Int´egration et probabilit´es

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — Tribus, mesures

1 – Petites questions

) E-ce que l’ensemble des ouverts deReune tribu ?

) Si on noteλla mesure de Lebesgue, rappeler pourquoiλ({x}) =pour toutx∈R. Alors :

λ(R) =λ







 [

x∈R

{x}









=X

x∈R

λ({x}) =X

x∈R

=. O `u ele probl`eme ?

) SiF etGsont deux tribus, e-ce queF ∪ Getoujours une tribu ?

) Si (a_n)_n≥et (b_n)_n≥sont deux suites de nombres r´eels, a-t-on toujours lim sup

n→∞

(a_n+b_n) = lim sup

n→∞

a_n+ lim sup

n→∞

b_n? Et si les deux suites sont born´ees ? Et sib_nconverge ?

2 – Mesures

E

^{xercice 1.} (Lemme de Borel-Cantelli) (E,A, µ) eun espace mesur´e (µeune mesure positive) et que (A_n)_n≥eune suite d’´el´ements deA. On rappelle que l’on note

lim inf

n→∞ A_n=[

n≥

\

k≥n

A_k, lim sup

n→∞

A_n=\

n≥

[

k≥n

A_k.

. Montrer que

µ

lim inf

n→∞ A_n

≤lim inf

n→∞ µ(A_n), et que siµ(∪_n≥A_n)<∞, alors

µ lim sup

n→∞

A_n

!

≥lim sup

n→∞

µ(A_n). Qu’e-ce qui se passe siµ(∪_n≥A_n) =∞?

. (Lemme de Borel-Cantelli.)On suppose queP

n≥µ(A_n)<∞. Montrer que µ lim sup

n→∞ A_n

!

=.

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



. (Une application du lemme de Borel-Cantelli.)Soitε >. Montrer que pour presque-toutx∈[,] (pour la mesure de Lebesgue), il n’exie qu’un nombre fini de rationnelsp/qavecpetqpremiers entre eux tels que

x−p q

<  q^+ε,

i.e.presque toutxe“mal approchable par des rationnels `a l’ordre+ε”.

E

^{xercice 2.} (Mesure surZ) Exie-t-il une mesure de masse finie sur (Z,P(Z)) invariante par translation ?

3 – Tribus

E

^{xercice 3.} (Op´erations sur les tribus)

. SoitF une tribu deΩetBun ´el´ement deF. Montrer que l’ensembleF_B:={A∩B, A∈ F }eune tribu deB.

. Soit (X×Y ,F) un espace-produit mesur´e etπ:X×Y −→Xla projeion canonique. L’ensemble F_X:={π(F), F∈ F }e-il une tribu ?

. On consid`ere surN, pour chaque n≥, la tribu F_n=σ({},{}, . . . ,{n}). Montrer que la suite de tribus (F_n, n≥) ecroissante mais queS

n≥F_nn’epas une tribu.

Indication :On pourra raisonner par l’absurde et utiliser le sous-ensembleN.

. (Partiel) Soit (E,A) un espace mesurable. SoitCune famille de parties deE, et soitB∈σ(C).

Alexandra dit : alors n´ecessairement, il exie une famille d´enombrableD ⊂ Ctelle queB∈σ(D).

A-t-elle raison ?

. SoientX, Y deux ensembles et f :X →Y une application. Soit A ⊂ P(Y). Alexandra dit : alors n´ecessairement,σ(f^−(A)) =f^−(σ(A)). A-t-elle raison ?

E

^{xercice 4.} Prouver queB(R^) =B(R)⊗ B(R).

4 – Divers

E

^{xercice 5.}

. Montrer que pour tout >, il exieOun ouvert dense deRde mesure (de Lebesgue) λ(O)≤.

. En d´eduire que pour tout >, il exieF un ferm´e d’int´erieur vide tel que pour toutA∈ B(R) : λ(A∩F)≥λ(A)−.

E

^{xercice 6.} (Ensembles de Cantor)

Soit (d_n, n≥ ) une suite d’´el´ements de ],[, et soit K_ = [,]. On d´efinit une suite (Kn, n≥) de la fac¸on suivante : connaissant K_n, qui eune r´eunion d’intervalles ferm´es disjoints, on d´efinitK_n+ en retirant dans chacun des intervalles deK_nun intervalle ouvert centr´e au centre de chaque intervalle, de longueurd_nfois celle de l’intervalle. On poseK=T

n≥K_n.



. Montrer queK eun companon d´enombrable d’int´erieur vide dont tous les points sont d’ac- cumulation.

. Calculer la mesure de Lebesgue deK.

. On noteK_l’ensemble de Cantor obtenu en posantd_n=^_pour toutn. V´erifier que

K_=









 X

n≥

a_n

ⁿ ; (a_n)∈ {,}^N











et qu’il emesure de Lebesgue nulle.

E

^{xercice 7. Soit (Ω,A}) un espace mesurable tel que{ω} ∈ Apour toutω∈Ω. Soitµune mesure positive surA. On dit queµeport´ee parS∈ Asiµ(S^c) =, queω∈Ωeun atome ponuel pourµsiµ({ω}),, queµediffuse si elle n’a pas d’atomes ponuels, que µepurement atomique si elle eport´ee par l’ensemble de ses atomes ponuels.

. Donner des exemples de mesures diffuses et de mesures purement atomiques.

. Que peut-on dire d’une mesure qui ediffuse et purement atomique ?

. Soit µ une mesure positive sur A. Montrer qu’il exie une mesure diffuse µ_d et une mesure purement atomiqueµ_asurAtelles queµ=µ_d+µ_a.

. Montrer que l’ensemble des atomes ponuels d’une mesureσ-finieµed´enombrable.

5 – ` A chercher pour la prochaine fois

E

^{xercice 8. Soit (Ω,F}, µ) un espace mesur´e tel queµ(Ω) =. Soient A,B ⊂ P(Ω) deux sous-ensembles deP(Ω) conitu´e d’ensembles mesurables. On suppose queAetBsontables par interseions finies et que pour tousA∈ A, B∈ B:

µ(A∩B) =µ(A)·µ(B). Montrer que pour tousU ∈σ(A) etV ∈σ(B) on a :

µ(U∩V) =µ(U)·µ(V).

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 9.} (“Cardinal” d’une tribu) Le but de l’exercice ede montrer qu’il n’exie pas de tribu A infinie d´enombrable. Soit (E,A) un espace mesurable. On d´efinit, pour toutx∈E, l’atome de la tribuA engendr´e parxpar,

˙

x= \

{A∈A:x∈A}

A.

. Montrer que les atomes deAforment une partition deE.

. Montrer que siAeau plus d´enombrable alorsAcontient ses atomes et que chaque ´el´ement de As’´ecrit comme une r´eunion au plus d´enombrable d’atomes.

. Conclure.

. Donner une nouvelle d´emonration de queionde l’exercice.



E

xercice 10. (Support) Soitµune mesure bor´elienne surRⁿ(ou plus g´en´eralement sur un espace m´etrique s´eparable localement compa). On pose

S:={x∈Rⁿ, µ(B(x, r))>, pour toutr >}.

Montrer queS eferm´e, queµ(Rⁿ\S) =, et queµ(S\F) =µ(Rⁿ\F)>pour tout ferm´eF riement contenu dansS. (On appelleS le support de la mesureµ.)

E

xercice 11. (? – Mesure atomique) Soit (X,F, µ) un espace mesur´e. Un ensemble A∈ F eun atome pourµ si< µ(A)<∞ et pour toutB⊂Amesurable,µ(B) =ouµ(B) =µ(A). Soit (X,F, µ) un espace mesur´e avecµ(X) =et tel queµn’ait pas d’atomes. Montrer que l’image deµe[,] (c’e-`a-dire que pour toutt∈[,], il exieA∈ F tel queµ(A) =t).

E

xercice 12. (Un probl`eme d’additivit´e)

On notel^∞={a= (a_n)_n∈N∈R^N,||a||_∞:= sup_n∈Na_n<∞}, l’ensemble des suites r´eelles born´ees.

. Montrer que (l^∞,||.||_∞) eun espace veoriel norm´e complet.

On admet (th´eor`eme de Hahn-Banach) qu’il exie une forme lin´eaireF :l^∞ −→R continue qui satisfait les deux propri´et´es suivantes : Soita= (a_n)_n∈N∈l^∞

— F(a)≤ ||a||_∞,

— Si lim_n→∞a_n=αexie alorsF(a) =α.

. SoitA⊂NetA∈l^∞d´efinie par

( A(n) =, sin∈A,

sinon . Si P(A) =F(A), montrer que

— P(∅) =,P(N) =,

— P(A^c) =−P(A),

— P(A∪B) = P(A) + P(B) siA∩B=∅.

. Montrer que P n’epas une mesure.

E

xercice 13. (?) E-ce queB(X×Y) =B(X)⊗ B(Y) pour tous espaces m´etriquesX, Y ?

Fin

