI(a) =

1/a

Z

a

lnx x dx

a) par int´egration par partie b) en posant le changement de variablex= 1/t.

(2)

E

XERCICE

4

A l’aide de changement de variables indiqu´es, calculer les int´egrales suivantes : A=

1

Z

0

w√

3w+ 1dw (z= 3w+ 1), B=

e

Z

1

lnt

t dt (x= lnt), C=

1

Z

0

dx

ex+ 1 (v=ex), PourEetC,utiliser:1/[α(α−1)] = 1/(α−1)−1/αet1/[α(α+ 1)] = 1/α−1/(α+ 1) D=

1

Z

1/2

1 x(x+ 1)ln

x x+ 1

dx (t= x

x+ 1), E=

2

Z

1

ds

s(s3+ 1) (α=s3+ 1),

F =

0

Z

−1

u3du (u2+ 1)√

u2+ 1 (v=u2+ 1), G=

3

Z

0

t.ln(t2+ 1)

t2+ 1 dt (x=t2+ 1)

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