Master 2 EADM 2012-2013 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 12 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 4 Th` eme : Fonctions, convexit´ e
L’exercice propos´e au candidat Encadrement d’une fonction convexe
Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle [a, b]. Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe deux r´eels A < B tels que, pour tout a 6 x 6 b, A 6 f (x) 6 B.
1. Proposer une valeur pour le majorant B en fonction de f (a) et f (b).
2. On consid`ere c = a+b2 le milieu du segment et D la corde passant par (a, f (a)) et (c, f (c)). Montrer que pour c < x 6 b, f (x) est au-dessus de D. Donner l’´equation de cette corde comme fonction affine. Quelle est sa valeur en b ? En d´eduire un minorant A1de f (x) pour c < x 6 b.
3. Proposer une valeur pour le minorant B en fonction de a, b, c, f (a), f (b), f (c).
El´´ ements de r´eponse d’´el`eve `a la question 2.
Pour c 6 x 6 b, (x, f (x)) est en dessous de la corde passant par (c, f (c)) et (b, f (b)), mais au-dessus de la corde passant par (a, f (a)) et (c, f (c)), donc un minorant sur [c, b]
est A1= f (c).
Le travail `a exposer devant le jury
1. Indiquer les comp´etences, les m´ethodes et les savoirs mis en jeu dans l’exer- cice.
2. Analyser la r´eponse propos´ee par l’´el`eve.
3. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme des fonctions convexes.
