Module UE8 : Exercices suppl´ ementaires sur le d´ ebut du chapitre 3
Exercice 1.
SoitA un sous-ensemble non vide et born´e deR. On consid`ere l’ensemble :
B :={|a| |a∈A}. Montrer que sup(B) = max{sup(A),−inf(A)}.
Exercice 2.
1) D´emontrer que six, y∈R on ax2+y2≥2xy.
2) En d´eduire que six, y, z∈R, on ax2+y2+z2 ≥xy+xz+yz.
Exercice 3.
Soitx∈R+ tel quex6=√
3 et posons y:= xx+1+√3. Calculer y−√3
x−√
3 et en d´eduire que |y−√
3|<|x−√ 3|.
Exercice 4.
1) D´emontrer que pour tout entier n∈N∗ :
√n+ 1−√
n= 1
√n+ 1 +√n·
2) D´emontrer les in´egalit´es suivantes pour toutn∈N∗ :
√n+ 1−√
n < 1 2√n <√
n−√ n−1.
3) Soit N ∈N∗ et posons SN :=
N
P
n=1
1 2√
n· En additionnant les in´egalit´es pr´ec´edentes membre `a membre, d´emontrer que :
√N+ 1−1< SN <√ N . En d´eduire que√
N−1< SN <√ N.
4) On suppose queN =p2, o`u p∈N∗. Calculer la partie enti`ere deSN. Application :Calculer la partie enti`ere du nombre r´eel suivant
x:= 1 2
1 + 1
√2+· · ·+ 1
√10000
.
1
