Master 1 EADM 2011-2012 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 8 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 3 Th` eme : Fonctions
L’exercice propos´e au candidat
Encadrement d’une fonction par des fonctions plus simples Soit f la fonction d´efinie par f (x) = ln(1+x)x pour tout r´eel x > −1, x 6= 0 et f (0) = 1.
1. La fonction f admet-elle une limite quand x tend vers 0 ? 2. D´emontrer que pour tout r´eel x > 0,
x − x2
2 6 ln(1 + x) 6 x −x2 2 +x3
3 . Encadrer pareillement ln(1 + x) pour x < 0.
3. En d´eduire que pour tout r´eel x > 0,
−1
2 6 ln(1 + x) − x x2 6 −1
2 +x 3.
4. La fonction f est-elle d´erivable en 0 et que vaut alors sa d´eriv´ee ?
Une r´eponse d’´el`eve `a la question 2.
Comme 1 − x26 1 6 1 + x3, on a 1 − x 6 1+x1 6 1 − x + x2, ce qui est la d´eriv´ee de x −x22 6 ln(1 + x) 6 x −x22 +x33, qui est donc vrai pour tout x r´eel.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Quelles sont les m´ethodes et connaissances mises en jeu dans cet exercice ? 2. Analysez la r´eponse propos´ee par l’´el`eve.
3. Proposer trois exercices sur le th`eme des fonctions.
