1 Le d´ enombrable

Notes de cours Informatique th´eorique - III (version 1.0, 23.5.2006)

s.v.p. me signaler toute faute de frappe, grammaire, ortographe ou logique; les fautes de logique vous apportent des points suppl´ementaires pour la note finale. toute suggestion d’une meilleure traduction d’un terme anglais sera ´egalement bienvenue.

1 Le d´ enombrable

D´efinition 1 Un ensemble X est d´enombrable s’il existe une bijection entre X est l’ensemble N d’entiers non-n´egatifs.

Notons que certains auteurs d´efinissent comme d´enombarble tout ensembleX qui soit est fini, soit poss`ede une bijection avec N. Ceci est ´equivalent `a :

Un ensemble X est d´enombrable s’il existe une injection de X dans N. Dans la suite, X estd´enombrable s’il v´erifie la d´efinition 1.

Nous allons prouver

Lemme 1 L’ensemble {0,1}^∗ est d´enombrable.

Th´eor`eme 1 L’ensembleΣ^∗ est d´enombrable pour tout alphabet Σ.

On se servira des faits suivants (rappel : pour un ensemble X, sa cardinalit´e - le nombre de ses ´el´ements quand X est fini - est not´eX).

1. |{0,1}^k|= 2^k 2. Pk

i=02ⁱ = 2^k+1−1

Prouvons ces deux faits. Le nombre de mots de longueur k sur l’alphabet {0,1}

est 2^k parce qu’il y a deux choix pour le premier symbole, deux pour le deuxi`eme, et, en g´en´eral, deux choix pour le i-`eme, donc, en tout, 2^k possibilit´e.

La deuxi`eme identit´e est ´evidemment vraie pour k = 0. Si elle est v´erifi´ee pour k, on a Pk

i=02ⁱ = 2^k+1−1. Si on ajoute un terme `a la somme, on obtient Pk+1 i=0 2ⁱ = 2^k+1−1 + 2^k+1 = 2·2^k+1 −1 = 2^k+2 −1. Donc, par induction, l’identit´e est vraie

pour tout k. 2

Pour prouver le th´eoreme 1, on se rappelle que {0,1}^∗ = ∪k∈NΣ^k. Suivant cette d´efinition, on va donner une bijection explicite entreNet{0,1}^∗. Il y a 2^k mots dans {0,1}^k. Donc pour chaque k, il y a Pk

i=02ⁱ = 2^k+1 −1 mots de longuer au plus k.

On va d´efinir la bijection c : {0,1}^∗ −→N par c(a₁a₂. . . a_k) = 2^k−1 +n(a₁. . . a_k), 1

o`un(a₁. . . a_k est l’entier dont la repr´esentation en binaire est a₁. . . a_k (pur que tout marche comme il faut, on doit d´efinir n(ε) = 0. Pour prouver que l’on a vraiment une bijection, d´efinissons l’inverse. Soitc⁻¹(n) = (n+ 1−2^blgn+1c)blgn+1c; icink est la repr´esentation en binaire de n enk bits. Donc si n = 0, on obtient la repr´esentation de 0 en z´ero bits, i.e. ε. On voit alors quecest surjective. Elle est ´egalement injective car si c(a1a2. . . ak) = c(a⁰₁a⁰₂. . . a⁰_m), alors k =m et ai = a⁰_i parce que si, sans perte de g´en´eralit´e, k < m, alors c(a₁a₂. . . a_k) = 2^k −1 +n(a₁a₂. . . a_k) < 2^k−1 + 2^k <

2^k+1−1≤2^m−1≤c(a⁰₁a⁰₂. . . a⁰_m) et quandk =m alorsn(a⁰₁a⁰₂. . . a⁰_m) =n(a₁. . . a_k).

2 Exercise 1 G´en´eralisez la bijection c : Σ^∗ −→ N pour Σ quelconque. Indication:

utilisez le fait que Σ est fini pour donner une d´efinition de n(a₁. . . a_k).

Pour le deuxi`eme fait, il suffit d’observer que les symboles d’un alphabet Σ de k

´

el´ements peuvent ˆetre cod´es en binaire par des mots de longueurdlgke(cod´eveut dire que tout mot sur {0,1} repr´esente au plus un mot sur Σ. Exercice: formaliser cette notion). Donc pour tout alphabet Σ, l’ensemble de mots binaires qui repr´esentent des mots de Σ^∗ est une partie de {0,1}^∗ et donc sa cardinalit´e ne peut pas d´epasser

celle de{0,1}^∗. 2

D´efinition 2 SoitX un ensemble. L’ensemble de ses parties, note´eP(X)ou, mieux, 2^X, est (comme le nom l’indique) l’ensemble {Y :Y ⊆X}.

Remarque 1 La notation 2^X est logique. En voici l’explication. Soit X, Y deux ensembles et soit Y^X = {f : X −→ Y : f estunef onction}, i.e., l’ensemble des fonctions de X dans Y. Si |Y| = 2, on le note souvent - sans perte de g´en´eralit´e - {0,1} (c’est l’ensemble canonique `a 2 ´el´ements, l’alphabet binaire).

Soit maintenant Y une partie de X. On peut d´efinir une fonction χY : X −→2 par chi_y(x) = 1 si est seulement si x∈Y. Inversement, une fonction f :X −→2 d´efinit un ensemble Y_f ={x∈X :f(x) = 1}.

Exercise 2 Prouvez que pour tout ensemble X, tout Y ⊆X et tout f :X −→2}, Y_χY =Y

et

χ_Yf =f.

Le r´esultat important non seulement pour ce qu’il dit mais surtout pour sa tech- nique de preuve que nous reverrons plusieurs fois dans le cours est le th´eor`eme de Cantor.

Th´eor`eme 2 Soit X un ensemble. Alors |2^X|>|X|.

2

D´emonstration: Puisque {x} ∈ 2^X pour tout x ∈ X, |2^X| ≥ |X|. Il faut donc prouver que |2^X| 6= |X|. Supposons le contraire, c’est-`a-dire, supposons qu’il existe un bijection f : X −→ 2^X. Soit D = {x ∈ X : x 6∈ f(x)}. Pouisque f est une bijection, il existe un d∈ X tel que f(d) =D. Mais alors d∈ D si est seulement si d 6∈f(d) si est seulement si d 6∈D. Cette impossibilit´e implique que f ne peut pas

exister. 2

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