Variables al´eatoires ` a densit´e

Probabilit´es 2012-2013

Variables al´eatoires ` a densit´e

1 Variance nulle

Soit X une v.a. r´eelle `a densit´e continue admettant une esp´erance et une variance.

1. Si X est une v.a. r´eelle `a densit´e continue, montrez que σ_X >0.

2. D´emontrez l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev: pour tout a >0, P[|X−E(X)| ≥aσ_X]≤ 1

a².

2 Rencontre

Castor et Pollux projettent de se rencontrer entre 17h et 18h. Chacun d’eux a promis de ne pas attendre l’autre plus de 10 minutes. On suppose qu’ils arrivent ind´ependamments `a des instants uniform´ement distribu´es entre 17h et 18h.

1. Calculez la probabilit´e d’une rencontre.

2. A pr´esent, Castor fixe son heure d’arriv´ee `a x. Quelle probabilit´e a-t-il de rencontrer Pollux?

3. Arrivant `a l’heure x, Castor ne trouve personne. Quelle probabilit´e a-t-il de rencontrer Pollux?

3 Variables amn´ esiques

Soit T une v.a.r. positive `a densit´e continue telle que, ∀s, t ≥ 0: P(T > t+s) = P(T >

t)P(T > s). Le but de cet exercice est de montrer que, soit P(T > 0) = 0, soitT suit une loi exponentielle.

1. Montrez que si P(T >0)6= 0, alors ∀t >0, P(T > t)>0.

2. On d´efinit alors l’application f(t) = ln(P(T > t)), t > 0. Montrez que f(x) = xf(1), pourx∈Q⁺ puis pourx∈R⁺.

3. Conclure

4 Lois gammas

Pour a >0, λ >0, on pose Γ(a) :=

Z +∞

0

e^−xx^a−1dx etγ_a,λ(x) = λ^a

Γ(a)e^−λxx^a−1, si x >0, γ_a,λ(x) = 0 si x≤0. On appelle loi gamma G(a, λ) la loi de densit´e γ_a,λ.

1. V´erifiez que Γ(.) est bien d´efinie, continue sur ]0,+∞[, et que Γ(a+1) =aΓ(a), Γ(n+1) = n!

1

2. Soit X une v.a. de loiG(a, λ), calculez E(X), V ar(X).

3. ** Soit X, Y deux v.a. ind´ependantes de loi G(a, λ), G(b, λ). Montrez que la loi de Z =X+Y estG(a+b, λ). On pourra calculerE(ϕ(Z)) `a l’aide de la loi du couple (X, Y) et ramener l’int´egrale double `a une int´egrale simple.

4. Si X₁,· · · , X_n sont n v.a. ind´ependantes de loi exponentielles de param`etre λ, donnez la loi de X₁+· · ·+X_n.

5. Si Y₁,· · ·, Y_n sont n v.a. ind´ependantes de loi normale centr´ees r´eduites, montrez que Y₁² suit la loi G ¹₂,¹₂

. En d´eduire la valeur de Γ ¹₂ .

6. Donnez la loi de Z :=Y₁²+· · ·+Y_n², et calculezE(Z), V ar(Z).

5 Pannes d’ampoules

On dispose d’un lot d’ampoules ´electriques identiques. On suppose que la dur´ee de vie de chaque ampoule est une v.a. X qui suit une loi exponentielle de param´etre λ > 0. Pour les applications num´eriques, le temps est exprim´e en heure, et λ := 10⁻³,T = 200, θ = 10⁴.

1. Calculez la dur´ee de vie moyenne de chaque ampoule.

2. Quelle est la probabilit´e pour qu’une ampoule s’´eteigne avant une dur´ee T de fonction- nement?

3. On branche 2 ampoules simultan´ements `a un instant t₀ = 0.

(a) Quelle est la probabilit´e qu’`a un instant T, les 2 ampoules soient encore allum´ees?

(b) Quelle est la probabilit´e qu’`a un instantT, au moins l’une des 2 ampoules soit encore allum´ee?

(c) Quelle est la probabilit´e qu’`a un instant T, les 2 ampoules soient ´eteintes?

On branche 10 ampoules simultan´ements `a un instant t₀ = 0.

(a) Quelle est la probabilit´e qu’`a un instant T, toutes les ampoules soient encore al- lum´ees?

(b) Quelle est la probabilit´e qu’`a un instant T, toutes les ampoules soient ´eteintes?

4. On branche une premi`ere ampoule `a un instant t₀ = 0. D`es que celle-ci meurt, on la remplace par une seconde ampoule. Quelle est la loi de probabilit´e du temps d´eclairage

`

a l’aide de ces deux ampoules et quel est le temps moyen d’´eclairage?

5. On op`ere de fa¸con identique avec n ampoules. Quelle est la loi de probabilit´e du temps d´eclairage?

6. Soit θ >0 fix´e. On suppose qu’`a un instantt<sub>0</sub> = 0, on branche la premi`ere ampoule. D´es qu’une ampoule meurt, on dit qu’il y a panne, on la remplace par une autre. Soit N le mombre de pannes durant le temps θ. Quelle est la loi de probabilit´e de N?

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