Le QCM. – On r´ epond par vrai ou faux, sans justifier.

Universit´ e Claude Bernard Lyon 1

M1 – G´ eom´ etrie : Courbes et surfaces

Corrig´ e du contrˆ ole partiel du 24 novembre 2011

Les documents sont autoris´ es mais les calculettes sont interdites (car inu- tiles). Il sera tenu compte de la qualit´ e de la r´ edaction pour l’attribution d’une note.

Le QCM. – On r´ epond par vrai ou faux, sans justifier.

1.– Il n’existe pas de courbe polaire θ 7−→ r(θ) (r´ eguli` ere ou non) dont le support soit le carr´ e [0, 1] × {0} ∪ [0, 1] × {1} ∪ {0} × [0, 1] ∪ {1} × [0, 1].

R´ep.– Vrai, le support de la courbe polaire ne peut contenir ni [0,1]× {0}ni{0} ×[0,1].

2.– La courbe polaire r(θ) = 2 cos θ

sin

θ o` u θ ∈ ]0, π[ a pour support une parabole.

R´ep.– Vrai, faire le changement de variablet= cotθpour s’en convaincre.

3.– Soit γ : I −→ R

une courbe param´ etr´ ee r´ eguli` ere admettant une droite bitangente D (i.e. il existe deux points distincts p, q ∈ Γ = γ(I) tels que D soit tangente en p et en q). On note h l’endomorphisme de R

donn´ e par h(x, y, z) = (100x, 10y + 10, z + 100). Alors la courbe h ◦ γ admet une droite bitangente.

R´ep.– Vrai, carhest une application affine, en particulier elle envoie droite sur droite.

4.– Soit γ : I −→ R

une courbe param´ etr´ ee r´ eguli` ere. On note π : R

−→

R

× {0} la projection orthogonale sur R

. On suppose que la courbe π ◦ γ est r´ eguli` ere et admet une droite bitangente. Alors γ admet une droite bi- tangente.

R´ep.– Faux, la pr´eimage de la droite bitangente deπ◦γ peut ˆetre une union de deux

5.– L’aire de D = {(x, y) ∈ R

| 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x

} vaut

.

R´ep.– Vrai, appliquer la formule de Green-Riemann pour le v´erifier.

6.– Soit γ : [0, 2π] −→ R

une courbe plane bir´ eguli` ere ferm´ ee. Si Ind(γ) = 2 alors le support Γ de γ s´ epare R

en trois composantes connexes au moins.

R´ep.– Faux, consid´ererγ(t) = (cos 2t,sin 2t).

7.– Soit γ : [0, 2π]

1

−→ C

r´ eguli` ere et ferm´ ee et soit h : C

−→ C

donn´ ee par h(z) = z

. Alors le nombre de tours de h ◦ γ par rapport ` a l’origine O vaut N (γ, O) + 2.

R´ep.– Faux, il vaut 2N(γ, O) ce qui se v´erifie facilement en passant en polaire : la courbe γ(t) =r(t)e^iθ(t) devientγ²(t) =r²(t)e^2iθ(t).Le nombre de tours est donc doubl´e.

8.– Pour tout n ∈ Z , il existe une courbe ferm´ ee bir´ eguli` ere γ

telle que Ind(γ

) = n.

R´ep.– Faux. Le cas n = 0 pose probl`eme. En effet, si γ est bir´eguli`ere alors kalg ne change pas de signe. Par cons´equent

Ind(γ) =− 1 2π

Z 2π

0

kalg(t)kγ⁰(t)kdt ne peut valoir z´ero.

9.– Soient γ

et γ

deux courbes r´ eguli` eres ferm´ ees. Si γ

+ γ

est r´ eguli` ere alors Ind(γ

+ γ

) = Ind(γ

) + Ind(γ

).

R´ep.– Faux, siγ2=γ1 alorsγ1+γ2= 2γ1 et par cons´equentInd(γ1+γ2) =Ind(γ1).

10.– Il n’existe pas de courbe bir´ eguli` ere ferm´ ee dans R

qui soit ` a courbure et ` a torsion (non nulle) constantes.

R´ep.– Vrai. Les h´elices sont certes `a courbure constante (non nulle) et `a torsion (non nulle) constante mais elles ne sont pas ferm´ees. Or, d’apr`es le th´eor`eme fondamental des courbes gauches, ce sont les seules courbes bir´eguli`eres `a courbure et `a torsion constantes.

Probl` eme. – Le but de ce probl` eme est d’´ etudier quelques propri´ et´ es de la n´ ephro¨ıde :

γ : [0, 2π] −→ R

t 7−→ a

3 cos t − cos 3t 3 sin t − sin 3t

o` u a > 0.

1) D´ eterminer les points r´ eguliers de γ.

R´ep.– On a

γ⁰(t) = 3a

−sint+ sin 3t cost−cos 3t

d’o`u

kγ⁰(t)k² = 9a²(sin²t+ cos²t+ sin²3t+ cos²3t−2 sintsin 3t−2 costcos 3t)

= 9a²(2−2 cos 2t)

= 36a²sin²t.

Par cons´equent, la courbe est r´eguli`ere en tout point sauf ent= 0 ett=π.

2) Montrer que le support Γ de γ est sym´ etrique par rapport ` a l’axe (Ox) et par rapport ` a l’axe (Oy). Tracer sommairement Γ.

R´ep.– Posonsγ(t) = (x(t), y(t)).On a

γ(−t) = (x(t),−y(t)) et γ(π−t) = (−x(t), y(t))

ce qui montre que Γ est sym´etrique par rapport `a l’axe (Ox) et par rapport `a l’axe (Oy).

Le support de

3) D´ eterminer la longueur et l’aire enclose par γ

R´ep.– En utilisant les sym´etries deγon a Long(γ) =

Z 2π

0

kγ⁰(t)kdt= 4 Z ^π₂

0

kγ⁰(t)kdt.

Ainsi

Long(γ) = 4 Z ^π₂

0

6a|sint|dt= 24a Z ^π₂

0

sint= 24a.

D’autre partγest une courbe ferm´ee simple, on noteDla composante born´ee du compl´ementaire de Γ, l’application de la formule de Green-Riemann donne :

Aire(D) = Z

∂D⁺

x(t)y⁰(t)dt

= Z 2π

0

3a²(3 cost−cos 3t)(cost−cos 3t)dt

= 3a² Z 2π

0

(3 cos²t+ cos²3t)dt

car costet cos 3tsont orthogonales. Finalement Aire(D) = 3a²

Z 2π

0

3 2+1

2

dt= 12πa².

4) Montrer que, en les points r´ eguliers, la courbure principale k de γ est, ` a un cœfficient pr` es, inversement proportionnel ` a la vitesse kγ

k de γ.

R´ep.– On a

x⁰(t)y⁰⁰(t)−x⁰⁰(t)y⁰(t) = 9a²{(−sint+ sin 3t)(−sint+ 3 sin 3t)−(cost−cos 3t)(−cost+ 3 cos 3t)}

= 9a²{4−4 cos 2t}

= 72a²sin²t

= 2kγ⁰(t)k² Ainsi

k(t) = |x⁰(t)y⁰⁰(t)−x⁰⁰(t)y⁰(t)|

kγ⁰(t)k³ = 2 kγ⁰(t)k.

5) En tout point r´ egulier t de γ, on pose N(t) :=

(−y

(t), x

(t)). D´ eterminer,

en les points r´ eguliers, la d´ evelopp´ ee β := γ +

N de γ. Comparer γ t +

avec β(t). En d´ eduire que l’on passe du support de γ ` a celui de β au moyen

d’une similitude directe dont on pr´ ecisera l’angle et le rapport.

R´ep.– En tout pointt6= 0 ett6=π,on aβ(t) = (u(t), v(t)) avec u(t) :=x(t)− 1

k(t) 1

kγ⁰(t)ky⁰(t), v(t) :=y(t) + 1 k(t)

1

kγ⁰(t)kx⁰(t) Ainsi

u(t) = x(t)−¹₂y⁰(t)

= a(3 cost−cos 3t)−³₂a(cost−cos 3t)

= a

2(3 cost+ cos 3t) et

v(t) = y(t) +¹₂x⁰(t)

= a(3 sint−sin 3t) +³₂a(−sint+ sin 3t)

= a

2(3 sint+ sin 3t).

On v´erifie sans peine quex(t+^π₂) =−2Y(t) ety(t+^π₂) = 2X(t).Par cons´equent, en tout point r´egulier, β(t) = (f ◦γ)(t+^π₂) o`uf est la similitude d’angle−^π₂ et de rapport ¹₂.

La d´ evelopp´ ee d’une n´ ephro¨ıde est une n´ ephro¨ıde

6) Soient C le cercle unit´ e de R

et p ∈ C. On note ∆

:= p + p R la droite normale ` a C passant par p. On note ´ egalement D

l’image de la droite hor- izontale passant par le point p par la r´ eflexion d’axe ∆

. Montrer que la courbe enveloppe de la famille de droites (D

)

est une n´ ephro¨ıde.

R´ep.– Convenons de noter Dt la droite Dp avec p = (cost,sint) et posons −→u = (cost,sint) et −→v = (−sint,cost). Le vecteur e₁ = (1,0) se d´ecompose dans la base (−→u ,−→v) en

e₁= cost−→u −sint−→v . La r´eflexion vectoriellerd’axepRtransforme donce1en

r(e1) = cost−→u + sint−→v

Une ´equation cart´esienne de D_test donc donn´ee par

−sin 2t(X−cost) + cos 2t(Y −sint) = 0.

soit encore

−sin 2t X+ cos 2t Y + sint= 0.

Posonsa(t) :=−sin 2t, b(t) := cos 2t, c(t) := sint etδ(t) :=a(t)b⁰(t)−a⁰(t)b(t).On a δ= (−sin 2t)(−2 sin 2t)−(−2 cos 2t) cos 2t= 26= 0.

D’apr`es le cours, la courbe enveloppe est le support de la courbe param´etrique donn´ee par les formules

x(t) = 1 δ(t)

b(t) c(t) b⁰(t) c⁰(t)

, y(t) =− 1 δ(t)

a(t) c(t) a⁰(t) c⁰(t)

.

Or

b(t) c(t) b⁰(t) c⁰(t)

= cos 2tcost−(−2 sin 2t) sint

= ¹₂(cost+ cos 3t) + (cost−cos 3t)

= ¹₂(3 cost−cos 3t)

et

a(t) c(t) a⁰(t) c⁰(t)

= (−sin 2t) cost−(−2 cos 2t) sint

= −¹₂(sint+ sin 3t) + (−sint+ sin 3t)

= −¹₂(3 sint−sin 3t).

Ainsi la courbe enveloppe est une n´ephro¨ıde.

La n´ ephro¨ıde est une caustique

7) On identifie R

avec C . On consid` ere deux points M

(t) = e

et M

(t) = e

parcourant le cercle C avec des vitesses angulaires ω

et ω

. On suppose que ω

+ω

6= 0 et on note G(t) le barycentre du syst` eme {(M

(t), ω

), (M

(t), ω

)}.

Montrer que G

(t) est colin´ eaire ` a − −−−−−−− → M

(t)M

(t).

R´ep.– Par d´efinition

(ω₁+ω₂)−−−−→

OG(t) =ω₂−−−−−→

OM₁(t) +ω₁−−−−−→

OM₂(t) et donc

G⁰(t) = ω1ω2

ω1+ω2

i e^iω1t+e^iω2t

= 2icos

ω₁−ω₂

2 t

ω₁ω₂ ω1+ω2

e^{iω1 +2ω2t}.

On a ´egalement

−−−−−−−−→

M₁(t)M₂(t) =e^iω2t−e^iω1t= 2isin

ω₁−ω₂

2 t

e^{iω1 +2ω2t}.

AinsiG⁰(t) et−−−−−−−−→

M1(t)M2(t) sont colin´eaires.

8) On choisit ω

= 3 et ω

= 1. D´ eduire de la question pr´ ec´ edente que l’en- veloppe des droites (M

(t)M

(t))

est une n´ ephro¨ıde.

R´ep.– Le point G(t) est ´evidemment sur la droite (M₁(t)M₂(t)) et puisque G⁰(t) et

−−−−−−−−→

M1(t)M2(t) sont colin´eaires, c’est quet7−→G(t) est une courbe param´etr´ee dont le support est l’enveloppe des droites (M1(t)M2(t)).Si on notem=^ω_ω²

1, on a G(t) = m

m+ 1e^iω1t+ 1

m+ 1e^imω1t. Le choixω1= 1 etm= 3 conduit `a

G(t) = 1

4 3e^it+e^i3t .

Le changement de variableu=t−^π₂ donne G(u+π

2) = i

4 3e^iu−e^i3u et l’on reconnaˆıt une n´ephro¨ıde.

Note.– On rappelle quelques formules trigonom´ etriques : sin A sin B = 1

2 (cos(A − B) − cos(A + B)) cos A cos B = 1

2 (cos(A − B) + cos(A + B)) sin A cos B = 1

2 (sin(A − B) + sin(A + B)).