ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 6 janvier 2005
Programme de colles S15
Nb : Les exercices sur les limites de fonctions,comparaisons ´equivalents. Les questions de cours porteront le programme S14 plus ce qui suit.,:
Propri´ et´ es fondamentales des fonctions continues
Continuit´e en un point
D´efinition : Soitf :I→Rune fonction d´efinie sur un intervalle,a∈I. Que signifie : – f est continue au pointa
– f est continue `a gauche, `a droite au point a
Th´eor`eme.— Quelle relation fondamentale entre continuit´e `a gauche, continuit´e `a droite et conti- nuit´e au pointa.
Vocabulaire :Quand dit-on que f pr´esente une discontinuit´e de premi`ere ou deuxi`eme esp`ece au pointa? donnez des exemples !
Th´eor`eme.— Soientf, g∈ F(I,R),a∈I. On suppose quef etg sont continues au pointa.
Sif(a)< g(a),alorsil existe un voisinageV deadansI tel que ∀x∈ V, f(x)< g(x) Th´eor`eme.— Soitf ∈ F(I,R) eta∈I.
f est continue ena si et seulement si ∀(xn)∈IN ,
n→∞lim xn=a⇒ lim
n→∞f(xn) =f(a) .
Application : Soitf :I→I une fonction continuesur I et ula suite d´efinie par la relation de r´ecurrenceun+1 =f(un). Si la suiteuest convergente, sa limite`∈I¯est une solution dans ¯Rde l’´equation :
f(x) =x Continuit´e globale
Th´eor`eme.— Soient f, g∈ C(I,R) deux fonctions r´eelles continues sur I, λ∈ Run nombre r´eel eth∈ C(J,R) une fonction continue surJ. On suppose que f(I)⊂J.
1. Sif est continue surI, alors|f|est continue surI . 2. Sif est continue surI, alorsλf est continue surI . 3. Sif est continue surIet f 6= 0, alors 1
f est continue surI.
4. Sif etg sont continues surI, alorsf+g est continue surI.
5. Sif etg sont continues surI, alorsf×g est continue surI.
6. La fonction compos´ee h◦f est continue surI.
Proposition.— SoientI un intervalle (non trivial) deR,J un sous-intervalle non trivial deI 1et f ∈ C(I,R) une fonction continue surI.
La restriction f|J def `aJ est une fonction continue surJ.
1i.e.J⊂I
1
Proposition.— Prolongement par continuit´e
Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert, born´e I =]a, b[. f est prolongeable par continuit´eau pointa(resp. au point b) si :
(∃`∈R), lim
x→a+f(x) =`. resp. (∃`0 ∈R), lim
x→b−f(x) =`0.
Les Th´ eor` emes fondamentaux
Th´eor`eme.— Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires
Soit f : I → R une fonction continue sur un intervalle I de R. Pour tout couple (a, b) ∈ I2, f atteint toute valeurγinterm´ediaire entref(a) etf(b), c’est-`a-dire :
∀(a, b)∈I2, ∀γ∈R
,
γ∈[f(a), f(b)]⇒ ∃c∈I, f(c) =γ.
Savoir-faire : Etant donn´ees deux fonctions f et g d´efinies et continues sur un intervalle I.
Comment utiliser le TVI pour d´emontrer l’existence d’une solution de l’´equation f(x) = 0, ou plus g´en´eralement,f(x) =g(x).
Exercice? : Th´eor`eme de point fixe
Soit (a, b)∈R2 tels quea≤b, et f : [a, b]→[a, b] une fonction continue. Montrez quef poss`ede au moins un point fixe dans [a, b].
Th´eor`eme.— Soient (a, b)∈R2 tels que a < b et f : [a, b]→R une fonction continue sur [a, b].
Alorsf est born´ee et atteint ses bornes. Plus pr´ecis´ement, il existeα, β∈[a, b] tels que
∀x∈[a, b], f(α)≤f(x)≤f(β).
Exercice? : Soitf :R+→Rune fonction continue et`∈Rtelles que lim
x→+∞f(x) =`.
Montrez quef est born´ee.
Th´eor`eme.— Th´eor`eme de la bijection
SoitIun intervalle de Ret f une applicationcontinue et strictement monotonesurI. Alors 1. J =f(I) est un intervalle,
2. f :I→J est une bijection deI surJ,
3. l’application r´eciproquef−1:J →I est strictement monotone, de mˆeme monotonie quef. 4. f−1:J →Iest continue deJ surI.
Savoir-faire : Etant donn´ee une fonction strictement monotone et continue sur un intervalle I, comment utiliser le th´eor`eme de la bijection pour :
1. d´eterminer l’ensembleJ des images ?
2. en d´eduire alors le tableau de variation de l’application r´eciproqueg:J→I? les limites aux bornes de l’intervalleJ?
3. D´emontrer l’existence et l’unicit´ed’une solution de l’´equation f(x) =c?
Exercice? : Soitf : [1,+∞[→Rla fonction rationnelle d´efinie par∀x∈[1,+∞[,f(x) = 2 x2 1 +x. 1. D´emontrez quef r´ealise une bijection de [1,+∞[ surf([1,+∞[).
2. En utilisant leTh´eor`eme de la bijection, explicitezJ =f([1,+∞[).
3. Soit g :J →[1,+∞[ l’application r´eciproque def. Dressez le tableau de variation deg en pr´ecisant les limites de gaux bornes de J.
4. Etudiez la limite lim
x→+∞
f(x)
x . En d´eduire un ´equivalent deg au voisinage de +∞.
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