 Ve eurs de variables aléatoires réelles à densité

(1)

X  – MAP 

PC  – Mercredi  mai  – Lois et espérances Corrigé des que ions peu ou non abordées en PC

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

Corrigé des exercices non traités surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu après la PC.

 Ve eurs de variables aléatoires réelles à densité

E ^{xercice 3.}

(Calculer en cent leçons)Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dansR^dont la loi a pour densité

f_(X,Y₎(x, y) =

(+xy)1⁻_^≤x,y≤. () D´eterminer la loi deX.

() CalculerE[X1_X</_].

() CalculerE h_

X

i.

() CalculerE[XY].

() CalculerP(X≤Y). Le r´esultat e-il surprenant ? () Les v.a.XetY sont-elles ind´ependantes ?

Corrig´e :

() Comme (X, Y) eà densité, on sait queXeà densité, et sa densité eobtenue en intégrantf_(X,Y₎par rapport

`a la deuxi`eme variable. Ainsi, fX(x) =

Z ^∞

−∞

dyf(X,Y)(x, y) = Z_

−dy

(+xy)1−≤x≤=

−≤x≤.

DoncXsuit la loi uniforme sur [−,].

() D’après le théorème de transfert,

E[X1X</] = Z

R

x1x</fX(x)dx= Z_/

−

x

dx=− 

. () C’eun pi`ege :_X^ n’epas int´egrable, car

E 

|X|

= Z_

−



|x|dx=∞, donc l’´ecritureE

h_

X

in’a pas de sens.

() D’après le théorème de transfert,

E[XY] = Z

[−,]^dxdy

(xy+x^y^) =

 Z_

−x^dx

!_

=

. () D’après le théorème de transfert,

P(X≤Y) =E[1X≤Y] = Z

[−,]^dxdy1x≤y

(+xy) = Z_

−dx Z _

x

dy

(+xy).

Donc

P(X≤Y) = Z _

−dx 

−x

−x^



!

=

.

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



(2)

Ce n’epas surprenant, car

=P(X < Y) +P(X=Y) +P(X > Y),

et comme (X, Y) et (Y , X) ont la même par symétrie de la densité on aP(X < Y) =P(X > Y) et comme (X, Y) eà densité on aP(X=Y) =.

() Intuitivement,XetY ne sont pas indépendantes carf(X,Y)ne s’exprime pas comme une fonion dexfois une fonion dey. Formellement, siXetY étaient indépendantes, on auraitE[XY] =E[X]E[Y] =, ce qui n’e pas le cas d’après la queion ().

 Propriétés générales de l’espérance

E ^{xercice 4.}

(Méthode probabilie)On colorie% d’une sphère en bleu et le ree en rouge. Le but de cet exercice e de montrer qu’il etoujours possible d’inscrire un cube dans la sphère dont tous les sommets soient rouges. Pour cela nous allons utiliser le hasard ! On choisit un cubeA_A_· · ·A_inscrit dans la sphère uniformément au hasard (de telle que sorte que pour tout≤i≤,A_i suit la loi uniforme sur la sphère). Pour≤i≤, on noteX_i=siA_i erouge etX_i= siAi ebleu.

() CalculerE[X_i] pour≤i≤.

() Conclure.

Corrig´e :

() Pour≤i≤fixé,Ai suit la loi uniforme sur la sphère. DoncE[Xi] ela probabilité queAi soit rouge, soit

..

() Par linéarité de l’espérance,

E





 X

i=

X_i







=×.=..

OrP_

i=Xi eune variable aléatoire entière. Il exie donc une réalisation pour laquelleP_

i=Xi =(sinon son espérance serait inférieure ou égale à).

E ^{xercice 5.}

(Inégalité de Paley-Zygmund)SoitXune variable aléatoire réelle intégrable telle queE[X]≥.

() Montrer que pour toutλ >,X≤λE[X] +X1^{X>λE[X]}.

() On suppose que, de plus,<E[X^]<+∞. Montrer que pour toutλ∈],[ on a P(X > λE[X])≥(−λ)^E[X]^

E[X^]. Indication.On pourra utiliser l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz.

Corrig´e :



(3)

() On diingue deux cas. SiX > λE[X], alors1X>λE[X]=et

λE[X] +X1_X>λE[X]=λE[X] +X≥X.

SiX≤λE[X], alors

X≤λE[X]≤λE[X] +X1_X>λE[X]. () On prend l’espérance de l’inégalité de la queion précédente :

E[X]≤λE[X] +E

hX1X>λE[X]

i.

D’après l’inégalité de Cauchy–Schwarz, E

hX1_X>λE[X]

i≤E

h|X|1_X>λE[X]

i≤E[X^]^^/^E

h1^_X>λ_E_[X]i/

=E[X^]^^/^P(X > λE[X])^/^. Donc

(−λ)^E[X]^≤E[X^]P(X > λE[X]) et le résultat voulu en découle immédiatement.

Remarque.L’inégalité de Markov permet de majorerP(X > λE[X]), alors que l’inégalité de Paley-Zygmund permet de minorer cette quantité.

E ^{xercice 6.}

(Théorème de Fubini)SoitXune variable aléatoire réellepositive. Démontrer que E[X] =

Z ^∞



P(X≥x) dx= Z^∞



P(X > x) dx.

Indication.On pourra utiliser le fait que pourx≥,x=R^∞

 1x≥tdt=R^∞

 1x>tdt.

Corrigé : Pour la première égalité, on utilise la première égalité de l’indication, avec le théorème de Fubini pour les fonions positives (on rappelle qu’une espérance n’erien d’autre qu’une intégrale) :

E[X] =E

"Z^∞

 1X≥tdt

#

= Z ^∞



E[1X≥t] dt= Z ^∞



P(X≥t).

La deuxième égalité se montre de la même manière.

 Exercice `a chercher pour la prochaine fois

E ^{xercice 7.}

^Soit^V une variable al´eatoire de loi uniforme sur [, π]. D´eterminer la loi de sin(V).

Corrigé : On utilise la méthode de la fonion muette. Soitf :R→R₊ une fonion continue bornée. On cal- culeE[f(sin(V))]. Commef(sin(U)) ebornée, elle admet une espérance, et on peut donc utiliser le théorème de transfert :

E[f(sin(U))] =  π

Zπ

 f(sin(x))dx.



(4)

On a envie de faire le changement de variable u= sin(x), mais attention : sin n’e pas injeive sur [, π]. On se rereint donc `a [, π/], et en faisant le changement de variableu= sin(x) (et doncx= arcsin(u),dx=du/

√−u^) :

 π

Zπ

 f(sin(x))dx=  π

Z_π/

 f(sin(x))dx= π

Z_

 f(u)√ 

−u^du.

On en déduit que sin(U) eune variable aléatoire à densité, dont une densité edonnée au pointupar

 π

√−u^1<u<.

 Plus appliqu´e (hors PC)

E ^{xercice 8.}

(La cerise sur le gâteau)On considère un gâteau circulaire avec une cerise sur le bord. On découpe le gâteau en deux parts en coupant suivant deux rayons choisis au hasard.

() Avec quelle probabilit´e la part contenant la cerise e-elle plus petite que la part ne contenant pas la cerise ? () Quelle ela longueur angulaire moyenne de la part contenant la cerise ?

Corrigé : (Corrigé d’après le livreIntroduion aux Probabilités et aux Statiiquesde Jean-François Delmas.) On noteΘ_etΘ_les angles formés par les deux rayons et le rayon qui passe par la cerise. L’énoncé du problème indique queΘ_etΘ_sont indépendants et suivent la loi uniforme sur [,π]. La longueur angulaire de la part contenant la cerise e égale àπ− |Θ_−Θ_|.

() La probabilité pour que la part contenant la cerise soit la plus petite eégale àP(π− |Θ_−Θ_|<|Θ_−Θ_|).

On en d´eduit que

P(π− |Θ_−Θ_|<|Θ_−Θ_|) = E

h1_π^−|Θ_−Θ_|<|Θ_−Θ_|

i

= 

(π)^ Z_π



Z _π

 dθ_dθ_1^|θ_−θ_|>π

= 

(π)^ Z_π

 dθ_ Z_θ_

 dθ_1θ_−θ_>π

= 



o ù pour l’avant dernière égalité on a utilisé la symétrie entreθ_etθ_ pour se rereindre au cas o ùθ_< θ_. La probabilité pour que la part contenant la cerise soit la plus petite edonc/.

() La longueur moyenne de la part contenant la cerise eégale àπ−E[|Θ_−Θ_|], qu’on calcule avec le théorème de transfert et la même auce de symétrie :

E[|Θ_−Θ_|] =  (π)^

Z_π



Z _π

 dθ_dθ_|θ_−θ_|

= 

(π)^ Z_π

 dθ_ Zθ_

 (θ_−θ_)dθ_

= π



La longueur moyenne de la part contenant la cerise edoncπ/.



(5)

La part qui contient la cerise eplus grande en moyenne et elle eégalement plus grande dans% des cas. Pour voir que ces résultats ne contredisent pas l’intuition il faut inverser les opérations. On découpe d’abord au hasard deux rayons dans le gâteau, puis on jette au hasard la cerise sur le bord. Celle-ci a intuitivement plus de chance de tomber sur la part la plus grosse ! Il ree à se convaincre que jeter la cerise sur le bord puis couper le gâteau au hasard, ou couper le gâteau au hasard puis jeter la cerise sur le bord donne bien le même résultat

E ^{xercice 9.}

(Spaghettis)On considère un bâton sur lequel on trace au hasard deux marques. On découpe le bâton suivant les deux marques.Quelle ela probabilité pour que l’on puisse faire un triangle avec les trois morceaux ainsi obtenus ?

Corrigé : (Corrigé d’après le livreIntroduion aux Probabilités et aux Statiiquesde Jean-François Delmas.) On suppose que la longueur du bâton ed’une unité. On noteXetYles emplacements des deux marques. Par hypothèse XetY sont des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [,]. On fait un triangle si et seulement si aucune des longueurs des morceaux n’e plus grande que la somme des deux autres, ou ce qui revient au même, si et seulement si la longueur de chaque morceau e plus petite que/. Cela e équivalent aux trois conditions suivantes :

−max(X, Y)≤/, min(X, Y)≤/ et max(X, Y)−min(X, Y)≤/.

La probabilit´e cherch´eeP vaut donc

P = P(−max(X, Y)≤/,min(X, Y)≤/,max(X, Y)−min(X, Y)≤/)

= E

h1_⁻max(X,Y)≤/,min(X,Y)≤/,max(X,Y)−min(X,Y)≤/

i

= Z_



Z _

 dxdy1max(x,y)≥/,min(x,y)≤/,max(x,y)−min(x,y)≤/

= 

Z _

/dx Z_/_

x−/dy

= 

,

o ù à la dernière égalité on s’erereint au cas o ùx≥/par symétrie (en multipliant par un faeur). La proba-

bilit´e cherch´ee vaut donc/.

E xercice 10.

(Points fixes)Quelle e le nombre moyen de points fixes d’une permutation choisie uniform´ement au hasard de longueurn?

Corrig´e :

On noteS_nl’ensemble des permutations de{,, . . . , n}(on rappelle qu’une permutation deS_n eune bijeion de{,, . . . , n}dans{,, . . . , n}et que siσ∈ S_n, on dit quei∈ {,, . . . , n}eun point fixe deσ siσ(i) =i). SoitXune variable al´eatoire `a valeurs dansS_net de loi uniforme. On noteN(X) le nombre de points fixes deX, et on remarque que

N(X) =1_eun point fixe deX+1_eun point fixe deX+· · ·+1neun point fixe deX. Or, pour≤i≤n, on a

E

h1ieun point fixe deX

i=P(ieun point fixe deX) =(n−)!

n! = n.



(6)

Donc, par linéarité de l’espérance,

E[N(X)] = Xn

i=

 n=.

E xercice 11.

(Propagation de population)Dans cet exercice, on étudie un modèle simple de propagation d’une population, qu’on modélise comme suit.

– Chaque site deN={,,, . . .}eoccup´e soit par un (seul) individu, soit evide.

– `A l’inantt=, un individu occupe le siteet tous les autres sites sont vides.

– Si un individu e à côté d’un site vide, au bout d’un temps aléatoire, indépendant de tout le ree, diribué selon une variable aléatoire exponentielle de paramètre, il donne naissance à un individu qui va occuper ce site vide.

SoitT_nle premier temps o `u un individu occupe le siten. On fixea >/.

() Juifier qu’on peut écrire Tn = E_+· · ·+En, o ù les variables aléatoires E_, . . . , En sont des variables aléatoires indépendantes et exponentielles de paramètre.

() Montrer queP(T_n≥n+n^a)≤e⁻

√

n−n^a⁻^/ 

−/√ n

!n

.

() Montrer qu’avec probabilité, à partir d’un certain rang on aTn< n+nâ.

Corrig´e :

() Pour passer d’un sitenà un siten+, il faut attendre un temps exponentiel de paramètre, indépendant de toute le ree.

() Tout d’abord, siu <, d’après le théorème de transferteûE^admet une espérance carR∞

 e^uxe⁻^udu <∞et E

he^xE^i

= Z^∞

 e^uxe⁻^udu= 

−x. De plus, par ind´ependence deE_, . . . , En,

E he^uTⁿi

=E





 Yn

i=

e^uEⁱ







= Yn

i=

E he^uEⁱi

= (−u)⁻ⁿ. On ´ecrit ensuite

P(T_n≥n+n^a) =P T_n

√ n

≥

√

n+n^a⁻^^/^

!

=P e^√^Tnⁿ ≥e

√ n+n^a⁻^/

! ,

et d’après l’inégalité de Markov

P(T_n≥n+n^a)≤e⁻

√

n−n^a⁻^/E

"

e^√^Tnⁿ

#

=e⁻

√

n−n^a⁻^/· 

−/√ n

!n

d’après le calcul précédent (avecu=/√ n).

() On a

e⁻

√

n 

−/√ n

!n

=e⁻ⁿ^/⁻ⁿ^ln(^⁻ⁿ

−/)=e⁻ⁿ^/⁺ⁿ^/⁻^^/^^+o(^⁾ −→

n→∞ e⁻^. Donc il exie une conante c telle que P(Tn≥n+n^a) ≤ce⁻ⁿ^a

−/

pour tout n≥ . Comme a > /, on a P

n≥e⁻ⁿ^a⁻^/<∞. Donc

X

n≥

P(T_n≥n+nâ)<∞, et le résultat demandé provient du (premier) lemme de Borel–Cantelli.



(7)

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 12.

(Moments et médiane d’une variable aléatoire réelle)SoitXune variable aléatoire réelle de fonion de répartitionF.

() SiXe `a valeurs positives etk≥, montrer queE hX^k+^i

= (k+) Z^∞

 t^k(−F(t))dt.

() SiXeint´egrable, montrer que pour touta∈Ron a E[|X−a|] =

Z a

−∞

F(x)dx+ Z ^∞

a

(−F(x))dx.

() On suppose queFecontinue. Pour quelles(s) valeur(s)ala quantit´eE[|X−a] e-elle minimale ?

Corrig´e : On s’inspire de l’exercice.

() On a, d’après le théorème de Fubini pour les fonions positives, Z ^∞

 t^k(−F(t))dt= Z ^∞

 t^kP(X > t) dt=E

"Z^∞

 t^k1X>tdt

#

=E

"Z X

 t^kdt

#

=E

"

X^k+

k+

# , d’o `u le r´esultat.

() On ´ecrit

Za

−∞

F(x)dx+ Z ^∞

a

(−F(x))dx = Za

−∞

P(X≤x) dx+ Z^∞

a

P(X > x) dx

= E

"Z a

−∞

1X≤xdx+ Z ^∞

a

1X>xdx

#

= E[1X≤a(a−X) +1X>a(X−a)]

= E[|X−a|].

() D’après la formule précédente,φ:a7→E[|X−a|] ede classeC^et tend vers l’infini en±∞. Doncφadmet un infimum et l’atteint en un pointatel queφ⁰(a) =, c’e-à-dire−F(a) =. L’ensemble des pointsatels que E[|X−a] atteint son minimum edonc l’ensemble des pointsatels queF(a) =/. CommeF ecroissante, il s’agit soit d’un point, soit d’un intervalle.

E xercice 13.

(Une inégalité)SoientXetY deux variables aléatoires réelles indépendantes, de même loi et intégrables.

Montrer queE[|X−Y|]≤E[|X+Y|].

Indication.On pourra utiliser le fait que pour touta∈R, on aR^∞

−∞

−cos(at)

t^ dt=π|a|.

Corrigé : D’après l’indication et le théorème de Fubini pour les fonions positives (−cos(x)≥pourx∈R), on a

πE[|Z|] =E

"Z^∞

−∞

−cos(Zt) t^ dt

#

= Z^∞

−∞

−E[cos(Zt)]

t^ dt.



(8)

Donc

πE[|X+Y| − |X−Y|] = Z ^∞

−∞

E[cos((X−Y)t)−cos((X+Y)t)]

t^ dt

= Z ^∞

−∞

E[sin(Xt) sin(Y t)]

t^ dt

= Z ^∞

−∞

E[sin(Xt)]E[sin(Y t)]

t^ dt (carXetY sont ind´ependantes)

= Z ^∞

−∞

E[sin(Xt)]^

t^ dt (carXetY ont mˆeme loi)

≥.

E xercice 14.

(Même loi ou pas même loi ?)SoientX,YetZdes variables aléatoires réelles définies sur un même espace de probabilité.

() On suppose queP(X=Y) =. Montrer queXetY ont la mˆeme loi. Montrer que la r´eciproque efausse.

() On suppose queXetYont la mˆeme loi.

(a) Soitf :R→Rune fonion mesurable. Montrer que les variables al´eatoiresf(X) etf(Y) ont la mˆeme loi.

(b) Montrer que les variables aléatoiresXZetY Zn’ont pas nécessairement la même loi.

Corrig´e :

. SiP(X=Y) =, alors pour toute fonion continue bornéeh:R→Ron a l’égalitéP(h(X)−h(Y) =) =et doncE[h(X)−h(Y)] =, de sorte queE[h(X)] =E[h(Y)], ce qui montre queXetY ont la même loi.

La réciproque efausse. Considérons une variable aléatoireXde loi normaleN(,) (c’e-à-dire de densité

√π⁻^e⁻^x^^/^par rapport à la mesure de Lebesgue). PosonsY=−X. AlorsY eune variable aléatoireXde loi normaleN(,). En effet soitg:R→Rune fonion continue bornée. Alors

E[g(Y)] = Z+∞

−∞

g(−x)e⁻^x^^/^dx= Z +∞

−∞

g(x)e⁻^x^^/^dx.

DoncXetY ont la même loi mais ne sont pas égales avec probabilité.

. (a) Pour toute fonion continue bornéeh:R→R, la fonionh◦f emesurable bornée. CommeXetY ont la même loi, on a

E[h◦f(X)] = Z

R

h(f(x))P_X(dx) = Z

R

h(f(x))P_Y(dx) =E[h◦f(Y)], ce qui montre quef(X) etf(Y) ont la mˆeme loi.

(b) On reprend les variablesXetY de la queion. SoitZ=X. AlorsXZ=X^etY Z=−X^. La loi deX^e une mesure de probabilité surR₊ (différente de la mesure de Dirac enδ_) et la loi de−X^ eune mesure de probabilité surR₋doncXZetY Zn’ont pas la même loi.

E xercice 15.

(Indépendance)SoientXetY deux variables aléatoires réelles indépendantes de densités respeivesf_X et fY. SoitF :R^ → R₊ une fonion mesurable. Montrer queE[F(X, Y)] =E[G(Y)] o ùG e la fonion définie par G(y) =E[F(X, y)] pour touty∈R.



(9)

Corrig´e :Tout d’abord, d’apr`es la formule de transfert : E[F(X, y)] =

Z

R

dxF(x, y)f_X(x).

Ensuite, commeXetYsont indépendantes, (X, Y) eà densité et af_X,Y(x, y) =f_X(x)f_Y(y) pour densité. Donc, d’après la formule de transfert et le théorème de Fubini :

E[F(X, Y)] = Z

R

Z

R

f xdyF(x, y)f_X(x)f_Y(y)

= Z

R

dyf_Y(y) Z

R

dxF(x, y)f_X(x)

!

= Z

R

dyf_Y(y)G(y)

= E[G(Y)]

o ù la dernière égalité provient du théorème de transfert.

Ainsi, lorsqu’on calcule des espérances faisant intervenir des variables aléatoires indépendantes, on peut faire l’espérancepar rapport à l’une des variablesen faisant comme si les autres étaient des quantités non aléatoires, puis en faisant l’espérance par rapport à une autre variable, et ainsi de suite.

E xercice 16.

(Permutations aléatoires)Soient (Xi)_≤i≤ndes variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi.

On suppose qu’elles sont `a densit´e.

() Montrer queP

∃i, j∈ {,, . . . , n}:i,jetX_i =X_j

=.

() Montrer qu’il exie une permutation al´eatoireσtelle queP

Xσ()<· · ·< Xσ(n)

=et que la loi deσeuniforme sur l’ensemble des permutations de{,, . . . , n}.

Corrig´e : () On a

P

∃i, j∈ {,, . . . , n}:i,jetX_i =X_j

≤ X

i,j∈{,,...,n},i,j

P

X_i=X_j .

Or, d’après le théorème de transfert, P

Xi=Xj

= E h1X_i=X_j

i

= Z

Rⁿ

dx_dx_· · ·dx_nf(x_)f(x_)· · ·f(x_n)1x_i=x_j

= Z

R^

dxdyf(x)^1x=y

= Z

R

dxf(x)^ Zx

x

dy

= .

D’o `u le r´esultat.

() SoitAl’événement{∀i, j∈ {,, . . . , n}: on aX_i,X_jsii,j}, de sorte queP(A) =par la première queion.

Sur l’événementA(c’e-à-dire siω∈A), les nombresX_, . . . , Xnpeuvent être rangés dans un ordreriement croissant. On peut donc définirσ de sorte queX_σ()<· · ·< X_σ_(n)lorsqueω∈A. Siω,A, on définitσ comme

étant égal à l’identité, de sorte queσ ebien définie surΩtout entier. CommeP A

=, on a P

X_σ_()<· · ·< X_σ_(n)

=P

{X_σ()<· · ·< X_σ_(n)} ∩A

=P(A) =



(10)

car par conruion les événements{X_σ_()<· · ·< X_σ_(n)} ∩AetAsont égaux.

Remarque.σ dépend deω, mais comme d’habitude en théorie des probabilités on n’écrit pas explicitement cette dépendance. Par ailleurs, le point un peu délicat equ’il faut définir surσ surΩtout entier, car une variable e par définition une application définie surΩ tout entier. C’e pour cela qu’il a fallu définirσ d’une part surA, et d’autre par sur le complémentaire deA.

Soit maintenantτune permutation fix´ee de{,, . . . , n}. Alors P

Xτ()<· · ·< Xτ(n)

=P(X_<· · ·< Xn).

Ceci provient simplement du théorème de transfert et du fait que le produitf(x_)· · ·f(x_n) ne change pas si on permutex_, . . . , xn. Ainsi, la probabilité

P(σ =τ) =P

X_τ()<· · ·< X_τ(n)

ne d´epend pas de la permutationτ. La permutation al´eatoireσsuit donc la loi uniforme sur les permutations de{,, . . . , n}.

E xercice 17.

(Sommes d’Erd˝os : exercice àdollars)Pour tout entiern≥, on notef(n) le plus grand entierk≥ tel qu’il exie des entiers diinsx_, . . . , x_k∈ {,, . . . , n}tels que les sommes qu’on puisse former en utilisant ces entiers (chacun étant utilisé au plus une seule fois) soient toutes différentes (on considère quexi tout seul eune somme).

Par exemple,f()≥, car en choisissant,,, les sommes qu’on peut former sont,,,+,+,+,++qui sont toutes diff´erentes. Par ailleurs, il eclair quef()≤et quef() =n’epas possible. En effet, sif() =, on doit choisir les entiers,,,et les deux sommes+=sont les mˆemes. Ainsi,f() =.

Erd˝os a conjeur´e qu’il exie une conanteC >telle que

pour tout entiern≥, f(n)≤ln_(n) +C (o `u ln_(x) =ln() ln(x)),

et a offertdollars à la première preuve corree. Cette conjeure n’a pas encore été prouvée (ou réfutée). Le but de cet exercice ede démontrer quef(n)≤ln_(n) +^_ln_(ln_(n)) +Cen utilisant des outils probabilies.

() Montrer quef(n)≥+bln_(n)c(o ùbxcdésigne la partie entière dex).

On fixe maintenantn≥et on considèrex_, . . . , x_k∈ {,, . . . , n}tels que les sommes qu’on puisse former en utilisant ces entiers soient toutes différentes. On va montrer l’exience deC(indépendant den) tel quek≤ln_(n) +^_ln_(ln_(n)) +C.

Pour cela, on considère des variables aléatoiresB_, . . . , B_k indépendantes de même loi Bernoulli de paramètre/. On poseX=B_x_+· · ·+B_kx_k.

() Soitλ >. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que P

|X−E[X]|< λn

√k/

≥−  λ^.

() Montrer que pour tout entierxon a soitP(X=x) =, soitP(X=x) =⁻^k. En remarquant qu’il y a au plusλn

√k+

entiersxtels que|x−E[X]|< λn

√

k/, en d´eduire que P

|X−E[X]|< λn

√ k/

≤⁻^k(λn

√ k+).

() Conclure en prenantλ=√

.



(11)

Corrig´e :

() En prenant l’ensemble {^,^,^, . . . ,^b^ln^⁽ⁿ⁾^c}, pour lequel les sommes sont toutes diff´erentes, on voit que f(n)≥+bln_(n)c.

() Tout d’abord, comme la variance d’une somme de variables al´eatoires ind´ependantes dansL^ela somme des variances, on a

Var(X) = Xk

i=

x^_iVar(B_i) = 

 Xk

i=

x^_i ≤ kn^

 . D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on en déduit que

P

|X−E[X]|< λn

√k/

=−P

|X−E[X]| ≥λn

√k/

≥− Var(X)

λ^n^k/≥−  λ^

() Six∈Zne peut pas s’écrire comme une somme à partir des (x_i)_≤i≤k, alorsP(X=x) =. Six∈Zpeut s’écrire comme une somme des (x_i)_i≤i≤k, alors par hypothèse ce n’epossible que d’une manièrex=Pk

i=jixi avec j_i∈ {,}, et dans ce casP(X=x) =P(B_i=j_ipour tout≤i≤k) =_^_k par ind´ependance deB_, . . . , B_k.

Ensuite, un intervalle ouvert de longueurucontient au plusu+entiers. Ainsi, P

|X−E[X]|< λn

√ k/

= X

x∈Z:|x−E[X]|<λn

√ k/

P(X=x)≤ X

x∈Z:|X−E[X]|<λn

√ k/



^k. Donc

P

|X−E[X]|< λn

√ k/

≤=⁻^k(λn

√ k+) () Ainsi,

− 

λ^ ≤⁻^k(λn

√ k+), et en prenantλ=√

et en utilisant le fait queλn

√

k+≤λn√

k, on obtient ^_≤⁻^k√

n√

ket donc k+ ln_( 

√

)≤ln_(n) +

ln_(k) et donc (en r´einjeant et en utilisant le fait quek≤n)

k+ ln_( 

√

)≤ln_(n) +

ln_ ln_(n) +

ln_(k)−ln_( 

√

)

!

≤ln_(n) +

ln_ 

ln_(n)

. Donc

k≤ln_(n) +

ln_(ln_(n)) + ln_ √



! .

E xercice 18.

(Théorème).SoientXetY deux variables aléatoires réelles indépendantes de même loi. Démontrer que

P(|X−Y| ≤)≤P(|X−Y| ≤).

Corrig´e : Ce n’epas du tout facile ! Voirhttp://www.math.tau.ac.il/˜nogaa/PDFS/.pdf



 Ve eurs de variables aléatoires réelles à densité

X  – MAP 

PC  – Mercredi  mai  – Lois et espérances Corrigé des que ions peu ou non abordées en PC

 Ve eurs de variables aléatoires réelles à densité

E xercice 3.

 Propriétés générales de l’espérance

E xercice 4.

E xercice 5.

E xercice 6.

 Exercice `a chercher pour la prochaine fois

E xercice 7.

 Plus appliqu´e (hors PC)

E xercice 8.

E xercice 9.

E xercice 10.

E xercice 11.

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 12.

E xercice 13.

E xercice 14.

E xercice 15.

E xercice 16.

E xercice 17.

E xercice 18.

E ^{xercice 3.}

E ^{xercice 4.}

E ^{xercice 5.}

E ^{xercice 6.}

E ^{xercice 7.}

E ^{xercice 8.}

E ^{xercice 9.}