Exercice 1. On d´ efinit T 0 = {A ⊂ R , A ou son compl´ ementaire est au plus d´ enombrable}.

Universit´ e de Bordeaux L3 S5, MA5012

Devoir Maison 1, ` a rendre semaine 41

Exercice 1. On d´ efinit T ₀ = {A ⊂ R , A ou son compl´ ementaire est au plus d´ enombrable}.

(1) Montrer que T ₀ est une tribu sur R .

∅ ∈ T ₀ et T ₀ est stable pour le compl´ ementaire en remarquant que (A ^c ) ^c = A.

Pour (A i ) i∈I famille au plus d´ enombrable d’´ el´ ements de T ₀ (c’est-` a-dire l’ensemble I des indices est au plus d´ enombrable) nous avons

Premier cas : pour tout i ∈ I , A _i est au plus d´ enombrable et on sait qu’une union au plus d´ enombrable d’ensembles au plus d´ enombrable est au plus d´ enombrable ; S

i∈I

A _i ∈ T ₀ . Deuxi` eme cas : il existe i 0 ∈ I tel que A ^c _i

est au plus d´ enombrable, alors en remarquant que

[

i∈I

A i

! c

⊂ A ^c _i

nous avons que

S

i∈I

A _i c

est au plus d´ enombrable et S

i∈I

A _i ∈ T ₀ .

(2) On note T ₁ la tribu engendr´ ee par la famille {{x, x + 1, x + 2}, x ∈ R } et T ₂ la tribu engendr´ ee par la famille des parties finies de R. Montrer que T ₀ = T ₁ = T ₂ .

La famille {{x, x + 1, x + 2}, x ∈ R } est incluse dans la famille des parties finies de R qui elle mˆ eme est incluse dans T ₀ . Par d´ efinition d’une tribu engendr´ ee par une famille (plus petite tribu au sens de l’inclusion contenant cette famille) nous avons donc

T ₁ ⊂ T ₂ ⊂ T ₀ .

Pour montrer que T ₀ ⊂ T ₁ on remarque que

∀a ∈ R {a} = {a − 2, a − 1, a} ∩ {a, a + 1, a + 2}

les singletons sont dans T ₁ . Si l’on prend maintenant A un ´ el´ ement arbitraire de T ₀ alors Premier cas : A est au plus d´ enombrable et A = S

a∈A

{a} ∈ T ₁ Deuxi` eme cas : A ^c est au plus d´ enombrable et A ^c = S

a∈A

{a} ∈ T ₁ donc A ∈ T ₁ car T ₁ est une tribu.

Conclusion T ₀ ⊂ T ₁ et on a l’´ egalit´ e des trois tribus.

(3) Cette tribu coincide-t-elle avec la tribu bor´ elienne ?

Non, [0, 1] est dans la tribu des bor´ eliens mais ni [0, 1], ni R \ [0, 1] n’est au plus d´ enombrable.

Exercice 2. On consid` ere une suite (a n ) n≥1 avec a n > 0 pour tout n. On pose pour tout x ≥ 0,

f n (x) =

n

X

k=1

e ^−a

^x .

(1) Montrer que pour tout n, f _n est une fonction Lebesgue int´ egrable sur [0, +∞[.

f _n est une fonction continue, donc mesurable sur [0, +∞[. De plus elle est positive donc la

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Lebesgue int´ egrabilit´ e de f _n ´ equivaut ` a la convergence de l’int´ egrale de Riemann g´ en´ eralis´ ee R +∞

0 f n (x) dx.

∀X > 0 Z _X

0

f n (x) dx =

" _n X

k=1

− 1 a _k e ^−a

^x

# X

0

. Pour tout entier k, a k > 0 donc lim

X→+∞ e ^−a

^X = 0 et l’int´ egrale de Riemann g´ en´ eralis´ ee de f _n converge. On a de plus que

Z

[0,+∞[

f n (x) dx = Z +∞

0

f n (x) dx =

n

X

k=1

1 a _k .

(2) Montrer que la suite (f _n ) converge simplement vers une fonction mesurable f (les en- sembles de d´ epart et d’arriv´ ee sont munis de leurs tribus bor´ eliennes).

La suite (f _n ) est une suite croissante de fonctions mesurables, elle converge simplement vers une fonction f ` a valeurs dans [0, +∞] grˆ ace ` a la croissance de la suite. Cette fonction f est mesurable de ([0, +∞[, B([0, +∞[)) dans ([0, +∞], B([0, +∞])) comme limite de fonctions mesurables.

(3) Montrer que f est Lebesgue int´ egrable sur [0, +∞[ si et seulement si P

k≥1 1 a

< ∞.

Par convergence monotone (th´ eor` eme de Beppo Levi) f est Lebesgue int´ egrable sur [0, +∞[

si et seulement si la suite de r´ eels R +∞

0 f n (x) dx

n admet une limite finie, soit avec la question 1 si et seulement si

n→+∞ lim

n

X

k=1

1 a _k ∈ R .

Exercice 3. Soit Ω un ensemble muni d’une tribu T et d’une mesure positive non nulle µ. Soit f : Ω→ R une fonction mesurable (pour les tribus T et B( R )). Montrer que pour > 0 donn´ e, il existe A ∈ T tel que µ(A) > 0 et

|f (x) − f (y)| < pour tout x, y ∈ A.

Indication : Consid´ erer les ensembles A _r = f ⁻¹ (]r − /2, r + /2[) et montrer que Ω = ∪ _{r∈ Q} A _r . Pour ε > 0 fix´ e et par densit´ e de Q dans R , R = S

r∈ Q

]r − ε/2, r + ε/2[. D’o` u

Ω = f ⁻¹ (R) = f ⁻¹



 [

r∈ Q

]r − ε/2, r + ε/2[



 = [

r∈ Q

f ⁻¹ (]r − ε/2, r + ε/2[) = [

r∈ Q

A r .

Pour tout rationnel r, A _r ∈ T car ]r − /2, r + /2[ est ouvert donc dans B( R ) et f est mesurable pour les tribus T et B( R ).

Puisque Q est d´ enombrable, avec la σ-additivit´ e de la mesure on a, 0 < µ(Ω) ≤ P

r∈ Q µ(A r ). On en d´ eduit qu’il existe r ∈ Q tel que µ(A _r ) > 0 et par d´ efinition de A _r

∀(x, y) ∈ A ² _r |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − r| + |r − f(y)| < ε d’o` u le r´ esultat.

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Exercice 4. Structure bor´ elienne des points de continuit´ e d’une fonction.

Soit (X, d) un espace m´ etrique et f : X→ R une application quelconque. On note B(x, r) = {y ∈ X|d(x, y) < r} et on d´ efinit l’oscillation de f en x, not´ ee ω(x), par

ω(x) = inf{ω(x, δ) ; δ > 0} avec ω(x, δ) = sup{|f (t) − f(s)| ; s, t ∈ B (x, δ)}.

i. Montrer que f est continue en x si et seulement si ω(x) = 0.

Rappelons la d´ efinition de la continuit´ e de f au point x

∀ε > 0 ∃δ _ε > 0 : (y ∈ B(x, δ _ε ) ⇒ |f (y) − f (x)| < ε)

On en d´ eduit que si f est continue en x alors

∀(s, t) ∈ B(x, δ ε ) ² |f (t) − f (s)| ≤ [f (t) − f (x)| + |f (x) − f (s)| < 2ε.

En reprenant les notations de la question on a

∀ε > 0 ∃δ _ε > 0 : ω(x, δ _ε ) ≤ 2ε On en d´ eduit que 0 ≤ ω(x) ≤ 2ε pour tout ε > 0 et donc ω(x) = 0.

R´ eciproquement si ω(x) = 0 alors par d´ efinition de la borne inf´ erieure

∀ε > 0 ∃δ _ε > 0 : ω(x, δ _ε ) < ε

ce qui entraine la continuit´ e de f en x (prendre par exemple s = x dans la d´ efinition de ω(x, δ)).

ii. Montrer que pour tout > 0, A = {x ∈ X ; ω(x) < } est un ouvert.

Soit x ∈ A alors toujours avec la d´ efinition de la borne inf´ erieure

∃δ > 0 : ω(x, δ) < ε.

Pour tout y ∈ B(x, δ/2), B(y, δ/2) ⊂ B (x, δ) et en utilisant que pour deux ensembles A et B si A ⊂ B alors sup A ≤ sup B on a que

B(y, δ/2) ⊂ B(x, δ) ⇒ ω(y, δ/2) ≤ ω(x, δ) < ε

soit y ∈ A pour tout y de B(x, δ/2). On vient de montrer que pour tout x de A il existe δ > 0 tel que B (x, δ/2) ⊂ A ; A est ouvert.

iii. En d´ eduire que l’ensemble des points de continuit´ e de f est un G δ (c’est-` a-dire une inter- section d´ enombrable d’ouverts). En particulier c’est un bor´ elien.

Si l’on note C l’ensemble des points de continuit´ e de f alors C = {x ∈ X ; ω(x) = 0} = \

n∈ N

{x ∈ X ; ω(x) < 1/n} = \

n∈ N

A _1/n .

Avec la question pr´ ec´ edente A _1/n est un ouvert pour tout n ∈ N ^∗ et on a le r´ esultat attendu puisque les ouverts et toutes intersections d´ enombrables d’ouverts sont des bor´ eliens.

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