MP 2017/2018 Programme de colles 2
Semaine du 25 septembre 2017 R´evision : Tout le chapitre sur les s´eries.
Familles sommables de nombres complexes
1. Ensembles d´enombrables
Un ensemble est dit d´enombrable s’il est en bijection avec N. Les parties infinies de N sont d´enombrables.
Un ensemble est fini ou d´enombrable si et seulement s’il est en bijection avec une partie deN. Un produit cart´esien fini d’ensembles d´enombrables est d´enombrable. Une r´eunion finie ou d´enombrable d’ensembles finis ou d´enombrables est finie ou d´enombrable. (D´emonstrations non exigibles.)
Les ensemblesN2,Z etQsont d´enombrables(*).
L’ensemble Rn’est pas d´enombrable. ( la d´emonstration a ´et´e faite par proc´ed´e diagonal mais n’est pas exigible.)
2. Familles sommables
I est au plus d´enombrable. La famille (ui)i∈I de r´eels positifs est dite sommable si l’ensemble des sommes X
i∈F
ui o`u F d´ecrit l’ensemble des parties finies de I est major´e ; dans ce cas, la somme de la famille (ui)i∈I est la borne sup´erieure de l’ensemble pr´ec´edent. Si la famille (ui)i∈I
n’est pas sommable, sa somme est +∞. Dans tous les cas, la somme est not´eeX
i∈I
ui.
Th´eor`eme de sommation par paquets :( D´emonstration hors programme).
siI est la r´eunion d’ ensembles deux `a deux disjoints In et (ui)i∈I une famille de r´eels positifs, alors la famille (ui)i∈I est sommable si et seulement si :
— Pour tout entiernla famille (ui)i∈In est sommable.
— La s´erie X X
i∈In
ui
converge.
Dans ce cas :
X
i∈I
ui=
+∞
X
n=0
X
i∈In
ui
.
Famille sommable de nombres complexes index´ee par un ensemble d´enombrable Par d´efinition, la famille (ui)i∈I est sommable si la famille (|ui|)i∈I l’est.
Somme d’une telle famille.
La famille (un)n∈Nest sommable si et seulement si la s´erie X
un est absolument convergente.
Invariance de la sommabilit´e et de la valeur de la somme par permutation de l’ensemble des indices.
1
2
Lin´earit´e de la somme.
Th´eor`eme de sommation par paquets. Soit I est la r´eunion d’ ensembles deux `a deux disjoints In et (ui)i∈I une famille de complexes sommable. Alors
— Pour tout entiernla famille (ui)i∈In est sommable.
— La s´erie X
X
i∈In
ui
converge absolument.
Dans ce cas :
X
i∈I
ui=
+∞
X
n=0
X
i∈In
ui
.
( D´emonstration hors programme).
3. Applications des familles sommables
La famille (am,n)(m,n)∈N2 de r´eels positifs est sommable si et seulement si pour tout n, la s´erie Pam,n converge et la s´erie X
+∞
X
m=0
am,n
converge. Si tel est le cas
+∞
X
n=0
+∞
X
m=0
am,n
=
+∞
X
m=0
+∞
X
n=0
am,n
.
Si la famille (am,n)(m,n)∈N2 de nombres complexes est sommable, alors :
+∞
X
n=0 +∞
X
m=0
am,n=
+∞
X
m=0 +∞
X
n=0
am,n.
Produit de Cauchy de deux s´eries absolument convergentes. (*) Le produit de Cauchy de deux s´eries convergentes peut ˆetre divergent : exemple.(*)
L’exponentielle complexe ´etant d´efinie comme exp(z) =Xzn d´em. de exp(z+z0) = exp(z)∗exp(z)(*) n!
