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Th` eme : Fonctions

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Academic year: 2022

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Universit´e Bordeaux I - IUFM d’Aquitaine Ch. Menini

Pr´ eparation au Capes de math´ ematiques 2006 Oral 2

Th` eme : Fonctions

Etude du comprotement local.

1. L’exercice propos´ e au candidat : 1) Question de cours :

Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I et a un point de I.

a) Rappeller la d´efinition de f d´erivable au point a.

b) Rappeller le lien qui existe entre sens de variation de la fonction et signe de la d´eriv´ee.

2) Soit f d´efinie sur R

∗

par f (x) = x

2

sin

x1

et f (0) = 0.

R´epondre par Vrai ou Faux aux propositions suivantes (il n’est pas demand´e de justification) : a. f est continue en 0 et n’est pas d´erivable en 0.

b. f est d´erivable en 0 et n’est pas continue en 0.

c. f est continue et d´erivable en 0.

d. f n’est pas continue en 0 et n’est pas d´erivable en 0.

3) Soient f une fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalle I et a un point de I tels que f

′

(a) = 0.

R´epondre par Vrai ou Faux aux propositions suivantes (on dira de quel r´esultat du cours se d´eduit la r´eponse lorsqu’elle est vraie et on donnera un contre-exemple lorsque la r´eponse est fausse) :

a. Ou bien f est croissante puis d´ecroissante pr`es de a, ou bien f est d´ecroissante puis croissante pr`es de a.

b. f admet maximum ou un minimum en a.

c. Pour x pr`es de a on peut approcher f (x) par f (a) avec une erreur inf´erieure `a |x − a|.

2. Le travail demand´ e au candidat :

En aucun cas, le candidat ne doit r´ediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.

Celle-ci pourra n´eanmoins lui ˆetre demand´ee partiellement ou en totalit´e lors de l’entretien avec le jury.

Pendant sa pr´ eparation, le candidat traitera les questions suivantes : Q.1. Dans quelles classes peut-on proposer ce type d’exercice ?

Q.2. Que permet d’illustrer la fonction d´efinie dans la question 2) ? Donner un prolongement possible.

Q.3. Que cherche t-on `a mettre en valeur avec les sous questions 3) a. et 3) b. ? Q.4. Existe t-il un lien logique entre les propositions des sous questions 3) a. et 3) b. ? Sur sa fiche, le candidat r´ edigera et pr´ esentera :

- sa r´eponse aux questions Q.2 et Q.3.

- un ou plusieurs ´enonc´es d’exercices se rapportant au th`eme : Fonctions, ´etude du comportement local.

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