Chapitre 11 Th´eor`emes limites

(1)

Th´ eor` emes limites

Cours de math´ ematiques de BCPST Deuxi` eme ann´ ee

(2)

1 Loi faible des grands nombres 2

2 Quelques convergences en loi 4

2.1 Hyperg´eom´etrique par Binomiale . . . 4 2.2 Binomiale par Poisson . . . 8

3 Théorème central limite et conséquences 11

3.1 Théorème central limite (Première forme) . . . 11 3.2 Binomiale par Normale . . . 13 3.3 Poisson par Normale . . . 16

4 R´ecapitulatif 16

5 Exercices du td 18

(3)

1 Loi faible des grands nombres

Soientm etσ deux réels. Soientn variables aléatoires indépendantesX₁,· · ·, X_nadmet- tant toute la même espérancem et la même variance σ². Posons :

X_n = X₁+· · ·+X_n

n .

X_n admet une variance et on a : E X_n

=m et V X_n

= σ² n . Proposition 1

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente proposition. Ne pas oublier l’hypothèse d’indépendance dans la proposition précédente. Cela ne changerait pas E X_n

. En revanche, V X_n

ne serait plus forc´ement σ²

n .

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition.

1. Dans la proposition précédente, il faut noter que les variables intervenant peuvent être des variables à densité ou bien des variables discrètes.

2. D’après cette proposition précédente, si σ est non nul la variable aléatoire suivante : Xn−m

√σ n est la variable aléatoire centrée réduite associée à Xn.

3. En statistique inférentielle, X sera une variable observée ayant une espérance m et une variance σ². (X_i)i∈J1,nK constituera un échantillon de X. La proposition précédente dit simple- ment que X_n, la nî`ême moyenne empirique, est un estimateur non-biaisé de m, cela signifie que son espérance vaut m. La question qui se pose est la proximité des valeurs de X_n avec m. On voudrait savoir à partir de quelle taille d’échantillon on peut espérer une bonne approximation de m en disant que m vaut la valeur que l’on a évaluée pour X_n à partir de données expérimentales. La loi faible des grands nombres, conséquence de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, va nous apporter une première réponse.

(4)

Loi faible des grands nombres

Soient m et σ deux réels. Soit (X_n)n∈N^? une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes admettant toute la même espérancem et la même variance σ². Pour tout entier strictement positif n, on pose :

X_n = X₁+· · ·+X_n

n .

Pour tout r´eel ε strictement positif, on a :

n→+∞lim P

Xn−m > ε

= 0.

Th´eor`eme 2

* Remarque :

On utilise les notations du précédent théorème.

1. Dans ce théorème, on pourrait enlever l’hypothèse d’existence de la variance mais cela serait beaucoup plus difficile à démontrer. Avec l’hypothèse d’existence de la variance et le fait que ce soit la même variance, on peut se contenter d’une indépendance deux-à-deux.

2. Le résultat que l’on obtient (les limites données dans le théorème) porte un nom, on dit que X_n

n∈N^? converge en probabilit´e vers la loi certaine m. Ce vocabulaire (convergence en probabilit´e) n’est pas au programme.

3. On verra l’utilité de ce théorème en statistique inférentielle. En fonction de la précision sou- haitée, le ”ε” du précédent théorème, il faudra choisir une taille d’échantillon suffisamment importante pour que X_n donne une idée fiable de m.

4. On note que, dans ce théorème, les (Xn)n∈N^? n’ont pas forcément même loi.

5. On parle de loi faible des grands nombres car il y a une loi forte. Elle n’est pas au programme.

Elle dit que, si m est un réel et (X_n)n∈N^? est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (qui se note en abrégé i.i.d), autrement dit une suite de variables aléatoires indépendantes et ayant même loi, admettant toute la même espérance m alors X₁+· · ·+X_n

n

n∈N^?

converge presque sˆurement vers la loi certaine m, cela signifie que, pour tout r´eel ε strictement positif, on a :

P

n→+∞lim

X₁+· · ·+X_n n

=m

= 1.

Cela justifie qu’on obtient, en simulant un certain nombre de fois une variable aléatoire, une estimation de son espérance. Cela justifie également que l’on peut approximer la probabilité d’un événementA par sa fréquence si l’on répète assez de fois une expérience.

6. Soit (X_n)_n∈_N^? une suite de variables aléatoires à densité indépendantes et identiquement dis- tribuées dont une densité est la fonction f suivante :

(5)

Pour tout entier naturel non nul n, X₁+· · ·+X_n

n est une variable à densité dont une densité estf, elle ne dépend donc pas de n et ne s’approche pas en particulier de la loi d’une variable aléatoire constante comme le voudrait la loi faible des grands nombres. Ceci n’est pas une contradiction car....

2 Quelques convergences en loi

2.1 Hyperg´ eom´ etrique par Binomiale

Soient n un entier naturel non nul et p un élément de ]0,1[. Soit (X_N_i)i∈N une suite de variables aléatoires telle que les trois conditions suivantes soient vérifiées :

1. Pour tout entier naturel i,N_i×pest un entier naturel

2. Pour tout entier naturel i, X_N_i suit une loi hypergéométrique de paramètres (N_i, n, p)

3. lim

i→+∞(Ni) existe et vaut +∞.

Soit Y une variable al´eatoire suivant une loi binomiale de param`etres n etp. Pour tout k de J0, nK, on a :

i→+∞lim (P (X_N_i =k)) =P(Y =k)

= n

k

p^k(1−p)^n−k. Proposition 3

* Remarque :

1. Le r´esultat obtenu signifie que (X_N_i)_i∈

N converge en loi vers Y, ce vocabulaire n’est pas au programme.

2. En r´ealit´e, on a lim

i→+∞(P (XNi =x)) =P(Y =x) pour tout r´eel x. Lorsquexn’appartient pas

`

a J0, nK, cela donne lim

i→+∞(P (X_N_i =x)) = 0 et, lorsque x appartient à J0, nK, la proposition précédente répond à la question.

3. Dans la pratique, on dira que si X suit une loi hypergéométrique de paramètres (N, n, p) et si N > 10n alors on peut ”approcher” la loi de X par la loi binomiale de paramètres n et p. Si on utilise une urne et qu’on effectue un nombre de tirage négligeable devant le nombre d’élément dans l’urne au début alors, faire un tirage avec ou sans remise ne change pas grand chose. On écrit alors que : pour tout (a, b) dans (R∪ { −∞,+∞ })² tels que a < b, on a :

P (a 6X 6b)≈P(a6Y 6b) avec Y qui suit une loi binomiale de param`etres n et p.

4. On comprend très bien ce phénomène quand on observe des histogrammes.

On propose le programme suivant :

(6)

6 Un peu de python:

Listing 1 – comparaisonhyperbino.py def h y p e r g e o ( N , n , p):

s=0 a=p*N b=(1 -p)*N

for k in r a n g e(n):

u=np.r a n d o m.r a n d() p=f l o a t(a/N)

N+= -1

if(u<=p) : a+= -1 s+=1 e l s e:

b+= -1 r e t u r n s

def b i n o(n, p):

s=0

u=np.r a n d o m.r a n d() if(u<=p) :

s+=1 r e t u r n s

def Loi(N , n , p):

a=[ h y p e r g e o ( N , n , p ) for i in r a n g e( 1 0 0 0 ) ] b=[ b i n o(n , p ) for i in r a n g e( 1 0 0 0 ) ]

P r o b a s = [a.c o u n t(k) / 1 0 0 0 for k in r a n g e(max(a))]

v a l e u r s C o r = [val - 0.2 for val in r a n g e(max(a))]

plt.bar(v a l e u r s C o r, Probas, w i d t h = e p a i s s e u r, c o l o r=’ y ’, a l p h a= 0 . 6 ) P r o b a s = [b.c o u n t(k) / 1 0 0 0 for k in r a n g e(n+ 1 ) ]

plt.bar(r a n g e(n+1) , Probas, w i d t h = e p a i s s e u r, a l p h a= 0 . 2 ) Voici des cas favorables :

(7)

0 2 4 6 8 k

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

P(X=k)

Approximation hypergéométrique (100,8, 0.4) par binomiale (8, 0.4)

H B

0 2 4 6 8

k 0.00

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

P(X=k)

Approximation hypergéométrique (100,8, 0.7) par binomiale (8, 0.7)

H B

(8)

Voici des cas non favorables :

0 2 4 6 8

k 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4

P(X=k)

Approximation hypergéométrique (25,8, 0.7) par binomiale (8, 0.7)

H B

0 2 4 6 8

k 0.00

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

P(X=k)

Approximation hypergéométrique (25,8, 0.4) par binomiale (8, 0.4)

H B

(9)

2.2 Binomiale par Poisson

Soitλun réel strictement positif. Soit (X_n)_n>0 une suite de variables aléatoires telle que, pour tout entier naturel n, X_n suit une loi binomiale de paramètre n et λ

n. Soit Y une variable al´eatoire suivant une loi de Poisson de param`etre λ. Pour tout entier naturelk, on a :

n→+∞lim (P(Xn =k)) =P(Y =k)

= exp (−λ)× λ^k k!. Proposition 4

* Remarque :

1. Le r´esultat obtenu signifie que (X_n)n∈N converge en loi vers Y, ce vocabulaire n’est pas au programme.

2. En r´ealit´e, on a lim

n→+∞(P (X_n =x)) = P(Y = x) pour tout r´eel x. Lorsque x n’est pas un entier naturel, cela donne lim

n→+∞(P (X_n =x)) = 0 et, lorsque xappartient àN, la proposition précédente répond à la question.

3. De nouveau, on comprend très bien ce phénomène en observant des histogrammes.

On propose le programme suivant : 6 Un peu de python:

Listing 2 – comparaisonpoissonbino.py def p o i s s(l):

F=0 i=0

u=np.r a n d o m.r a n d() S=np.exp( -l)

w h i l e F<u:

i+=1 F+=S

S*=f l o a t(l)/i r e t u r n i-1

def Loi(n, p):

a=[ b i n o(n,p) for i in r a n g e( 1 0 0 0 ) ]

P r o b a s = [a.c o u n t(k) / 1 0 0 0 for k in r a n g e(n+ 1 ) ]

plt.bar(r a n g e(n+1) , Probas, w i d t h = 0.6 , a l p h a= 0 . 2 ) b=[ p o i s s(n*p) for i in r a n g e( 1 0 0 0 ) ]

P r o b a s = [b.c o u n t(k) / 1 0 0 0 for k in r a n g e(max(b))]

v a l e u r s C o r = [val - 0.3 for val in r a n g e(max(b))]

plt.bar(v a l e u r s C o r, Probas, w i d t h = e p a i s s e u r, c o l o r=’ y ’, a l p h a= 0 . 6 )

(10)

Voici des cas favorables :

0 5 10 15 20

k 0.00

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

P(X=k)

Approximation Binomiale ( 50 , 0.1) par Poisson( 50x0.1)

B P

0 5 10 15

k 0.00

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

P(X=k)

Approximation Binomiale ( 40 , 0.08) par Poisson( 40x0.08)

B P

(11)

Voici des cas non favorables :

0 5 10 15 20

k 0.00

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

P(X=k)

Approximation Binomiale ( 10 , 0.8) par Poisson( 10x0.8)

B P

0 20 40 60 80

k 0.00

0.05 0.10 0.15 0.20

P(X=k)

Approximation Binomiale ( 100 , 0.8) par Poisson( 100x0.8)

B P

4. On utilise souvent la proposition précédente en disant que si X suit une loi binomiale de paramètres n et p avec n > 30, p 6 0,1 et np 610 alors on peut approcher la loi de X par une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre n×p. On écrit alors que : pour tout (a, b) dans (R∪ { −∞,+∞ })² tels que a < b, on a :

P (a 6X 6b)≈P(a6Y 6b)

(12)

avec Y qui suit une loi de Poisson de param`etre n×p. C’est d’ailleurs une fa¸con classique pour simuler une variable al´eatoire suivant une loi de Poisson :

def p o i s s o n(mu):

s=0

n= 1 0 0 # Il f a u t j u s t e le p r e n d r e g r a n d p=mu/n

s+=1

r e t u r n s # D ’ a p r `e s ce c h a p i t r e , c e l a s i m u l e b i e n une loi de P o i s s o n

3 Th´ eor` eme central limite et cons´ equences

3.1 Th´ eor` eme central limite (Premi` ere forme)

Soient m un réel et σ un réel strictement positif. Soit (X_n)n∈N^? une suite de variables aléatoires de même loi, mutuellement indépendante admettant une moyenne m et un écart-type σ. Pour tout entier strictement positif n, on pose :

M_n=

(X₁+· · ·+X_n)

n −m

√σ n

.

1. Si la loi des (X_n)n∈N^? est une loi normale alors, pour tout entier naturel non nul n, M_n suit une loi normale, centrée et réduite. Sa loi ne dépend pas de n.

2. Dans le cas général, pour tout entier naturel non nuln,M_n est une variable centrée et réduite.

En général, calculer sa loi est impossible. Cependant, le théorème central limite va nous donner quelques informations.

Théorème central limite (Première forme)

Soient m un réel et σ un réel strictement positif. Soit (X_n)_n∈_N^? une suite de variables aléatoires de même loi, mutuellement indépendante admettant une moyenne m et un

´ecart-typeσ. Pour tout entier strictement positif n, on pose :

Mn=

(X₁+· · ·+X_n)

n −m

√σ n

.

Pour tout (a, b) dans (R∪ { −∞,+∞ })² tels que a < b, on a :

n−→+∞lim (P(a6Mn 6b)) =P (a6N 6b) Th´eor`eme 5

(13)

* Remarque :

1. (M_n)_n∈

N^? converge donc en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

De nouveau, ce vocabulaire est hors-programme.

2. Ce théorème porte aussi le nom de ”Théorème de la limite centrée”.

3. On voit intervenir dans ce th´eor`eme la variable : (X₁+· · ·+X_n)

n −m

√σ n

dont on avait dit que c’était la variable aléatoire centrée réduite associée à (X1+· · ·+Xn)

n .

4. On se rend compte que le théorème central limite énonce un résultat remarquable (convergence en loi) avec des hypothèses extrêmement réduites (une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi admettant une variance non nulle).

5. C’est une des raisons pour lesquelles, dans de nombreux modèles en physique, chimie, biologie, finance..., on considère que les variables suivent des lois normales car elles sont sommes de nombreux petits phénomènes indépendants.

6. On utilise les notations du précédent théorème. Dans la pratique, dès quen>30, on considère que, pour tout (a, b) dans (R∪ { −∞,+∞ })² tels que a < b, on a :

P (a6M_n6b)≈P(a6N 6b) avec N une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.

7. Comme (M_n)_n∈

N^? converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, on en déduit que, si n est un entier supérieur à 30, on peut approcher la loi de

X₁+· · ·+X_n

n par celle d’une variable al´eatoire suivant la loi normale de param`etres m et σ²

n . On en déduit aussi que, si n est un entier supérieur à 30, on peut approcher la loi de X₁ +· · ·+X_n par celle d’une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres mn et σ²n.

6 Un peu de python:

Listing 3 – tcl.py def e x p o(mu):

r e t u r n( -np.log(1 -np.r a n d o m.r a n d( ) ) /mu)

def S(n, mu):

s=0

for i in r a n g e(n):

s+=e x p o(mu)

r e t u r n(((s/n) -(1/mu))*np.s q r t(n)*mu)

(14)

def c o m p t e u r(n, mu, a, b):

c=0

for i in r a n g e( 5 0 0 0 ) : s=S(n, mu)

if a<s<b: c+=1 r e t u r n(c/ 5 0 0 0 )

def tcl(n, mu, a, b):

r e t u r n (c o m p t e u r(n, mu, a, b) -sst.n o r m.cdf(b)+sst.n o r m.cdf(a))

En utilisant ce programme, on a obtenu : In [ 1 4 ] : tcl(5 ,2 , -1 ,1)

Out[ 1 4 ] : 0 . 0 1 1 7 1 0 5 0 7 8 6 2 9 1 4 1 6 6

In [ 1 5 ] : tcl(500 ,2 , -1 ,1)

Out[ 1 5 ] : 0 . 0 0 2 1 1 0 5 0 7 8 6 2 9 1 4 1 1 2 7 - Exercice 1 :

Chaque année, l’incroyable Monsieur Bacquelin effectue 2 fois par jour, 5 jours par semaine et pendant 36 semaines, un trajet en vélo dont la durée est une variable aléatoire suivant suit une loi d’espérance 12 minutes et d’écart-type 2 minutes.

1. Donner une valeur approchée de la probabilité que l’incroyable Monsieur Bacquelin passe au moins 72 h sur son vélo au cours de l’année.

2. Que devient cette probabilit´e si l’´ecart-type est de 4 minutes (resp. 6 minutes) ?

3.2 Binomiale par Normale

Th´eor`eme de De Moivre-Laplace

Soient p un élément de ]0,1[ et (Xn)n∈N une suite de variables aléatoires telle que, pour tout entier naturel n, X_n suit une loi binomiale de paramètres n et p. Pour tout (a, b) dans (R∪ { −∞,+∞ })² tels que a < b, on a :

n−→+∞lim P a6 X_n−np pnp(1−p) 6b

!!

=P (a6N 6b) avecN une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.

Th´eor`eme 6

* Remarque :

(15)

2. Dans la pratique, d`es que n>30, on consid`ere que, pour tout (a, b) dans (R∪ { −∞,+∞ })² tels que a < b, on a :

P a6 X_n−np pnp(1−p) 6b

!

≈P (a6N 6b) avec N une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.

3. Par un changement de variable, on obtient que, pour tout (a, b) dans (R∪ { −∞,+∞ })² tels que a < b, on a :

P (a6Xn6b)≈P (a6N 6b)

avec N une variable aléatoire suivant une loi normale de paramètre (np, np(1− p)). On considère que cela est vrai dans la pratique quand n>30, np>15 et np(1−p)>5.

4. Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p avec n > 30, np > 15 et np(1−p) > 5 alors on peut approcher la loi de X par la loi normale de paramètres np et np(1−p). On va donc utiliser la table de la loi normale centrée réduite pour approcher P(X ∈ I) pour tout intervalle I de réels. On constate cependant que si a et b sont deux entiers avec a 6 b, on approxime de la même fa¸con P(X ∈ [a, b]) et P(X ∈[a−0,2, b+ 0,3]) (par exemple). Pour

´

equilibrer l’erreur obtenue, on d´ecide de faire cette premi`ere approximation : P(X ∈[a, b])≈P(X ∈[a−0,5, b+ 0,5])

puis d’utiliser le th´eor`eme de De Moivre-Laplace pour approcher P(X ∈ [a−0,5, b+ 0,5]).

Pour obtenir une estimation de P(X =x) avec xun r´eel, on ne peut dire queP(X =x) vaut environ P(Y = x) avec Y suivant une loi normale de param`etres np et np(1−p) (car cela donnerait 0) mais on va affirmer que :

P(X =x)≈P(X ∈[x−0,5, x+ 0,5])

puis utiliser le th´eor`eme de De Moivre-Laplace pour approcher P(X ∈ [x−0,5, x+ 0,5]).

Dans ces deux cas, on parle de correction de continuit´e.

5. De nouveau, on comprend très bien ce phénomène en observant des histogrammes. Cette fois- ci, on va le visualiser sur les fonctions de répartitions et on va augmenter le ”n” au fur et à mesure. On utilise ce programme :

i m p o r t n u m p y as np

i m p o r t m a t p l o t l i b.p y p l o t as plt i m p o r t m a t h as ma

def b i n o(n, p):

s=0

s+=1 r e t u r n s

def S i m u l(n, p, m):

r e t u r n [ (b i n o(n,p) -n*p)/(ma.s q r t(n*p*(1 -p))) for i in r a n g e(m)]

(16)

def P r o b a(li,k):

m = 0

for x in li: if x <=k:

m+=1

r e t u r n(m/len(li))

def R ´e p a r t i t i o n(n, p, m= 1 0 0 0 ) : a=S i m u l(n, p, m)

a.s o r t()

b=[ P r o b a(a,k) for k in a] plt.s t e p(a,b)

plt.t i t l e(" F o n c t i o n de r ´e p a r t i t i o n a v e c n = "+ str( n)) plt.s h o w()

On a obtenu (en prenant 0.25 pour pet 1000 pour m) :

(17)

3.3 Poisson par Normale

Soient λ un réel strictement positif et (X_n)_n∈_N une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout entier naturel n, X_n suit une loi de Poisson de pa- ramètre nλ. Pour tout (a, b) dans (R∪ { −∞,+∞ })² tels que a < b, on a :

n−→+∞lim

P

a6 Xn−nλ

√nλ 6b

=P (a 6N 6b) avecN une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.

Proposition 7

* Remarque :

1. De nouveau, il s’agit d’une convergence en loi.

2. Dans la pratique, d`es que n>30, on consid`ere que, pour tout (a, b) dans (R∪ { −∞,+∞ })² tels que a < b, on a :

P

a6 Xn−nλ

√nλ 6b

≈P (a 6N 6b) avec N une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.

3. Par un changement de variable, on obtient que, pour tout (a, b) dans (R∪ { −∞,+∞ })² tels que a < b, on a :

P (a6Xn6b)≈P (a6N 6b)

avecZ qui suit une loi de Poisson de paramètre λetN qui suit une loi normale de paramètre (λ, λ). On considère que cela est vrai dans la pratique quand λ>10.

4. On pourrait observer de nouveau ce phénomène en modifiant un peu le programme que l’on a fait pour illustrer le théorème de De Moivre-Laplace, la conclusion serait la même.

5. Comme pour les lois binomiales approchées par les lois normales, on approche ici une variable discrète par une variable à densité. On va procéder de nouveau à une correction de continuité pour avoir de meilleurs approximations.

4 R´ ecapitulatif

On r´esume dans ce tableau les approximations classiques ainsi que les conditions usuellement retenues pour avoir le droit de les utiliser :

(18)

Loi Loi approchante Condition classique

H(N, n, p) B(n, p) N >10n

B(n, p) P(np) n >30, p60,1 et np 610

B(n, p) N(np, np(1−p)) n>30, np>15 et np(1−p)>5

P(λ) N(λ, λ) λ>10

* Remarque :

On note que les lois de ce tableau ont systématiquement même espérance que les lois les approchant.

Cela permet de retrouver assez facilement les param`etres des lois approchantes.

-) Exercice 3 :

A l’institut d’Alzon, 2200 élèves déjeunent à la cantine. Celle-ci propose systématiquement en plat principal du gardiano et de la broufade. On s’attend à ce que chaque élève choisisse du gardiano avec probabilité de 2

3. Combien faut-il prévoir de gardiano et de broufade de fa¸con à ce que la probabilité que mêmes les derniers aient le choix soit supérieure à 0,99 ? On pourra se servir d’approximation ainsi que d’un ordinateur afin d’obtenir des résultats explicites.

(19)

5 Exercices du td

Exercices ` a chercher

. Exercice 1 :

Un ´etudiant fait en moyenne une faute d’orthographe tous les 500 mots.

1. Donner une estimation de la probabilit´e qu’il ne fasse pas plus de 5 fautes dans un devoir contenant 200 mots.

2. Donner une estimation de la probabilit´e qu’il ne fasse pas plus de 5 fautes dans un devoir contenant 2000 mots.

. Exercice 2 :

1200 élèves déjeunent à la cantine du lycée, qui propose fromage ou dessert. On s’attend à ce que chaque élève choisisse le dessert avec probabilité 0; 75. Combien faut-il prévoir de fromages et de desserts de fa¸con à ce qu’il y ait 95% de chances que mêmes les derniers aient le choix ?

Exercices ` a faire pendant la classe

- Exercice 3 :

On reproduit une expérience de probabilité de succès pavec pun élément de ]0,1[. Pour tout entier naturel non nul n, on note Sn le nombre d’échecs avant le nî`ême succès et Xn la quantité Sn−Sn−1

(en convenant que S₀ est 0).

1. Reconnaˆıtre la loi de X_n, donner son esp´erance et sa variance.

2. En d´eduire l’esp´erance et la variance deS_n.

3. Montrer, pour tout entier naturel k et pour tout entier naturel non nul n, on a : P(Sn =k) =

n+k−1 k

pⁿ(1−p)^k. 4. Montrer que :

n→+∞lim







n(1−p) p

X

k=0

n+k−1 k

pⁿ(1−p)^k





= 1 2.

- Exercice 4 :

Soit (X_i)i∈N^∗ une suite de variables aléatoires indépendantes de lois uniformes sur [0; 1]. Soit N_n une variable aléatoire de loi binomiale B(n, p) et indépendante des (X_i)_i∈_N^∗. Soit T_n = n min

16i6Nn

(X_i) et X ,→ E(p). On note F_n la fonction de r´epartition de T_n et F la fonction de r´epartition deX.

1. Calculer F_n(x) pour tout x∈R. 2. Montrer que, pour tout x∈R, lim

n→+∞(Fn(x)) =F(x).

3. En d´eduire que, pour tout (a, b)∈R², lim

n→+∞(P(a < T_n6b)) =P(a < X 6b).

(20)

Exercices bonus

M Exercice 5 :

1. Combien de fois doit-on lancer une pièce équilibrée pour que la fréquence d’apparition de face soit égale à 1

2 à plus ou moins 0,01 près avec un risque d’erreur inférieur à 5% ?

2. Une montre se dérègle d’au plus 30 secondes par jour (en avance ou en retard). Quelle est la probabilité que l’erreur commise au bout d’une année soit inférieure à un quart d’heure ? _) Exercice 6 :

Sur une autoroute la proportion de camions par rapport `a l’ensemble des v´ehicules est de 0,07.

1. Soit X le nombre de camions parmi 100 v´ehicules choisis au hasard. Calculer P(X >5).

2. SoitY le nombre de camions parmi 1000 v´ehicules choisis au hasard. CalculerP(656Y 675).

3. On choisit n véhicules au hasard. Pour quelle valeur de n peut-on affirmer que la proportion de camions parmi ces n véhicules est comprise entre 0,06 et 0,08 avec un risque d’erreur inférieur ou égal à 0,05 ?