Le th´eor`eme de Glaeser
1Th´eor`eme(de Glaeser). Soitf :R−→R+une fonction de classeC2.√
f est de classeC1si, et seulement si,f0 etf00 s’annulent en les points o `uf s’annule.
D´emonstration. On va proc´eder en trois ´etapes.
1. √
f est d´erivable enx0∈Rssi ou bienf(x0)6= 0ou bienf(x0) =f0(x0) =f00(x0) = 0. 2. Pour α < 0, en ayant not´e M(α) = sup
t∈[−2α,2α]
|f00(t)| et suppos´e quef(0) = f0(0) = f00(0) = 0, on a f02(x)6f(x)M(α),∀x∈[−2α, 2α].
3. On finit par montrer que√
f est de classeC1.
1. ”⇒“ Soitx0∈R. On suppose que√
f est d´erivable enx0. Soit√
f(x0) = 0soit√
f(x0)6= 0. Si f(x0) = 0alorsf0(x0) =p
f(x0)20
= 2√
f0(x0)×p
f(x0) = 0. Il reste `a montrer quef00(x0) = 0. Comme f est de classe C2, d’apr`es la formule de Taylor-Young de f `a l’ordre 2 en x0, on a f(x) =
f00(x0)
2 (x−x0)2+o((x−x0)2)d’o `u f(x) (x−x0)2 = 1
2f00(x0) +o(1) =
pf(x) x−x0
!2
. Cela est ´equivalent `a
´ecrire que
pf(x)
|x−x0| =
rf00(x0)
2 +o(1). On passe `a la limite enx+0 estx−0 et on obtient06
rf00(x0)
2 60
d’o `uf00(x0) = 0. Sinonf(x0)6= 0et .
”⇐“ R´eciproquement, sif(x0)6= 0,√
f est d´erivable en vertu du fait quef(x0)6= 0.
Si f(x0) = f0(x0) = f00(x0) = 0, on a par la formule de Taylor-Young : f(x) = o((x−x0)2). Donc f(x)
(x−x0)2 = o(1). Cela implique que
√f(x)
|x−x0| = p
o(1) −→ 0 quand x → x0 et on peut dire que (√
f)0(x0) = 0.
2. On reprend les notations et hypoth`eses du pr´eambule. On remarque ici queM(α)<+∞carf est de classeC2.∀x,h∈[−α,α],x+h∈[−2α, 2α]et l’in´egalit´e de Taylor Lagrange sur[x,x+h]donne
|f(x+h)−f(x)−f0(x)h|6 h2
2 |f00(x)|6 h2 2 M(α) donc 0 6 f(x+h) 6 f(x) +f0(x)h+h2
2 M(α) = P(h)o `u P est un polyn ˆome du second degr´e. Son discriminant est f0(x)2−2f(x)M(α)et est n´egatif carP(h)>0 sur[−α,α]. On a donc ´etabli l’´egalit´e demand´ee.
3. On montre l’´equivalence du th´eor`eme.
”⇐“ Sif(x0)6= 0,f ne s’annule pas dans un voisinage dex0 donc par la formule de d´erivation(√ f)0 est continue enx0.
Sif(x0) = 0, on poseg(x) =f(x+x0).gestC2etg>0. Par les hypoth`eses surf,√
gest d´erivable.
SoitV un voisinage de0, on peut ´ecrireV =]−α,α[. Six∈V, - ou bieng(x) = 0, alorsg0(x) =g00(x) = 0et donc(√
g)0(x) = 0par le point 1 ; - ou bieng(x)6= 0, alorsg0(x)2 62g(x)M(α)⇔ g0(x)2
2√
g(x) = (√
g)0(x)6
rM(α)
2 →0 quandα→0. Donc(√
g)0(x)→0quandx→0. Donc(√
g)0est continue en0c’est `a dire(√
f)0est continue enx0.
”⇒“ Si√
f estC1alors elle est d´erivable doncf0 etf00s’annulent en les points o `uf s’annule.
1. G´eom´etrie diff´erentielle. Th`emes d’analyse pour l’agr´egation, St´ephane GONNORD & Nicolas TOSEL, page 28
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