Donn´ees fonctionnelles et sondages: estimation des trajectoires moyenne et m´ediane.

(1)

Donn´ ees fonctionnelles et sondages: estimation des trajectoires moyenne et m´ ediane.

Camelia Goga

Universit´e de Bourgogne, IMB camelia.goga@u-bourgogne.fr

7eme Colloque sur les sondages, Rennes 2012

(2)

Plan de l’expos´ e

1 Motivation: courbes de charges électriques à EDF et courbes d’audience à ”Médiamétrie”;

2 Estimateurs de la courbe moyenne et médiane: propriétés asymptotiques;

3 Application aux courbes de charge ´electriques;

4 Conclusion et perspectives.

Travaux r´ealis´es en collaboration avec H. Cardot (Univ. de Bourgogne) et Pauline Lardin (EDF et Univ. de Bourgogne) pour la courbe moyenne;

avec M. Chaouch pour la courbe m´ediane.

(3)

”Sondage” de courbes

Dans beaucoup de domaines: les courbes d’électricité, d’audience télé ...

A EDF:

Actuellement, les données de courbes de charge individuelles sont récupérées par campagne de mesure (panels, mesures ”ponctuelles”

sur ´echantillons de clients).

Demain:

Installation de pr`es de 34 millions de compteurs communicants

”LINKY”.

Possibilité de récupérer ”au fil de l’eau” plus de 34 millions objets courbes à des pas potentiellement très fins (par secondes jusqu’aux données mensuelles).

R´ecup´eration exhaustive des courbes de charge peu envisageable.

Techniques de sondage envisagées pour estimer la courbe moyenne de consommation à des coûts raisonnables.

(4)

Exemple 1: un ´ echantillon de 30 courbes de consommation d’´ electricit´ e. La courbe m´ ediane est en rouge.

Population test: 18902 courbes de consommation d’électricité des entreprises enregistrée toutes les 30 minutes pendant une semaine.

0100200300400500600

Electricity Consumption (Kw−H)

(5)

La courbe m´ ediane ”versus” la courbe moyenne

0 50 100 150 200 250 300

100150200250300350400

Hours

Electricity consumption (Kw-H)

Figure: La courbe m´ediane est en rouge et la courbe moyenne en rouge.

(6)

Exemple 2: un ´ echantillon de 5 profils individuels d’audience TV

L’audience TV est enregistr´ee toutes les minutes pendant 24 heures.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

0.00.20.40.60.81.0

TV audience

(7)

La courbe m´ ediane ”versus” la courbe moyenne

0 20000 40000 60000 80000

0.00.10.20.30.40.5

seconds

TV audience profiles ^meanmedian

(8)

Aspect fonctionnel des donn´ ees

Des courbes plutôt que des vecteurs multidimensionnels : description et modélisation statistique de fonctions (aléatoires) et de courbes considérées comme individus statistiques.

Des travaux “anciens” : Deville (1974), Dauxois & Pousse (1976) ...

et un renouveau : Ramsay & Silverman (2002, 2005), Ferraty & Vieu (2006).

Des applications : économie (Kneip & Utikal 2001), climatologie (Besse et al. 2000), télédétection (Cardot et al. 2003),

bio-informatique, ...

En sondagesdes travaux très récents: Cardot, Chaouch, Goga and Labruère (2010), thèses de Etienne Josserand (2011) et Pauline Lardin (2012) à l’Univ. de Bourgogne:

(9)

La courbe moyenne et m´ ediane: d´ efinition

Soit U ={1, . . . ,N}une population de taille N suppos´ee connue;

Soit Y une variable fonctionnelle d´efinie pour chaque individuk:

Yk(t), t ∈[0,T] Deux paramètres d’intérêt:

1 la courbe moyenne:

µ(t) = 1 N

X

U

Y_k(t)

2 la courbe m´ediane (la m´ediane fonctionnelle) qui est la solution unique (Kemperman, 1987 Chaudhuri, 1992 and Gervini, 2008) de

mN = argmin_y∈L2[0,T]

N

X

k=1

||Yk −y||

(10)

Estimateurs de la courbe moyenne et m´ ediane

Soits⊂U un échantillon sélectionné selon un plan de sondagep(·); la taille N est supposée connue.

Soientπ_k etπ_kl les probabilit´es d’inclusion:

πk =Pr(k ∈s); πkl =Pr(k,l∈s)

L’estimateur de type Horvitz-Thompson de la courbe moyenne est ˆ

µ= 1 N

X

s

Y_k πk

L’estimateur ˆm_n de la m´edianem_N est la solution unique de:

ˆ

mn= argmin_y∈L2[0,T]

X

k∈s

||Yk−y||

π_k

(11)

Propri´ et´ es de l’estimateur de Horvitz-Thompson fonctionnel

L’estimateur ˆµest sans biais pourµpar rapport au plan;

La fonction de covariance de ˆµest donn´ee par γ(r,t) = 1

N² X

U

X

U

(πkl−πkπl)Yl(r) π_l

Yk(t) π_k

Les propriétés de convergence uniforme et en distribution ont été étudiées par Cardot and Josserand (2011).

Extensions: estimateurs desparam`etres non-lin´eaires:

1 Du coefficient de régression linéaireβ(t) et l’estimateur pourµassisté par un modèle linéaire (Cardot, Goga and Lardin, 2012);

2 La m´ediane fonctionnelle (Chaouch and Goga, 2012);

3 L’estimateur de l’approximation de variance de Hajek (Cardot, Goga and Lardin, 2012)

(12)

Le mod` ele lin´ eaire (Cardot, Goga and Lardin, 2012)

SoientX₁, . . . ,X_p variables auxiliaires; on notex⁰_k = (X_k1, . . . ,X_Kp) Le mod`ele lin´eaire suivant (Faraway, 1997)

ξ : Yk(t) =x⁰_kβ(t) +εkt, t∈[0,T]

où β(t) est le coefficient de régression fonctionnel et les résidusε_kt sont de moyenne 0

E_ξ(ε_kt) = 0 et de fonction de covariance:

Cov_ξ(ε_kt, ε_lt) = 0, k 6=l,t∈[0,T] Covξ(εkt, εkr) = Γ(t,r), t,r ∈[0,T]

(13)

L’estimateur pour µ assist´ e par un mod` ele lin´ eaire

ˆ

µMA(t) = 1 N

X

s

Y_k(t) πk

− 1 N

X

s

x_k πk

−X

U

xk

!0

β(t)ˆ

o`u ˆβ(t) =

1 N

P

s xkx⁰_k

πk

−1 1 N

P

s xkYk(t)

πk =G^{−1 1}_N P

s xkYk(t)

πk

En pratique, on observe la trajectoireYk(t) pour des instants discretis´es 0<t1 <t2< . . . <t_D =T;

La valeurYk,d(t) pour∈[ti,ti+1] est calcul´ee par interpolation lin´eaire;

On note ˆµ_MA,d(t) l’estimateur construit `a partir des valeursY_k,d(t).

Il peut ˆetre obtenu par calage sur les totaux de X1, . . . ,Xp.

(14)

Un estimateur r´ egularis´ e de ˆ β

La construction de ˆµMA,d est possible si la matrice ˆG=N⁻¹P

s xkx⁰_k

π_k

est inversible;

On propose l’estimateur r´egularis´e de G:

Soientλ_j,v_j,les valeurs propres, resp. les vecteurs propres associ´es, j= 1, . . . ,pde ˆG:

Gˆ =

p

X

j=1

λ_jv_jv_j⁰

On consid`ere a>0 et l’estimateur ˆG_a qui est toujours inversible:

Gˆa =

p

X

j=1

max (λj,a)vjv⁰_j

(15)

Propri´ et´ es de ˆ G

a

Si λ_min≥a,alors ˆG= ˆG_a.

Gˆ_a est inversible et ||Gˆ⁻¹_a || ≤a⁻¹.

Sous les hypoth`eses (A1)-(A5), on montre que

P( ˆGa6= ˆG) =P(λmin <a) =O(n⁻¹).

Soit l’estimateur suivant deµ ˆ

µ_MA,a = 1 N

X

s

Y_k,d(t)

π_k − 1

N X

s

x_k

π_k −X

U

x_k

!0

βˆ_a(t)

avec ˆβ_a= ˆG⁻¹_a _N¹ P

s

xkYk,d(t) π_k

(16)

Nouvelle difficult´ e due au cadre fonctionnel

Pour t∈[0,T] fix´e, ˆµ_MA,a(t) est univari´e;

Et si on s’intéresse aux propriétés asymptotiques de ˆµ_MA,a pour tout t dans [0,T]?

On veut d´eduire la convergence uniforme de ˆµ_MA,a qui fait intervenir la fonction sup_t∈[0,T]:

P sup_t∈[0,T]|ˆµ_MA,a(t)−µ(t)|> ε

→0

On se place dans l’espace des fonctions continues sur [0,T],not´e C[0,T].

(17)

L’espace C [0, T ]

Les processus ˆµ_MA,a etµ sont des éléments de l’espaceC[0,T] muni de la métrique

ρ(x,y) = sup

t∈[0,T]

|x(t)−y(t)|

ˆ

µMA,a converge en probabilit´e versµ(selon ρ), ˆµMA,a→_P µ, si P sup_t∈[0,T]|ˆµ_MA,a(t)−µ(t)|> ε

→0 On utilise l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz pour montrer que ˆ

µ_MA,a →_P µ,

P sup_t∈[0,T]|ˆµ_MA,a(t)−µ(t)|> ε

≤ E sup_t∈[0,T]|ˆµ_MA,a(t)−µ(t)|2

ε²

(18)

La normalit´ e asymptotique

D´efinition: Xn converge en distribution versX,Xn→_D X si E(f(Xn))→E(f(X))

pour f :C[0,T]→Rcontinue et born´ee.

Th´eor`eme (Prohorov): Xn→_DX dansC[0,T] si est seulement si

1 tout vecteur fini-dimensionnel (Xn(t1), . . . ,Xn(tr)) converge en distribution vers (X(t1), . . . ,X(tr));

2 Xnest tendu (“tight”);

La condition (1) peut être obtenue facilement et pour (2), on peut utiliser les critères donnés dans Billingsley (1968);

D´efinition: Un processus Zde C[0,T] est gaussiensi toutes ses restrictions finies sont gaussiennes.

(19)

Cadre asymptotique: hypoth` eses

Sur le plan de sondage A1. lim

N→∞

n

N =π∈]0,1[.

A2. min

k∈Uπk ≥λ >0, min

k6=lπkl ≥λ^∗>0 et lim sup

N→∞

nmax

k6=l |πkl−πkπl|<C1<∞ Sur les trajectoires

A3. Il existeC2>0,C3>0 etβ >1/2 tels que pour tous (r,t)∈[0,T]×[0,T], 1

N X

k∈U

Yk(0)²<C2 and 1 N

X

k∈U

{Yk(t)−Yk(r)}²<C3|t−r|^2β. Sur l’information auxiliaire

A4. Il existeC₄>0 tel que k∈U,kx_kk²<C₄pour tousk ∈U.

A5. On suppose que la matriceGest inversible estkG⁻¹k<a⁻¹.

(20)

Propri´ et´ es asymptotiques de β b

_a

R´esultat: Si les points de discr´etisation satisfont

N→∞lim max

i={1,..,D−1}|t_i+1−ti|^2β =o(n⁻¹), alors, il existe une constanteC >0 tel que,

nE_p sup

t∈[0,T]

βb_a(t)−β(t)˜

!2

≤C.

o`uβ(t) =˜ G^{−1 1}_N P

Ux_kY_k(t)

Il r´esulte queβb_a →_P β˜dans l’espace C[0,T].

(21)

Propri´ et´ es asymptotiques de µ b

MA,a

R´esultat: Si les points de discr´etisation satisfont

N→∞lim max

i={1,..,D−1}|t_i+1−ti|^2β =o(n⁻¹), alors il existe une constante C >0 tel que,

nE_p sup

t∈[0,T]

|µb_MA,a(t)−µ(t)|

!2

≤C.

Il r´esulte queµb_MA,a→_P µ dans l’espaceC[0,T].

En particulier, l’erreur due à l’interpolation est négligeable devant l’erreur due à l’estimation.

(22)

L’estimateur de la variance de ˆ µ

MA,a

On peut montrer que

µb_MA,a−µ= ˜µ−µ+o_p(n^−1/2),

où ˜µest l’estimateur par la différence généralisée obtenu pour ˜β.

La covariance asymptotique debµMA,a est donn´ee par γ_MA(r,t) = 1

N² X

k∈U

X

l∈U

(π_kl−π_kπ_l)Y_k(r)−x⁰_kβ(r˜ ) πk

Y_l(t)−x⁰lβ(t)˜ πl

L’estimateur de la variance est

γbMA,a(r,t) = 1 N²

X

k,l∈s

πkl −πkπl

πkl

·Yk,d(r)−x⁰_kβˆ_a(r) πk

·Yl,d(t)−x⁰_lβˆ_a(t) πl

,

(23)

Convergence de ˆ γ

MA,a

Deux hypoth`eses suppl´ementaires:

A6. lim_N→∞max_k6=l6=k⁰_6=l⁰_∈U|E{(IkIl−πkl)(Ik⁰Il⁰−πk⁰l⁰)}|= 0;

A7. Il existeC5,C6>0 tels queN⁻¹P

UYk(0)⁴<C5et N⁻¹P

{Yk(t)−Yk(r)}⁴<C6|t−r|^4β, pour tous (r,t)∈[0,T]² On suppose que les points de discr´etisation satisfont

limN→∞maxi={1,..,D−1}|ti+1−ti|=o(1).Alors, (r,t)∈[0,T]², nEp{|bγMA,a(r,t)−γMA(r,t)|} → 0 et

nEp

( sup

t∈[0,T]

|bγMA,a(t,t)−γMA(t,t)|

)

→ 0.

(24)

Normalit´ e asymptotique

A8. On suppose que pour chaque t∈[0,1] fix´e,

{γ_MA(t,t)}^−1/2(˜µ(t)−µ(t))→_DN(0,1)

R´esultat. On suppose (A1)-(A5), (A8) et

limN→∞max_i={1,..,d_N−1}|t_i+1−ti|^2β =o(n⁻¹).Alors,

√n(µb_MA,a−µ)→Z

o`uZ est un processus Gaussian de moyenne 0 et fonction de covariance γ_Z(r,t) = limn→+∞nγ_MA(r,t).

(25)

Bandes de confiance

Pour t∈[0,T] fixé et sous l’hypothèse de normalité,l’intervalle de confiance asymptotique(1−α)% deµest donné par

ˆ

µ_MA,a(t)±z_ασ(t)ˆ

√n

,t ∈[0,T] et ˆσ(t) = q

nbγ_MA,a(t,t)

Trouverune bande de confiance asymptotique (1−α)% deµ P

µ(t)∈

ˆ

µMA,a(t)±cα

ˆ σ(t)

√n

, ∀t∈[0,T]

= 1−α,

(26)

P

µ(t)∈h ˆ

µ_MA,a(t)±c_α^σ(t)^ˆ^√_ni

, ∀t ∈[0,T]

= P

sup_t∈[0,T]|Zˆ(t)/ˆσ| ≤c_α

→P

sup_t∈[0,T]|Z(t)|/σ≤c_α o`u Zˆ/ˆσ =√

n(ˆµ_MA,a−µ)/ˆσ →_DZ/σ dansC[0,T].

La distribution de sup_t∈[0,T]|Zˆ(t)|/ˆσ(t) n’est connue que pour certains cas particuliers et elle est approxim´ee par des simulations (bootstrap parametrique, Cardot, Degras and Josserand, 2012).

Le cα est le quantile d’ordre (1−α)% de sup_t∈[0,T]|Zˆ(t)|/ˆσ(t)

(27)

La m´ ediane fonctionnelle: propri´ et´ es

mN = argmin_y_∈L²_[0,T]X

k∈U

||Y_k−y||

On se place dansL²[0,T] qui est strictement convexe; la fonctionnelle sup n’est plus born´ee, donc on ne peut plus construire des bandes de confiance.

Si en plus lesYk,k∈U ne sont pas align´es,mN est la solution unique de l’´equation estimante

N

X

k=1

Yk−mN

||Yk−mN|| = 0 un indicateur plus robust que la courbe moyenne;

un indicateur central de la distribution deY_k;

(28)

Calcul de la m´ ediane

La médiane est définie de fa¸con implicite et elle est calculée de par des méthodes itératives.

Plusieurs algorithmes ont été proposés pour calculermN:

Vardi and Zhang (2000), Gervini (2008) mais ils n´ecessitent beaucoup de temps de calcul surtout si la taille de la population est grande;

plus rapides en utilisant les algorithmes stochastiques (Cardot, C´enac and Zitt, 2011);

On propose utiliser un échantillon aléatoire dansU et estimer la médiane à partir de cet échantillon (Chaouch and Goga,ISR, 2012).

(29)

Estimation de la m´ ediane par sondage

La courbe m´ediane m_N ∈L²[0,T] est estim´ee par ˆ

mn= argmin_y∈L²_[0,T]X

k∈s

||Y_k −y||

πk

Si lesY_k,k ∈s ne sont pas align´es, alors ˆm_nest la solution unique de:

X

s

1 π_k

Yk −mˆn

||Y_k −mˆ_n|| = 0

Approche fonctionnel (Goga and Ruiz, 2012) : T(M,m_N) = 0 et T( ˆM,mˆn) = 0 et la variation totale entre M et ˆM.

(30)

Linearization of ˆ m

n

.

Sous les hypoth`eses (A1)-(A3) et siN⁻¹P

U||Y_k −mN||⁻¹ <∞, alors

mbn = m_N+X

s

uk

π_k −X

U

u_k +op(n^−1/2)

o`u u_k = Γ⁻¹

Yk−m_N

||Yk−mN||

est la variable lin´earis´ee dem_N et Γ =X

U

1

||Y_k−m_N||

I−(Y_k −m_N)⊗(Y_k −m_N)

||Y_k −m_N||²

Pour estimer de fa¸con efficace ˆmn,on doit estimer de fa¸con efficace le total de u_k

(31)

L’estimateur de la variance et aspects pratiques

L’estimateur de la variance est donn´e par varc_p( ˆm_n)(t) =X

s

X

s

π_kl−π_kπ_l

π_kl ·ˆu_k(t) π_k ·uˆ_l(t)

π_l Avec des points discretis´es, 0≤t1 ≤. . .≤t_D on a

Y_k = (Y_k(t₁), . . . ,Y_k(t_D))⁰,et on calcule û_k = (û_k(t₁), . . . ,û_k(t_D))⁰ comme suit:

bΓ·(bu₁, . . . ,bu_n) =

Y1−mˆn

||Y₁−mˆ_n||, . . . , Yn−mˆn

||Y_n−mˆ_n||

avec bΓ=X

s

1 πk||Y_k−mˆn||

ID− (Y_k−mˆ_n)·(Y_k−mˆ_n)⁰

||Y_k −mˆn||²

(32)

Application aux courbes de charge ´ electriques.

Comparaison de plusieurs plans de sondage

1 On a une population de N= 18902 conteurs ´electriques install´es dans des petites et grandes entreprises;

2 La consommation d’électricité est enregistrée tous les 30 minutes pendant deux semaines;

3 On veut estimer la courbe médiane de la consommation d’électricité Yk de la deuxième semaine en utilisant la consommation Xk de la première semaine comme information auxiliaire.

4 On a doncD = 336 mesures.

5 On s´electionne un ´echantillon de taillen = 2000 selon plusieurs plans de sondage;

(33)

Strat´ egies utilis´ ees

1 Sans information auxiliaire: sondage al´eatoire simple sans remise (SRSWOR);

2 Avec information auxiliaire au niveau du plan de sondage:

stratifié avec SRSWOR à l’intérieur de chaque strate et plusieurs allocations (STRAT);

proportionnel `a la taille sans remise (πPS);

3 Avec information auxiliaire au niveau de l’estimation:

l’estimateur assisté par un modèle linéaire;

l’estimateur assisté par un modèle non-paramètrique et lissage par des B-splines;

lissage par des B-splines de l’estimateurπps;

(34)

Plans πps et stratifi´ e

Le plan πps: la probabilité d’inclusionπk est proportionnelle à ˜Xk,la consommation moyenne de la première semaine:

X˜_k =

D

X

t=1

X_k(t)/D, k ∈U.

Sondage stratifi´e: H= 4 strates construites en utilisant la variableXk; On utilise l’allocation proportionnelle etx-optimale.

(35)

0 50 100 150 200 250 300

100200300400500600700

Mean of consumption within strata

Hours

Mean of Y_k within strata

1 2 3 4

0 50 100 150 200 250 300

-0.010-0.0050.0000.0050.010

Mean of linearized variables within strata

Hours

Mean of u_k within strata

1 2 3 4

(a) (b)

Figure: (a) Moyenne de variablesYk à l’intérieur des strates. (b) Moyenne de variables linéariséesuk à l’intérieur des strates

(36)

Comparaisons des diff´ erents plans

On veut estimer la courbe moyenne et médiane de la consommation d’électricité pendant la deuxième semaine;

On tire un échantillon de taillen= 2000 selon les plans présentés et on réalise I = 500 simulations;

Pour comparer ces diff´erents plans, on utilise le crit`ere suivant

R(θ) = Z T

0

|bθ(t)−θ(t)|dt ' 1 D

D

X

d=1

|bθ(t_d)−θ(t_d)|

o`u θ est µoum_N.

(37)

SRSWOR STRAT+OPT STRAT+PROP PIPS

51015

Boxplot des erreurs absolues, estimation moyenne

SRSWOR STRAT+OPT STRAT+PROP PIPS

05101520253035

Boxplot des erreurs absolues, estimation de la médiane

(a) Moyenne (b)M´ediane

(38)

Mean 1^st quartile median 3^rd quartile

SRSWOR 4.723 2.366 3.718 6.27

PROP 3.507 2.092 2.918 4.356

OPTIM 2.437 1.62 2.07 2.914

πPS 1.837 1.467 1.723 2.092

MA 1.942 1.571 1.864 2.211

Table: Erreurs d’estimation pourµ.

Mean 1^st quartile median 3^rd quartile

SRSWOR 2.65 1.30 2.16 3.56

PROP 1.737 1.047 1.486 2.248

OPTIM 2.294 1.466 1.979 2.783

πPS 7.399 2.869 6.05 10.48

MA 2.198 1.202 1.829 2.855

Table: Erreurs d’estimation pour mN.

(39)

Am´ eliorer l’estimation de m

N

avec πps en utilisant un lissage non-parametrique par des Bsplines des poids

Le planπps est efficace si la relation entreYk et lesπk est Y_k(t)

πk

=β(t) +ε_kt

Dans le cas de m_N, la relation entre la variable lin´earis´eeu_k et πk =nX˜k/P

UX˜k estnon-lin´eaire,

uk(t) =f(πk,t) +εkt

On prendx_k =π_k =nX˜_k/P

UX˜_k et les poids wks= 1

πk

X

U

b⁰(πk)

! X

s

b(π_k)b⁰(π_k) πk

!−1

b(πk)

(40)

Estimation de la m´ ediane avec un seul ´ echantillon

0 50 100 150 200 250 300

80100120140160180200

Estimation of the mediane with a Pips sampling and Bspline Pips sampling

Hours

Electricity consumption

Pips Pips-Bspline True Median

(41)

Le plan πps ”versus” le πps-Bspline

n= 2000, 500 sim Mean 1^st quartile median 3^rd quartile

πPS 7.3990 2.8690 6.05 10.48

πPS-spline 1.9260 1.3650 1.672 2.131

pips pips.spline

05101520253035

(42)

L’estimation non-param` etrique de la m´ ediane

1 On consid`ere l’information auxiliairexk = ˜Xk,la consommation moyenne de la premi`ere semaine.

2 Les poids non-parametrique sont wks = _π¹

k

P

Ub⁰( ˜Xk) P

s

b( ˜Xk)b⁰( ˜Xk) π_k

−1

b( ˜Xk)

3 La m´ediane m_N est estim´ee en utilisant les poids w_ks X

s

w_ks Yk−mˆn

||Y_k−mˆ_n|| = 0.

4 Simulations : fonctions Bspline quadratiques (m=3) etK = 8 noeuds int´erieurs;

(43)

SRSWOR versus MODEL-ASSISTED lin´ eaire et non-param` etrique

n= 2000, 500 sim Moyenne 1^st quartile median 3^rd quartile

SRSWOR 2.6680 1.308 2.175 3.613

MA 2.198 1.202 1.829 2.855

MA BSplines 1.17 0.9047 1.120 1.350

SRSWOR MA BSPLINES-MA

24681012

Boxplot des erreurs absolues, estimation médiane

(44)

Taux de couverture et bandes de confiance

0 50 100 150

100150200250300350

Heure

Consommation électrique (kw−h)

Moyenne observée sur U Moyenne estimée Bande de confiance

(45)

M´ethodes Nombre M de processus α=0.05 α=0.01

SRSWOR 5000 94.80 98.70

STRAT +OPT 5000 94 98.55

πps 1000 93.87 98.61

MA 5000 92.85 98.15

Table: Taux de couverture empirique (en %), pourI=2000 r´eplications.

(46)

Conclusion et perspectives

Construction d’un estimateur fonctionnel de la courbe moyenne basé sur un modèle linéaire avec des propriétés asymptotiques:

convergence uniforme et normalit´e asymptotique;

Construction d’un estimateur fonctionnel de la courbe m´ediane et son lin´earisation.

Perspectives:

Estimation d’autres paramètres d’intérêt;

Prise en compte de la non-response;

Prise en compte de l’aspect temporel dans la construction des poids;

. . .

(47)

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