Exercices suppl´ementaires - Calcul int´egral

Exercices suppl´ementaires - Calcul int´egral

Exercice 1. Calculer les int´egrales suivantes : a)

Z x

0

arctant dt b) Z x

0

tan²t dt c) Z 3

2

1

tlnt dt d) Z x

0

√ t

t+ 1 dt e)

Z x

0

arcsint dt f ) Z x

0

1

3 +e^−t dt g) Z x

1

√ −1

4t−t² dt h) Z x

1

1 tp

1−ln²t dt i)

Z x

0

√ 1

1 +e^t dt j) Z x

0

t−1

t²+t+ 1 dt k) Z x

5

t+ 2

t²−3t−4 dt l) Z x

0

cost e^t dt Indications :

c) Faire le changement de variable : u= lnt.

d) Faire le changement de variable : u=√

t+ 1 ou une int´egration par parties.

f) Faire le changement de variable : u=e^t. g) Faire le changement de variable : u= ¹₂t−1.

h) Faire le changement de variable : u= lnt.

i) Faire le changement de variable : u=√ e^t+ 1.

k) Faire la d´ecomposition en ´el´ements simples.

l) Faire deux int´egrations par parties.

Exercice 2. Calculer les primitives suivantes : Z x

0

sint

sint+ cost dt et Z x

0

cost

sint+ cost dt.

Indication :

Calculer la somme et la diff´erence de ces deux int´egrales.

Exercice 3. Calculer les primitives suivantes : a)

Z x

0

sin²tcos³t dt b) Z x

0

cos⁴t dt c) Z ^π₂

−^π₂

1

2 + sint+ cost dt d) Z ^π₂

π 3

1 sinx dx e)

Z ^π₂

0

1

cosx dx f ) Z ^π₆

0

1

7 + tanx dx Indications :

a), b) Lin´earisation.

c) Faire le changement de variable u= cosx ouu= tan ^x₂ . d) Faire le changement de variable u= cosx ouu= tan ^x₂

. e) Faire le changement de variable u= sinx.

f) Faire le changement de variable u= tanx.

1

Exercice 4. Calculer les int´egales suivantes : a)

Z 1

0

arctanx

1 +x² dx b) Z 2

1 2

1 + 1

x²

arctanx dx c) Z ^π₂

0

xsinx dx d)

Z 1

0

1

(1 +x²)² dx e) Z

√3

0

x²

√4−x² dx f ) Z 2

1

x²lnx dx g)

Z 1

−1

1

x²+ 4x+ 7 dx h) Z 1

0

3x+ 1 (x+ 1)² dx Indications :

b) Faire le changement de variableu= ¹_x puis utiliser l’´egalit´e arctan(x)+arctan_x¹ = ^π₂ pour x >0.

d) Faire un changement de variables ou une int´egration par parties.

e) Faire le changement de variables u= arcsin ^x₂ . h) Faire la d´ecomposition en ´el´ements simples).

Source : http://math.univ-lille1.fr/~bodin/exo4/selcor.html

2

Solutions

Exercice 1.

a)xarctanx−1

2 ln(1+x²), b)tanx−x, c)ln(ln 3)−ln(ln 2), d) 2

3(x−2)√

x+ 1+4 3, e)xarcsinx+√

1−x²−1, f ) 1

3(ln(1 + 3e^x)−ln 4), g) 1

2 arcsin(√

1−x), h)arcsin(lnx), i)ln(√

e^x+ 1)−ln(√

2), j) 1

2 ln(x²+x+1)−√

3 arctan 2

√3 x+ 1

√3

+√

3 arctan 1

√3

, k) 1

5 ln(x−4)− 1

5 ln(x+ 1) + 1

5 ln(6), l) 1

2(sin(x)e^x+ cos(x)e^x−1).

Exercice 2.La somme vautxet la diff´erence−ln(sinx+cosx) donc la premi`ere int´egrale vaut ¹₂(x−ln(sinx+ cosx)) et la seconde ¹₂(x+ ln(sinx+ cosx)).

Exercice 3.

a) On a sin²xcos³x = 1

8cosx− 1

16cos(5x)− 1

16cos(3x) donc la primitive est 1

8sinx− 1

80sin(5x)− 1

48sin(3x).

b)On a cos⁴x= 1

8cos(4x)+1

2cos(2x)+9

8 donc la primitive est 1

32sin(4x)+1

4sin(2x)+9 8x.

c) Si u= tan ^x₂

, alors cosx= 1−u²

1 +u², sinx= 2u

1 +u² etdx = 2du

1 +u². Alors on obtient que l’int´egrale vaut √

2 arctan(√ 2).

d) −1 2ln(3) e) 1

2ln(3) f ) 1

50

ln 8

7

− 2

2ln 2 + 7π 6

.

Exercice 4.

a) π²

72, b) 3π

4 , c) 1, d) π 12 + 1

4, e) 2π

3 −

√3

2 , f ) 8

3ln(2)−7 9, g)

√3 3

arctan√ 3

−arctan 1

√3

=

√3 3

π 3 −(π

2 − π 3)

=

√3π

18 , h) 3 ln 2−1.

3