Exercices du Chapitre 3
3.1 On mesure la temp´erature du corps d’une vache tous les matins sur 30 jours cons´ecutifs
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a l’aide d’un thermom`etre implant´e `a l’int´erieur de la vache. Cet appareil envoie des pulsations radio `a un r´ecepteur situ´e `a proximit´e. Plus la temp´erature est ´elev´ee, plus les pulsations sont rapides. On enregistre chaque matin le nombre de pulsations dans un intervalle de 5 minutes. La temp´erature de la vache permet de pr´evoir les p´eriodes de fertilit´e, qui sont g´en´eralement associ´ees `a de pics de temp´erature.
Jour 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Pulsations 60 70 54 56 70 66 53 95 70 69 56 70 70 60 60 Jour 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Pulsations 60 50 50 48 59 50 60 70 54 46 57 57 51 51 59
(a) Repr´esenter graphiquement les pulsations en fonction du temps (jours). Que peut-on dire `a partir de ce nuage de points ?
(b) Proc´eder `a un “lissage” en prenant la m´ediane de 4 pulsations cons´ecutives (quand c’est possible; 1 ou 2 sinon). Associer un temps (le milieu des 4 jours utilis´es) `a chacune des ces “pulsations liss´ees” et repr´esenter les pulsations liss´ees en fonction du temps.
(c) Proc´eder `a un nouveau lissage des pulsations liss´ees obtenues en (b), en prenant cette fois la m´ediane de deux donn´ees cons´ecutives. Repr´esenter ces pulsations liss´ees deux fois en fonction du temps.
(d) Que remarquez vous en lissant les donn´ees une et deux fois ?
3.2 Dans le cadre d’une enquˆete visant `a comparer, selon certains crit`eres, diff´erents ali- ments vendus dans les fast-foods, nous avons retenu les informations se trouvant dans le tableau ci-dessous.
Aliment Poids (g) Prix (Fr)
Sandwitch v´eg´etarien 150 3.90
Sandwitch parisien au jambon 92 3.40
Big Mac 193 5.70
Hamburger 90 2.90
Hot Dog 135 3.80
Fallafel 241 6.00
Quiche Lorraine 169 3.30
Pizza tomates et jambon 165 3.30
Y-a-t-il une relation entre les variables Poids et Prix ? Pour r´epondre `a cette question, faire un graphique, calculer le coefficient de corr´elation des deux variables et l’´equation de la droite de r´egression.
3.3 Afin de convaincre des clients potentiels, une soci´et´e de marketing met en ´evidence la relation entre le chiffre d’affaires (Y) d’une entreprise et son budget publicit´e (X). Le tableau ci-dessous pr´esente ces donn´ees (en millions de Fr) pour 11 entreprises issues du mˆeme domaine d’activit´e.
Publicit´e Chiffre d’affaires
0.0 2
0.2 3
0.6 7
3.0 15
3.5 19
4.0 23
5.2 32
4.9 37
6.3 54
7.1 58
6.9 61
(a) Repr´esenter le nuage de points (X, Y).
(b) Calculer
- les variances s2(X) et s2(Y),
- le coefficient de covariance v(X, Y), - le coefficient de corr´elation r(X, Y),
- la droite de r´egressionY = ˆa+ ˆbX (et la repr´esenter graphiquement), - le vecteur des r´eponses calcul´ees ˆY,
- le vecteur ˆε des r´esidus (et repr´esenter graphiquement les r´esidus), - le coefficient de d´etermination R2.
(c) V´erifier num´eriquement que la somme des r´esidus est nulle.
(d) Que devient la droite de r´egression (et les mesures associ´ees) si l’on ajoute une en- treprise ayant un budget pub de 9 millions et un chiffre d’affaires de 15 millions ?
