Le th´eor`eme fondamental de la th´eorie de Galois

Le th´eor`eme fondamental de la th´eorie de Galois

Bernard Le Stum ^∗ Universit´ e de Rennes 1 Version du 26 janvier 2001

1 Extensions alg´ ebriques

1.1 D´ efinition

Si K est un corps, une extension L/K est une K-alg` ebre L qui est un corps. Un morphisme d’extensions est un morphisme de K-alg` ebres. On d´ efinit une sous-extension ou extension interm´ ediaire de mani` ere ´ evidente. On dispose aussi de la notion de compos´ ee M/K d’extensions L/K et M/L. Enfin, on note [L : K ] := dim _K L et on dit que L/K est finie si [L : K] < ∞ et triviale si [L : K] = 1.

1.2 Proposition

Si L/K est une extension de corps et E un espace vectoriel sur L, on a dim _K E = [L : K] dim _L E. En particulier, on a toujours [M : L][L : K] = [M : K]. Il suit que la compos´ ee de deux extensions finies est finie.

1.3 Remarque

Toute intersection de sous-extensions de K dans L est une extension de K. Si E ⊂ L, on note K(E) la plus petite sous-extension de L contenant E. On a bien sˆ ur toujours K(E)(F ) = K(E ∪ F ). Enfin, on note deg _K (E) := [K (E) : K].

1.4 Proposition

Soient α ∈ L, d := deg _K (α) et Φ α le morphisme de K-alg` ebres K[T ] → L, T 7→ α.

Alors

Si d = ∞ , Φ _α est injective et se prolonge de mani` ere unique en un isomorphisme K(T ) ˜ → K(α).

Si d < ∞ , Φ _α est induit un isomorphisme

K[T]/P α → ˜ K(α)

et P α est l’unique polynˆ ome unitaire irr´ eductible de degr´ e d tel que P α (α) = 0.

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lestum@univ-rennes1.fr

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Université de Rennes 1

Préparation à l’agrégation

de mathématiques

Auteur du document :

B. Le Stum

1.5 D´ efinition

Dans le premier cas, on dit que α est transcendant. Dans le second, on dit qu’il est alg´ ebrique et que P _α est son polynˆ ome minimal. Enfin, on dit que α, β ∈ L sont conjugu´ es si P β = P α .

On dit que L/K est alg´ ebrique si tous les ´ el´ ements de L sont alg´ ebriques sur K . 1.6 Remarque

Soit σ : L → M un morphisme de K-extensions, α ∈ L et β = σ(α). Alors σ induit un isomorphisme K (α) ' K(β). En particulier, α est alg´ ebrique ssi β est alg´ ebrique et on a alors P _β = P _α .

1.7 Proposition

i) Toute extension finie est alg´ ebrique.

ii) Une extension L/K est finie ssi il existe α 1 , . . . , α n alg´ ebriques sur K tels que L = K(α ₁ , . . . , α _n ).

iii) La compos´ ee de deux extensions alg´ ebriques est alg´ ebrique.

iv) Si L/K est une extension alg´ ebrique, tout K-morphisme σ : L → L est bijectif.

2 Corps de rupture

2.1 D´ efinition

Un corps de rupture pour P ∈ K[T ] est une extension L/K telle qu’il existe α ∈ L avec P (α) = 0 et L = K(α).

2.2 Proposition

Si P 6∈ K, il existe un corps de rupture L pour P sur K.

Supposons P irr´ eductible. Soit L ⁰ /K une extension et α ∈ L, α ⁰ ∈ L ⁰ tels que P (α) = P (α ⁰ ) = 0. Alors, il existe un unique K-morphisme σ : L → L ⁰ tel que σ(α) = α ⁰ . Si L ⁰ est aussi un corps de rupture de P sur K, σ est un isomorphisme.

2.3 Remarque

Si L/K une extension et α ∈ L, alors K(α) est un corps de rupture pour P _α sur K.

2.4 D´ efinition

On dit que P ∈ K[T ] se d´ ecompose sur une extension L/K en produit de facteurs lin´ eaires s’il existe α ₁ , . . . , α _d ∈ L avec P = c(T − α ₁ ) · · · (T − α _d ).

On dit que L est un corps de d´ ecomposition pour P si, en plus, L = K(α 1 , . . . , α d ).

2.5 Proposition

Si P 6∈ K, il existe un corps de d´ ecomposition L pour P sur K. Soient L ⁰ /K une extension sur laquelle P se d´ ecompose en produit de facteurs lin´ eaires. Alors, il existe un K-morphisme σ : L → L ⁰ . Si L ⁰ est aussi un corps de d´ ecomposition de P sur K, σ est un isomorphisme.

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2.6 D´ efinition

Un corps K est alg´ ebriquement clos s’il n’existe pas d’extension alg´ ebrique non-triviale de K. Une clˆ oture alg´ ebrique d’un corps K est une extension alg´ ebrique ¯ K/K qui est un corps alg´ ebriquement clos.

2.7 Th´ eor` eme

Tout corps K poss` ede une clˆ oture alg´ ebrique ¯ K. Si L/K est une extension alg´ ebrique, il existe un K-morphisme σ : L → K. Si ¯ L est alg´ ebriquement clos, σ est un isomorphisme.

3 Extensions galoisiennes

3.1 D´ efinition

Une extension alg´ ebrique L/K est normale si pour toute extension M/K contenant L et tout K-morphisme σ : L → M , on a σ(L) ⊂ L.

3.2 Remarques

Il suffit de consid´ erer le cas ou M est une clˆ oture alg´ ebrique de L.

3.3 Proposition

i) Une extension alg´ ebrique L/K est normale ssi tout P ∈ K[T ] irr´ eductible avec une racine dans L se d´ ecompose en produit de facteurs lin´ eaires.

ii) Une extension finie est normale ssi c’est le corps de d´ ecomposition d’un polynˆ ome.

3.4 D´ efinition

On dit que α ∈ L est s´ eparable sur K si P _α ⁰ (α) 6 = 0. Une extension alg´ ebrique L/K est s´ eparable si tout α ∈ L est s´ eparable sur K.

3.5 Remarque

On dit aussi qu’un polynˆ ome non-constant P ∈ K[T ] est s´ eparable s’il se d´ ecompose sur un corps de d´ ecomposition en produit de facteurs lin´ eaires distincts. On voit alors que α ∈ L est s´ eparable sur K ssi P α est s´ eparable.

3.6 Proposition

Soit L/K une extension finie de degr´ e d et M/K une extension quelconque. Alors, il existe au plus d K-morphisme distincts L → M . En fait, si M est alg´ ebriquement clos, alors L/K est s´ eparable ssi il existe exactement d K-morphisme distincts L → M . 3.7 Th´ eor` eme (de l’´ el´ ement primitif )

Si L/K est une extension s´ eparable finie, il existe α ∈ L tel que L = K(α).

3.8 D´ efinition

Une extension alg´ ebrique L/K est galoisienne ssi elle est normale et s´ eparable.

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3.9 Remarque

Une extension alg´ ebrique L/K est galoisienne si pour tout α ∈ L, P α se d´ ecompose sur L en produit de facteurs lin´ eaires distincts.

4 Th´ eorie de Galois

4.1 D´ efinition

Si L/K une extension alg´ ebrique, le groupe G := Gal(L/K) des K-automorphismes de L est le groupe de Galois de L/K.

4.2 Proposition

Une extension finie L/K de degr´ e d et de groupe de Galois G est galoisienne ssi | G | = d.

4.3 Remarque

Soit L/K une extension alg´ ebrique et G son groupe de Galois.

Si M est une extension interm´ ediaire, alors H := Gal(L/M ) est le sous-groupe de G compos´ e des σ tels que σ _|M = Id _M .

R´ eciproquement, si H ⊂ G est un sous-groupe, alors M := L ^H := { α ∈ L, ∀ σ ∈ H, σ(α) = α } est une extension de corps interm´ ediaire.

4.4 Th´ eor` eme

Soit L/K une extension alg´ ebrique de groupe de galois G. Alors, i) L/K est galoisienne ssi K → ˜ L ^G .

ii) L/K est galoisienne finie ssi il existe un sous-groupe fini H ⊂ G tel que K → ˜ L ^H . Et alors, H = G.

4.5 Corollaire (Th´ eor` eme de Galois)

Soit L/K une extension galoisienne finie et G := Gal(L/K). Alors, les applications M 7→ H := Gal(L/M ) et H 7→ M := L ^H ´ etablissent une bijection d´ ecroissante entre les extensions interm´ ediaires M et les sous-groupes H de G.

4.6 Proposition

Avec les notations du th´ eor` eme de Galois, M/K est galoisienne ssi H est distingu´ e dans G et on a alors un isomorphisme canonique Gal(M/K) ∼ = G/H.

R´ ef´ erences

[1] J.-P. Lafon, alg` ebre commutative, Langages g´ eom´ etriques et alg´ ebriques. Collection Enseignement des sciences, 24. Hermann (1977)

[2] S. Lang, Algebra. Addison-Wesley, Reading, Massachusets (1965)

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