Chapitre 8 Variables aléatoires à densité

(1)

Variables al´ eatoires ` a densit´ e

(2)

1 Notion de variables aléatoires à densité 2

1.1 Un premier exemple : loi uniforme sur [0,1]. . . 2

1.2 Densit´es de probabilit´es . . . 5

1.3 Définition des variables à densité . . . 9

1.4 Fonctions de r´epartition . . . 15

1.5 Fonction d’une variable aléatoire à densité . . . 20

2 Moments d’une variable aléatoire à densité 24 3 Lois usuelles 31 3.1 Loi uniforme . . . 31

3.2 Loi exponentielle . . . 34

3.3 Loi normale . . . 38

3.4 Simulation de loi . . . 44

4 Fonction de variables ind´ependantes 50 4.1 Notions de variables ind´ependances . . . 50

4.2 Maximum et minimum de variables à densité indépendantes . . . 54

4.3 Sommes de variables à densité indépendantes . . . 56

4.4 Sommes de gaussiennes ind´ependantes . . . 59

5 Exercices du td 61 5.1 Exercices `a chercher . . . 61

5.2 Exercices `a faire pendant la classe . . . 62

5.3 Exercices bonus . . . 64

(3)

L’ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire discrète est fini ou dénombrable. L’objet de ce chapitre est l’étude d’un autre type de variables aléatoires : les variables aléatoires à densité qui peuvent prendre une infinité non dénombrable de valeurs.

+ Mise en garde :

Bien relire toutes les notions vues dans le chapitre ”Espaces probabilis´es et variables al´eatoires” avant de commencer ce chapitre !

Dans tout ce chapitre, (Ω,T, P) sera un espace probabilis´e et X et Y deux variables al´eatoires sur cet espace.

1 Notion de variables al´ eatoires ` a densit´ e

1.1 Un premier exemple : loi uniforme sur [0, 1].

Soit X un nombre pris au hasard dans [0,1].

• F, sa fonction de r´epartition, est la fonction d´efinie sur R suivante :

F :x7→







0 si x ∈]− ∞,0]

x si x ∈[0,1]

1 si x ∈[1,+∞[

• Pour tout r´eel a, on a :

P(X =a) = 0.

Proposition 1

* Remarque :

Ainsi, pour étudier la variable aléatoireX avec X un nombre pris au hasard dans [0,1], on ne peut pas se servir du concept de loi comme pour les variables discrètes. Il faut donc trouver un autre outil que l’on va détailler dans tout ce chapitre.

SoientX un nombre pris au hasard dans [0,1] etF sa fonction de r´epartition. Pour tout r´eel a, on a :

F(a) = Z a

−∞

f(t)dt avecf :







R ^- R

t ^-

(1 si t ∈[0,1]

0 sinon

. Proposition 2

(4)

pas en escalier (comme pour les variables discrètes). Pour les étudier, on va introduire le concept de densités.

Soit F la fonction d´efinie sur Rpar : F :x7→

Z x

−∞

f(t)dt

avecf une fonction d´efinie sur R, positive ou nulle, continue sauf ´eventuellement en un nombre fini de points telle que

Z +∞

−∞

f(t)dt converge et vaut 1. F vérifie les propriétés suivantes :

• F est croissante.

• lim

x−→−∞(F(x)) = 0 et lim

x−→+∞(F(x)) = 1.

• Pour tout r´eel x, 06F(x)61.

• F est continue en tout point.

On peut conclure queF est une fonction de r´epartion.

Proposition 3

1.2 Densit´ es de probabilit´ es

Soit f une fonction numérique définie surR. On dit quef est une densité de probabilité si les trois conditions suivantes sont vérifiées :

• f est positive ou nulle.

• f est continue sauf éventuellement en un nombre fini de points (f y est tout de même définie).

• Z +∞

−∞

f(t)dt converge et Z +∞

−∞

f(t)dt = 1.

D´efinition 4

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente définition. On n’a jamais dit que, pour tout réel t, on devait avoirf(t)∈[0,1]. Ne pas confondre densité et probabilité.

M´ethode:

Pour montrer qu’une fonction numérique f est bien une densité, on suit ces trois étapes :

1. On vérifie quef est définie surRet continue sauf éventuellement en un nombre fini de points.

2. On s’assure que f est positive ou nulle.

3. On prouve que Z +∞

−∞

f(x)dx existe et vaut 1. C’est en général le point le plus difficile, on va faire une méthode à part pour rappeler comment faire.

(5)

M´ethode:

Soit f une fonction num´erique d´efinie sur R. On suppose f continue par morceaux. On rappelle comment prouver la convergence de

Z +∞

−∞

f(t)dt.

1. Si f est continue alors Z +∞

−∞

f(t)dt converge si et seulement si Z 0

−∞

f(t)dt et Z +∞

0

f(t)dt convergent et on pose :

Z +∞

−∞

f(t)dt = Z 0

−∞

f(t)dt+ Z +∞

0

f(t)dt.

On a utilisé la relation de Chasles et on a décidé de couper en passant par 0. On aurait pu prendre n’importe quel réel à la place.

2. On suppose désormais quef a des points de discontinuités. On note a₁,· · · , a_n (avecn entier naturel non nul) ses points de discontinuité, on suppose que :

a₁ < a₂ <· · ·< a_n et on pose a₀ = −∞et a_n+1 =∞. On rappelle que

Z +∞

−∞

f(t)dt converge si et seulement si, pour tout k deJ0, nK,

Z a_k+1 ak

f_k(t)dt converge. On pose alors :

Z +∞

−∞

f(t)dt =

n

X

k=0

Z a_k+1 ak

f(t)dt

.

* Remarque :

Soient a etb deux éléments deR∪ {+∞,−∞ }. Soient f et g deux fonctions numériques à variable réelle.

1. Si f et g ne diff`erent de f qu’en un nombre fini de r´eels alors Z b

a

f(t)dt et Z b

a

g(t)dt sont de mˆeme nature et, en cas de convergence, on a :

Z b a

f(t)dt= Z b

a

g(t)dt.

2. Supposonsa < betfnulle surR\Ien notantIl’intervalle d’extr´emit´esaetbalors Z +∞

−∞

f(t)dt et

Z b a

f(t)dt sont de mˆeme nature et, en cas de convergence, on a : Z +∞

−∞

f(t)dt= Z b

a

f(t)dt.

(6)

, Exemple :

Voici quelques densit´es de probabilit´es :

f₁ :











R ^- R

t ^-





 1

2 sit ∈[0,2]

0 sinon

et f₂ :







R ^- R

t ^- 1

2exp(−|t|)

f₃ :







R ^- R t 7→

(3 exp(−3t) si t >0 0 sinon

et f₄ :











R ^-R t 7→

(cos(t) si t ∈h 0,π

2 i 0 sinon

0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0.8 y=f_1(x)

10 5 0 5 10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5 y=f_2(x)

0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

2.5 y=f_3(x)

0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.2 y=f_4(x)

Les trois fonctions suivantes ne sont pas des densit´es de probabilit´es : f :t7→t, g :t7→ 1

t² et h:t7→





 1

t² si t 6= 0 1 sinon

.

* Remarque :

On note que les densité de probabilité ne sont pas forcément continues par morceaux. Par exemple,

(7)

soit f la fonction d´efine par :

f :











R → R

t 7→





 1 8√

t si 0< t616 0 sinon

f n’est pas continue par morceaux mais f est tout de même une densité de probabilité.

- Exercice 1 :

Montrer que la fonction f suivante est une densit´e de probabilit´e : f :t 7→





 texp

−t² 2

si t >0 0 sinon

1.3 D´ efinition des variables ` a densit´ e

+ Mise en garde :

Bien relire la définition et les propriétés de la fonction de répartition vues dans le chapitre ”Espaces probabilisés et variables aléatoires”.

On dit que X est une variable aléatoire continue (ou que X est une variable aléatoire à densité) si sa fonction de répartition F vérifie que, pour tout réel x, on a :

F(x) = Z x

−∞

f(t)dt

avec f une densité de probabilité. On dit alors quef est une densité de X.

D´efinition 5

* Remarque :

Si f est une densité de probabilité alors, pour tout réel x, Z x

−∞

f(t)dt existe d’apr`es la relation de Chasles puisque

Z +∞

−∞

f(t)dt existe. On peut aussi invoquer le théorème de majoration, on peut appliquer ce théorème car f est positive et intégrable sur R donc, pour tout réel x,

Z x

−∞

f(t)dt est major´ee par

Z +∞

−∞

f(t)dt, soit 1.

+ Mise en garde :

(8)

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente définition. Soit x un réel. La probabilité de l’événement P (X 6x) s’interprète donc comme une aire. Ainsi, si X est une variable aléatoire dont une densité est :

f :







R ^- R

t ^- 1

2exp(−|t|)

alors la probabilité de l’événement (X 62) est l’aire (en unité d’aire) du domaine grisé ci-dessous :

10 5 0 5 10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5 y=f_2(x)

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente définition. Une telle fonction f n’est pas unique. Toute fonction g ne différant de f qu’en un nombre fini de points est aussi une densité de X. On dit donc unedensité de X et pas la densité de X.

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente définition.

1. On dit parfois que f est la loi de X. Donner la loi d’une variable aléatoire à densité X, c’est justifier que X admet une densité et en donner une. De toutes fa¸cons, énoncer les P(X =x) avec x décrivant X(Ω), n’a peu d’intérêt puisque, pour tout réel x, on a P(X =x) = 0.

2. De même, donnerX(Ω) n’est pas évident (et n’a pas beaucoup d’intérêt) pourX une variable

`

a densité. On préfère donner le support deX. On dit qu’un sous-ensemble E deX(Ω) est un support de X si P(X ∈E) = 1.

, Exemple :

Si on note X₁ (resp. X₂, X₃ et X₄) une variable aléatoire à densité ayant par exemple f₁ (resp. f₂, f₃ et f₄) comme densité, alors :

(9)

• Un support de X₁ est [0,2]. Un autre est par exemple [0,50] . En revanche, [0,1] n’est pas un support de X₁.X₁(Ω) est délicat à décrire.

• Un support de X₂ est R.

• Un support de X₃ est R+.

• Un support de X₄ est h 0,π

2 i

. M´ethode:

On utilise les notations de la précédente définition. On peut passer facilement de densité à fonction de répartition :

• En partant d’une densit´e :

Pour avoir la fonction de répartition de X à partir d’une densité f, il suffit d’intégrer cette densité f :

F :x7→

Z x

−∞

f(t)dt.

• En partant de la fonction de r´epartition :

Pour avoir une densité f à partir de la fonction de répartition F de X, il suffit de dériver.

Une densit´e f deX est d´efinie par :

f :







R ^- R

t ^-

(F⁰(t) si F⁰(t) existe 0 sinon

On note qu’on aurait pu mettre n’importe quelle valeur positive pour f(t) en un r´eel t tel que F n’est pas d´erivable en t.

, Exemple :

En int´egrant ces diff´erentes fonctions :

f₁ :











R ^- R

t ^-





 1

2 sit ∈[0,2]

0 sinon

et f₂ :







R ^- R

t ^- 1

2exp(−|t|)

f₃ :







R ^- R t 7→

(3 exp(−3t) si t >0 0 sinon

et f₄ :











R ^-R t 7→

2 i 0 sinon

on obtient des fonctions de r´epartitions :

F₁ :











R ^-R

t ^-







· · · si t ∈[0,2]

· · · si t60

· · · sinon

et F₂ : (

R ^- R t ^- · · ·

(10)

F₃ :







R ^- R t 7→

(· · · si t >0

· · · sinon

et F₄ :











R ^- R

t 7→











· · · si t ∈h 0,π

2 i

· · · si t60

· · · sinon

0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.2

y=f_1(x)

y=F_1(x)

10 5 0 5 10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

1.0

y=f_2(x)

y=F_2(x)

(11)

0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0

2.5

y=f_3(x)

y=F_3(x)

0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.2

y=f_4(x)

y=F_4(x)

Au passage, on peut conjecturer quelques propriétés des fonctions de répartition.

Soit f une densité de probabilité, il existe une variable aléatoire X ayant f comme densité.

Proposition 6

(12)

1.4 Fonctions de r´ epartition

Soit F la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité X. On note f une densité de X. On a les propriétés suivantes :

• F est croissante.

• F est continue.

• lim

x−→−∞(F(x)) = 0 et lim

x−→+∞(F(x)) = 1.

• F est de classe C¹ sauf ´eventuellement en un nombre fini de points. En dehors de ces points, on a F⁰ =f.

Proposition 7

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente proposition. Les propriétés suivantes :

• F est croissante

• lim

x−→−∞(F(x)) = 0

• lim

x−→+∞(F(x)) = 1

• F est, en tout point, continue `a droite

ne sont pas spécifiques des fonction de répartition de variables aléatoires à densité. Elles sont valables aussi pour les fonction de répartition de variables discrètes.

Soit F la fonction de répartition d’une variable aléatoire X (variable aléatoire dont on ne sait pas si elle est ou non à densité).

• Si on prouve que F est continue sur R et est de classeC¹ sauf ´eventuellement en un nombre fini de points alors on peut affirmer que X est une variable al´eatoire

`

a densit´e.

• Au passage, si on est dans le cas précédent, une densité f deX est définie par :

f :







R ^- R

t ^-

Proposition 8

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente proposition. A la place de 8563, on aurait pu prendre pour f(x), en un réel x tel que F⁰(x) n’existe pas, une valeur quelconque positive. On rappelle que toute fonction g ne différant de f qu’en un nombre fini de points est aussi une densité de X.

M´ethode:

Soit Y une variable aléatoire. Pour prouver que Y est une variable à densité, il faut donc suivre ces

´etapes :

1. Expliciter sa fonction de r´epartition F, il faut donc calculer, pour tout r´eel y,P(Y 6y).

(13)

2. S’assurer que F est continue surR et est de classe C¹ sauf ´eventuellement en un nombre fini de points.

Si on souhaite maintenant évaluer une densitéf deY, il suffit de dériver et prendre (par exemple) :

f :







R ^- R

t ^-

Soit F la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité X. On note f une densité de X. On a les propriétés suivantes :

• Pour tout r´eel a, on a :

P(X =a) = 0 P(X 6a) =P(X < a) =

Z a

−∞

f(t)dt P(X >a) = P(X > a) =

Z +∞

a

f(t)dt.

• Pour tous r´eels a et b tels que a6b, on a :

P(a 6X 6b) =P(a < X < b) =P(a < X 6b) =P(a6X < b) = Z b

a

f(t)dt.

De manière générale, si D est un intervalle de R ou une union d’intervalles de R, alors on a :

P(X ∈D) = Z

D

f(t)dt.

Proposition 9

* Remarque :

1. Pour une variable aléatoire à densité, la probabilité d’un événement s’interprète donc comme une aire. Par exemple, si X est une variable aléatoire dont une densité est :

f :







R ^- R

t ^-

(3 exp(−3t) si t >0

0 sinon

La probabilité de l’événement X ∈ [0,3; 0,9] est l’aire (en unité d’aire) du domaine grisé ci-dessous :

(14)

0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0

2.5 y=f_3(x)

2. Au passage, lorsque f est nulle sur un intervalle I, on a donc P(X ∈I) = 0. Ainsi X a même loi que la variable aléatoireY définie par :

Pour toutω de Ω,Y(ω) =

(X(ω) siX(ω) 6∈I

a sinon

avec a un réel n’appartenant pas à I. Quitte à remplacerX par Y, ce qui ne change rien aux calculs de probabilités, on peut donc supposer queX ne prend aucune valeur dans I.

1.5 Fonction d’une variable al´ eatoire ` a densit´ e

SoitX une variable aléatoire à densité. Soit ϕune fonction dont l’ensemble de définition contient X(Ω) et qui est continue sur son ensemble de définition sauf éventuellement en un nombre fini de points.ϕ(X) est une variable aléatoire.

Proposition 10

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente proposition. ϕ(X) est une variable aléatoire. En revanche, il n’est pas sûr que ϕ(X) soit une variable à densité (Faire la différence avec ce qui se passait pour les variables discrètes, on rappelle que siX est discrète, ϕ(X) l’est). Pour le savoir, il faut utiliser la méthode (déjà vue) pour prouver qu’une variable est à densité.

(15)

Nous allons maintenant nous intéresser à deux cas particuliers pour lesquels ϕ(X), avec ϕ une fonction et X une variable aléatoire à densité, est une variable aléatoire à densité.

Soient a et b deux réels et X est une variable aléatoire de densité f. On appelle Y la variable aléatoire définie par Y =aX +b. Si a6= 0 alors :

• Y est aussi une variable aléatoire à densité.

• Sa fonction de r´epartition de , F_Y, est donn´ee par : F_Y :y7→F_X

y−b a

si a >0 et F_Y :y7→1−F_X

y−b a

sia <0.

en notant F_X la fonction de r´epartition deX.

• En d´erivant, on obtient qu’une densit´ef_Y deY est : f_Y :y7→ 1

|a|×f_X

y−b a

. Proposition 11

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente proposition. Sia= 0 alorsaX+b est une variable discrète.

Soient X est une variable aléatoire de densitéf et n un entier naturel.Xⁿ est aussi une variable aléatoire à densité.

Proposition 12

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente proposition. En particulier, X² est une variable à densité.

Trouver une de ses densit´es est un exercice tr`es classique.

- Exercice 2 :

Soit X une variable aléatoire de densitéf. Montrer que X² est aussi une variable aléatoire à densité et donner une de ses densités.

* Remarque :

Soit X une variable aléatoire de densité f. Soit ϕ une fonction bijective de classe C¹ surX(Ω). On peut prouver queϕ(X) est une variable à densité (mais ce n’est pas au programme). On peut prouver qu’une densité de ϕ(X) est donné par la fonction définie sur R par :

f :t7→







f(ϕ⁻¹(t))

|ϕ⁰(ϕ⁻¹(t))| si t ∈ϕ(X(Ω)) 0 sinon

(16)

2 Moments d’une variable al´ eatoire ` a densit´ e

Soit X une variable al´eatoire de densit´e f. Si Z +∞

−∞

tf(t)dt est absolument convergente, on dit que X admet une esp´erance. Dans ce cas, on appelle esp´erance de X et on note E(X) la valeur

Z +∞

−∞

tf(t)dt.

D´efinition 13

* Remarque :

1. Ne pas hésiter à faire entre un parallèle Z +∞

−∞

tf(t)dt avec la formule de l’esp´erance du cas discret qui ´etait x₁×P(X =x₁) +x₂×P(X =x₂) +x₃×P(X =x₃) +· · ·

2.

Z +∞

−∞

tf(t)dt est absolument convergente si Z +∞

−∞

tf(t)dt converge (attention, ceci est vrai pour les fonctions à densité, pas pour toutes les fonctions définies sur R).

3. Si f etg sont deux densit´es de X alors Z +∞

−∞

|tf(t)|dt et Z +∞

−∞

|tg(t)|dt sont de mˆeme nature.

Le fait que X admette ou non une espérance ne dépend pas de la densité choisie pour X.

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente définition. Une variable aléatoire à densité n’admet pas forcément d’espérance : Il ne faut donc pas manipulerE(X) avec X une variable aléatoire à densité sans prouver auparavant que X admettait une espérance, i.e. prouver la convergence absolue de Z +∞

−∞

tf(t)dt.

+ Mise en garde :

On se rend compte que cette définition d’espérance est conforme aux propriétés nécessaires pour être appelée ”Espérance”. En découlent alors les notions et propriétés vues dans le chapitre ”Espaces probabilisés et variables aléatoires” :

• Lin´earit´e, croissance.

• définition et propriétés de la variance, des moments de manière plus générale.

• Notion de variable r´eduite, centr´ee.

• Inégalités de Markov, de Bienaymé-Tchebychev.

- Exercice 3 :

Soient f et g les fonctions suivantes :

f :











R ^- R

t ^-

(cos(t) sit ∈h 0,π

2 i

0 sinon

et g :







R ^- R

t ^- 1

π(1 +t²)

(17)

1. Montrer quef etg sont des densit´es de probabilit´e.

2. SoientX une variable à densité dont f est une densité et Y une variable à densité dont g est une densité.

(a) X admet-elle une esp´erance ? Si oui, ´evaluer la.

(b) Y admet-elle une esp´erance ? Si oui, ´evaluer la.

Th´eor`eme de transfert.

Soit X une variable aléatoire de densité f. Soit Φ une fonction définie sur un ensemble contenant X(Ω). Si

Z +∞

−∞

Φ(t)f(t)dt est absolument convergente alors E(Φ(X)) existe et vaut :

E(Φ(X)) = Z +∞

−∞

Φ(t)f(t)dt.

Sinon, Φ(X) n’admet pas d’esp´erance.

Th´eor`eme 14

* Remarque :

On utilise les notations du précédent théorème. On remarque que ce théorème est bien pratique puisqu’il permet de s’intéresser à l’éventuelle espérance de Φ(X) sans avoir à évaluer une densité de Φ(X).

, Exemple :

1. Avec le théorème du transfert, on peut facilement calculerE(X²) avecXune variable aléatoire de densitéf avec :

f :t7→

2 i 0 sinon

On a alors, si E(X²) existe, E(X²) vaut...

2. On utilise les notations du précédent théorème. Cela marche aussi si Φ(X) n’est pas une variable aléatoire à densité et X est une variable à densité. Par exemple, X une variable aléatoire de densité f avec :

f :t7→





 1

2 sit ∈[1,3]

0 sinon

alors E(Φ(X)) o`u Φ est la partie enti`ere existe,E(Φ(X)) vaut...

.

On peut déduire du théorème du transfert la proposition suivante :

(18)

Soient (Ω,T, P) un espace probabilisé etXune variable aléatoire à densité sur (Ω,T, P).

Soit r un entier naturel non nul.

• Si E(X^r) existe alors, pour toutk deJ1, rK,E(X^k) existe.

• E(X^r) existe si et seulement si E((X−E(X))^r) existe.

Proposition 15

+ Mise en garde :

Admettre une variance est plus difficile que d’admettre une espérance. SiX est une variable à densité alors :

• Si X admet une variance,X admet une esp´erance.

• Si X admet une esp´erance, il se peut que X n’ait pas de variance. Par exemple, si X est une variable de densit´ef avec :

f :t7→





 2

t³ si t >1 0 sinon

X a une esp´erance, elle vaut 2.X n’admet pas de variance.

- Exercice 4 :

Soit X de densité de probabilité f avec f la fonction définie par :

∀x∈R, f(x) = 1

21[−1,1](x).

Montrer que X est bien définie puis déterminer, si elle existe, l’espérance de X².

3 Lois usuelles

3.1 Loi uniforme

Soit X une variable aléatoire. On dit que X suit la loi uniforme sur [a, b] avec a et b deux réels tels que a < b si une densité f de X est :

f :











R ^- R

t ^-





 1

b−a si t ∈[a, b]

0 sinon On note alors X ,→ U([a, b]).

D´efinition 16

* Remarque :

(19)

1. On note quef est bien une densité de probabilité puisque f est positive ou nulle,f est continue sauf éventuellement en un nombre fini de points et

Z +∞

−∞

f(t)dt converge et vaut bien 1.

2. Un support de X est [a, b].

+ Mise en garde :

Ne pas confondre avec la loi uniforme sur discr`ete ! Ne pas confondreU([a, b]) (aveca etb deux r´eels tels que a < b) et U(Ja, bK) (avec a et b deux entiers tels que a < b) !

Soit X une variable al´eatoire suivant la loi uniforme sur [a, b] avec a et b deux r´eels tels quea < b.

• F, sa fonction de r´epartition, est la fonction d´efinie sur R suivante :

F :x7→











0 si x ∈]− ∞, a]

x−a

b−a si x ∈[a, b]

1 si x ∈[b,+∞[

• X admet une esp´erance, elle vaut :

E(X) = a+b 2 .

• X admet une variance, elle vaut :

V(X) = (b−a)² 12 . Proposition 17

On vous donne maintenant le graphe d’une densité d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [−2,3] ainsi que sa fonction de répartition :

4 3 2 1 0 1 2 3 4

0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

4 2 0 2 4 6

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(20)

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. Pour tout couple (x;y) de [a, b]² tels quex < y, on a :

P(X ∈[x, y]) = y−x b−a.

Ainsi, la probabilité que X appartienne à un intervalle inclus dans [a;b] est proportionnelle à la longueur de cet intervalle.

3.2 Loi exponentielle

Soit X une variable aléatoire. On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre λ avecλ un réel strictement positif si une densitéf deX est :

f :







R ^- R

t ^-

(λexp(−λt) si t >0 0 sinon

On note alors X ,→ E(λ).

D´efinition 18

* Remarque :

Z +∞

−∞

2. Un support de X est R+.

Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ avec λ un réel strictement positif.

• F, sa fonction de r´epartition est la fonction d´efinie sur R suivante : F :x7→

(0 si x ∈]− ∞,0]

1−e^−λx si x ∈[0,+∞[

• X admet une esp´erance, elle vaut :

E(X) = 1 λ.

• X admet une variance, elle vaut :

V(X) = 1 λ². Proposition 19

(21)

Voici le graphe d’une densité d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre 1

2 ainsi que sa fonction de r´epartition :

2 0 2 4 6 8

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

2 0 2 4 6 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Loi Fonction de r´epartition

* Remarque :

Voici une situation typique modélisée par cette loi. On note X la durée de vie mesurée à partir de l’instant 0 d’un phénomène tel que les deux conditions suivantes soient vérifiées :

1. Ce phénomène dure en moyenne α en unité de mesure.

2. La durée qui reste à vivre à tout instant t positif ne dépend pas de l’instant t (phénomène sans vieillissement).

alors X suit une loi de exponentielle de param`etre 1

α (et pasα, attention ! ! !)

• Ainsi, si X est la durée de vie d’un atome radioactif avant désintégration alors X suit une loi exponentielle de paramètre λ(que l’on appelle constante de désintégration). 1

λ est alors la durée de vie moyenne de cet élément.

• On considère souvent que la durée de vie d’un composant électronique suit une loi exponentielle. Imaginons par exemple que T représente la durée de vie d’une ampoule à LED : la probabilité qu’elle dure au moinss+t heures sachant qu’elle a déjà durétheures sera la même que la probabilité de durer s heures à partir de sa mise en fonction initiale (Le fait qu’elle ne soit pas tombée en panne pendant t heures ne change rien à son espérance de vie à partir du tempst). On n’utilise pas cette loi pour une ampoule à filament puisque le filament vieillit (car il s’évapore lors de l’utilisation).

• Si X est la durée de vie d’un être humain alors X ne suit pas une loi exponentielle (à cause du phénomène de vieillissement).

* Remarque :

On ne s’attend pas à ce que les élèves modélisent des situations en utilisant une loi exponentielle.

C’est l’énoncé qui précisera que la situation sera modélisée par une loi exponentielle.

(22)

Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ avec λ un réel strictement positif. Pour tout réel positif s et t, on a :

P_(X>s)(X >s+t) = P(X >t).

Proposition 20

* Remarque :

On dit que la loi exponentielle est une loisans mémoire. C’est même la seule loi à densité ainsi.

Plus précisément, siX est une variable aléatoire alors X suit une loi exponentielle si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées :

1. X(Ω) =R⁺.

2. ∀(s, t)∈(R⁺)², P_(X>s)(X >s+t) =P(X >t).

3. ∀s ∈R⁺, P(X > s)6= 0.

3.3 Loi normale

Z +∞

−∞

exp

−t² 2

dt converge et vaut √ 2π.

Proposition 21

Soit X une variable aléatoire. X suit la loi normale de paramètres (m, σ²) avec m un réel etσ un réel strictement positif si une densité f de X est :

f :t7→ 1 σ√

2π exp

−(t−m)² 2σ²

On note alors X ,→ N(m, σ²).

D´efinition 22

* Remarque :

Z +∞

−∞

2. Si X ,→ N(0,1), on dit queX suit la loi normale centr´ee r´eduite.

le graphe d’une densité d’une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite ainsi que sa fonction de répartition :

(23)

3 2 1 0 1 2 3 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

3 2 1 0 1 2 3

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Loi Fonction de r´epartition

* Remarque :

1. Le théorème centrale limite, que nous verrons à la fin de l’année démontre que la loi normale permet de calculer une bonne approximation de la somme de variables aléatoires indépendantes de même loi. On pourra donc modéliser grâce à cette loi une suite d’expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d’expériences sera assez élevé. Grâce à cette propriété, la loi normale permet d’approcher d’autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses

´

etudes scientifiques comme des mesures d’erreurs ou des tests statistiques.

2. On ne s’attend pas à ce que les élèves modélisent des situations en utilisant une loi normale.

C’est l’énoncé qui précisera que la situation sera modélisée par une loi normale.

- Exercice 5 :

Soit A une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètre (3,2). Déterminer la probabilité que le polynôme P :x7→x² −Ax+ 1 n’admette pas de racine réelle.

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres (m, σ²) avec m un réel etσ un réel strictement positif. Soient a un réel non nul etb un réel. On a :

aX+b ,→ N(am+b, a²σ²).

Proposition 23

* Remarque :

(24)

2. En particulier, si X ,→ N(m, σ²) alors X^?, d´efinie par X^? = X−m

σ , suit une loi normale centr´ee r´eduite.

3. On peut donc, grâce à cette dernière proposition, utiliser la table de loi normale centrée réduite sur R⁺pour approximer la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant une loi normale. On la verra dans le chapitre ”Statistique inférentielle”.

SoitXune variable aléatoire. On suppose queXsuit la loi normale de paramètres (m, σ²) avecm un réel et σ un réel strictement positif .

• X admet une esp´erance, elle vaut m.

• X admet une variance, elle vaut σ². Proposition 24

On note Φ la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. Φ vérifie les deux propriétés suivantes :

• Φ(0) = 1 2.

• Pour tout r´eel x, Φ(x) + Φ(−x) = 1.

Proposition 25

* Remarque :

1. La deuxième proposition est vraie pour toute fonction de répartition de variable à densité dont une densité est paire. Cette proposition se comprend aisément quand on regarde de nouveau le graphe d’une densité d’une loi normale centrée réduite :

(25)

3 2 1 0 1 2 3 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

2. On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. Φ est donc la fonction suivante : Φ :x7→

Z x

−∞

√1

2π exp

−t² 2

dt.

On ne sait pas expliciter Φ, on utilise des tables de loi normale pour l’approximer.

3. On note que Φ n’est pas la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant une loi normale quelconque mais la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.

3.4 Simulation de loi

SoitXune variable aléatoire à densité. On noteF sa fonction de répartition. On suppose que F est strictement croissante. Soit U une variable aléatoire à densité suivant une loi uniforme sur [0,1].F⁻¹(U) est alors une variable à densité etF⁻¹(U) a même loi queX.

Proposition 26

* Remarque :

1. On utilise cette proposition pour simuler une variableXà densité dont la fonction de répartition

(26)

2. On remarque que la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle n’est pas strictement croissante. Si on note X une variable aléatoire à densité et F sa fonction de répartition alors en introduisant la fonction Q définie sur ]0; 1[ par :

∀y ∈]0; 1[, on pose : Q(y) = inf ({x∈R tel que F(x)>y}),

on obtient queX etQ(U), avecU une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0,1], ont même loi. On remarque que Q est bien définie (car F est croissante) et, si F est strictement croissante, Q etF⁻¹ sont confondues.

6 Un peu de python:

Listing 1 – loiunifab.py def uni(a, b):

r e t u r n (b-a)*np.r a n d o m.r a n d()+a

def S i m u l(n,a, b):

r e t u r n [ uni(a, b) for i in r a n g e(n)]

def Loi(n, a, b):

c=[ uni(a, b) for i in r a n g e(n)]

plt.h i s t(c,30 , n o r m e d=1)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.30Loi d'une variable uniforme sur [0,4] avec 50000 répétitions

2 0 2 4 6 8 10

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

0.10Loi d'une variable uniforme sur [-2,9] avec 50000 répétitions

6 Un peu de python:

Listing 2 – loiexp.py def e x p o(mu):

r e t u r n -np.log(1 -np.r a n d o m.r a n d()) /mu

def Loi(n, mu):

a=[ e x p o(mu) for i in r a n g e(n)]

plt.h i s t(a,30 , n o r m e d=1)

(27)

0 1 2 3 4 5 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

Loi d'une variable exponentielle de paramètre 2 avec 5000 répétitions1.8

0 20 40 60 80 100

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Loi d'une variable exponentielle de paramètre 0.1 avec 5000 répétitions0.09

* Remarque :

Python propose déjà la loi exponentielle toute faite, il suffit de taper np.random. exponential ( beta , N ) pour avoir une liste de N tirages suivant une loi de exponentielle de paramètre 1

β.

* Remarque :

On utilise cette même idée pour les lois normales. On se ramène d’abord à une loi normale centrée réduite en utilisant le fait que X−m

σ ,→ N(0,1) si X ,→ N(m, σ²). Cependant, on ne connaˆıt pas de forme explicite de Φ, la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Il faudra utiliser des approximations : la fonctionnorm.ppfdu module scipy.statsnous fournit une approximation de Φ⁻¹.

6 Un peu de python:

Listing 3 – loinorm.py def n o r m a(m,s):

x= np.r a n d o m.r a n d()

r e t u r n s*sst.n o r m.ppf(x)+m

def Loi(n,m,s):

a=[ n o r m a(m,s) for i in r a n g e(n)]

plt.h i s t(a, 20 , n o r m e d=1)

(28)

8 6 4 2 0 2 4 6 8 0.00

0.05 0.10 0.15 0.20

Loi d'une variable normale de paramètres 0 et 2 avec 5000 répétitions0.25

30 20 10 0 10 20 30

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

10 20 30 40 50 60 70 80

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

40 20 0 20 40 60 80 100 120

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025

Loi d'une variable normale de paramètres 40 et 20 avec 5000 répétitions

* Remarque :

Python propose déjà la loi normale toute faite, il suffit de tapernp.random.normal (mu, sigma, N ) pour avoir une liste deN tirages suivant une loi de normale de paramètre (µ, σ²).

4 Fonction de variables ind´ ependantes

4.1 Notions de variables ind´ ependances

Soient (Ω,T, P) un espace probabilis´e et X etY deux variables al´eatoires sur (Ω,T, P).

On dit que X et Y sont ind´ependantes si pour tout intervalles I et J de R, les

événements (X ∈ I) et (Y ∈ J) sont deux événements indépendants. Ainsi, X et Y sont indépendantes si, pour tout intervalles I etJ de R, on a :

P((X ∈I)∩(Y ∈J)) =P(X ∈I)×P(Y ∈J).

D´efinition 27

(29)

Soit (X_i)_i∈_N une suite de variables al´eatoires sur un espace probabilis´e (Ω,T, P).

• Soit n un entier naturel non nul. Les variables X₁,· · · , X_n sont mutuellement ind´ependantes si, pour tout n-uplet d’intervalles (I₁,· · · , I_n) de R, les

´

ev´enements ((X ∈I_i))_i∈

J1,nK

sont des événements mutuellement indépendants.

Ainsi, X₁,· · · , X_n sont mutuellement ind´ependantes si, pour tout pour tout n- uplet d’intervalles (I₁,· · ·, I_n) de R, on a :

P((X₁ ∈I₁)∩(X₂ ∈I₂)∩· · ·∩(X_n ∈I_n)) =P(X₁ ∈I₁)×P(X₂ ∈I₂)×· · ·×P(X_n∈I_n).

• (X_i)i∈N est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes si toute famille extraite de (X_i)i∈N est une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes.

D´efinition 28

* Remarque :

Lorsqu’on a une hypothèse d’expériences indépendantes, les variables définies relativement à des expériences aléatoires deux à deux distinctes sont mutuellement indépendantes.

, Exemple :

On procède à une infinité de tirages avec remise et, pour tout entier naturel non nul i, X_i est une variable aléatoire ne dépendant que dui-ème tirage (par exemple, le numéro obtenu aui-ème tirage).

(X_i)_i∈_N^? est alors une famille de variables al´eatoires mutuellement ind´ependantes.

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente définition. Si (X_i)i∈N est alors une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes alors (X_i)i∈N est alors en particulier une famille de variables aléatoires deux à deux indépendants. En revanche la réciproque est fausse. On prend X et Y deux variable aléatoires suivant une loi de Bernoulli de paramètre 1

2 et on pose Z = |X−Y|. (X, Y, Z) sont deux à deux indépendants mais pas mutuellement indépendants.

Soit n un entier naturel non nul. Soit p un entier naturel non nul inférieur à n. Soient n variables aléatoires X₁,· · · , X_n sur un espace probabilisé (Ω,T, P) mutuellement indépendantes. On a :

• Toute sous famille de p éléments de (X₁,· · · , X_n) est une famille de p variables aléatoires mutuellement indépendantes.

• Soient f : R^p −→ R et g : R^n−p −→ R deux fonctions. f(X₁,· · · , X_p) et g(X_p+1,· · · , X_n) sont ind´ependantes (Lemme des coalitions).

• Pour tout i ∈ J1, nK, soit f_i : R −→ R une fonction d´efinie sur X_i(Ω).

(f1(X1),· · · , fn(Xn)) sont mutuellement ind´ependantes.

Proposition 29

(30)

, Exemple :

Soient X₁,· · · , X₄ quatre variables aléatoires sur un espace probabilisé (Ω,T, P) mutuellement indépendantes.

1. X₁² et exp (X₂) sont ind´ependantes.

2. X₁, X₂, X₄ sont mutuellement ind´ependantes.

3. X₁+X₂² etX₃×X₄ sont ind´ependantes.

Soit n un entier non nul et n variables aléatoires X1,· · · , Xn sur un espace probabilisé (Ω,T, P) mutuellement indépendantes.

• SiX₁ etX₂ admettent des variances alorsX₁×X₂ admet une esp´erance. De plus, si X1 etX2 sont ind´ependantes, on a :

E(X₁×X₂) = E(X₁)×E(X₂).

• SiX₁,· · · , X_nsont mutuellement ind´ependantes et admettent toutes des variances alors X1+· · ·+Xn admet une variance et :

V(X₁+· · ·+X_n) =V(X₁) +V(X₂) +· · ·+V(X_n).

Proposition 30

4.2 Maximum et minimum de variables ` a densit´ e ind´ ependantes

Soientnvariables aléatoires à densité mutuellement indépendantesX₁,...,X_n. Pour touti deJ1, nK, on noteF_i la fonction de répartition deX_i. On noteF la fonction de répartition deM la variable aléatoire max(X₁, ..., X_n).

• M est une variable `a densit´e.

• On a : F =F₁×F₂× · · · ×F_n. Proposition 31

+ Mise en garde :

Ne pas oublier l’hypothèse d’indépendance dans la précédente proposition !

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition.

1. A partir de F =F₁ ×F₂× · · · ×F_n, on obtient, par d´erivation, une densit´e f de M.

2. On peut faire le mˆeme raisonnement avec min(X1, ..., Xn).

- Exercice 6 :

On pose Y = min(X₁, X₂) avec X₁ et X₂ deux variables aléatoires à densité indépendantes telles que :

X₁ ,→ E(λ₁) et X₂ ,→ E(λ₂) avecλ1 etλ2 deux r´eels. D´eterminer la loi de Y.

(31)

4.3 Sommes de variables ` a densit´ e ind´ ependantes

* Remarque :

Si f et g sont deux densit´es de probabilit´es, on admet que Z +∞

−∞

f(u)g(z −u)du est une int´egrale convergente pour tout r´eel z.

Soient f et g deux densités de probabilités. On appelle produit de convolution de f et deg l’application, notéef ⊗g, suivante :

f ⊗g :z 7→

Z +∞

−∞

f(u)g(z−u)du.

D´efinition 32

* Remarque :

1. On utilise les notations de la précédente définition. Sif etg sont deux densités de probabilité, on peut démontrer que, pour tout réel z, l’intégrale généralisée

Z +∞

−∞

f(u)g(z−u)duconverge.

2. Le programme stipule que la formule du produit de convolution devra ˆetre rappel´ee en cas de besoin.

3. On utilise les notations de la précédente définition. Pour tout réel z, on a : Z +∞

−∞

f(u)g(z−u)du = Z +∞

−∞

g(u)f(z−u)du.

On a donc f ⊗g =g⊗f.

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de densité f_X et f_Y. X+Y est une variable à densité, une de ses densités est densitéfX⊗fY. Une densitéh deX+Y est donc définie par :

Pour tout r´eel t, h(t) = Z +∞

−∞

f_X(u)f_Y(t−u)du.

Proposition 33

(32)

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente proposition. Si on rajoute l’hypothèse que X et Y sont à valeurs positives alors une densité h deX+Y est :

h:











R ^- R

t ^-







0 si t <0

Z t 0

f_X(u)f_Y(t−u)du si t>0 .

- Exercice 7 :

On poseY =|X₁−X₂| avecX₁ etX₂ deux variables aléatoires à densité indépendantes telles que : X₁ ,→ U([0,1]) et X₂ ,→ U([0,1]).

D´eterminer la loi de Y.

4.4 Sommes de gaussiennes ind´ ependantes

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, m₁ etm₂ deux réels et σ₁ etσ₂ deux réels strictement positifs. On suppose que :

X ,→ N(m1, σ₁²) et Y ,→ N(m2, σ₂²).

alors X+Y ,→ N(m₁+m₂, σ₁²+σ₂²).

Proposition 34

+ Mise en garde :

Ne pas oublier l’hypothèse d’indépendance dans la précédente proposition !

* Remarque :

Ce résultat se généralise aisément au cas denvariables aléatoires gaussiennes et indépendantes. Si on se donnen réelsm₁,...,m_n,n réels strictement positifs σ₁,..., σ_n,n variables aléatoires mutuellement indépendantes X1,..., Xn et si, pour touti de J1, nK, on a :

X ,→ N(m_i, σ_i²) alors X₁+· · ·+X_n ,→ N(m₁+· · ·+m_n, σ₁²+· · ·+σ_n²).

(33)

5 Exercices du td

Exercices ` a chercher

. Exercice 1 :

Soient a un r´eel et f la fonction d´efine par :

f :







R → R

t 7→

( a

√t+ 2 si −2< t62,

0 sinon

1. Déterminer a pour que f soit une densité. On suppose désormais que a prend cette valeur.

2. Soit X une variable aléatoire de densité f. Déterminer la fonction de répartition deX.

3. D´eterminer P (X² >1).

. Exercice 2 :

Soit F la fonction d´efinie par :

∀x∈R, F (x) = x²

x²+ 11_R⁺(x).

1. Montrer que F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X dont on donnera une densité.

2. Montrer queX admet une esp´erance et la calculer.

3. Si X admet une variance, la calculer.

. Exercice 3 :

Soient X une variable à densité suivant la loi uniforme sur [−1,2]. Déterminer la loi de −X et celle deX².

. Exercice 4 :

Soient (Ω,T, P) un espace probabilis´e etX une variable al´eatoire suivant une loi uniforme sur [0,1].

Pour tout ´el´ement ω de Ω, on pose : Y(ω) =

(−ln (X(ω)) si X(ω)6= 0 0 si X(ω) = 0. D´eterminer la loi de Y.

. Exercice 5 :

Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de paramètre λ avec λ un réel strictement positif. Montrer que pour tout réels positifs t et h, on a :

P_(X>t)(X > t+h) = P(X > h).

(34)

. Exercice 6 :

SoitY une variable al´eatoire suivant une loi uniforme surh

−π 4,π

4 i

. Montrer que la variable al´eatoire tan(Y) admet une esp´erance et la calculer.

. Exercice 7 :

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois exponentielles, respecti- vement de paramètresλ etµavecλ etµdeux réels strictement positifs. Déterminer la loi de X+Y.

. Exercice 8 :

Une société de service en informatique va réaliser le portail web du lycée d’Alzon. Le responsable de projet estime que la durée nécessaire, en jours de travail, pour réaliser le site demandé suit une loi normale de paramètres 400 et 20.

1. Quelle est la probabilit´e que le projet soit fini avant 400 jours, avant 410 jours ?

2. Quelle dur´ee devrait-il annoncer au client pour avoir 90% de chances de finir dans les temps ? 3. Le commercial d´ecide qu’on peut toujours travailler plus vite et annonce au client que le projet

est r´ealisable en 350 jours. Quelle est la probabilit´e que le projet soit fini dans les temps ?

Exercices ` a faire pendant la classe

- Exercice 9 :

1. Déterminer la loi debXcet son espérance avec X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.

2. Soient a un r´eel et f la fonction suivante : f :x7→

( a

1 +x² si x>0 0 sinon

.

(a) Déterminer a pour que f soit une densité. On appellera alors X une variable dont une densité est f.

(b) D´eterminer la loi de Y avec Y = arctan(X).

- Exercice 10 :

Trois personnes, Messieurs A, B et C, se présentent à l’ouverture d’une poste comportant deux guichets. Messieurs A et B accèdent immédiatement à un guichet, Monsieur C attend qu’un des deux guichets se libère. On note X, Y et Z les temps de passage aux guichets de Messieurs A, B et C, on suppose que ces variables aléatoires sont indépendantes et suivent chacune une loi uniforme sur [0; 1].

1. D´eterminer une densit´e de X−Y.

2. Montrer que|X−Y| est une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité.

3. Quelle est la probabilité que Monsieur C soit la dernière personne à sortir ?

(35)

- Exercice 11 :

Une usine a une chaˆıne de montage avec n machines qui travaillent en parallèle. On commence à fabriquer des objets à l’instant 0. Pour tout i de J1, nK, on note X_i le temps de fabrication d’un objet sur la i-ème machine et on suppose que X_i suit une loi uniforme sur [0,1]. Lorsque l’objet est fabriqué, la machine s’arrête.

Soient t un élément de [0; 1] et N_t le nombre d’objet fabriqués à l’instantt.

1. Reconnaˆıtre la loi de N_t.

2. Pour tout entier naturel non nulk, on noteT_k le temps n´ecessaire `a la fabrication dek objets.

(a) Relier (T_k 6t) et (N_t>k).

(b) En déduire que T_k est une variable à densité.

Exercices bonus

_) Exercice 12 :

On d´efinit une application f par : ∀x∈R, f(x) = ³₂x²1_[0,1[(x) + ³₂(2−x)²1_[1,2[(x).

1. Montrer quef est une densité de probabilité. On considère une variable aléatoireX de densité f.

2. D´eterminer la fonction de r´epartition de X.

3. Soit x∈]0,1[,calculer P(|X−1|6x).

4. Montrer que pour toutx∈]0,1[,les événements (X >1) et (|X−1|6x) sont indépendants.

_) Exercice 13 :

Soit f la fonction définie sur Rpar : ∀x∈R, f(x) = _x¹21[1,+∞[(x). 1. Montrer quef est une densité d’une variable aléatoire réelle X.

2. X admet-elle un esp´erance ? M Exercice 14 :

Soient σ un réel strictement positif, Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi normale centrée de variance σ² etY une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de variance σ². Donner la loi de−X et celle de −Y.

_) Exercice 15 : On pose : Y = ln(1−X)

a et Z = cos(πX) avec a un réel strictement positif et X une variable aléatoire réelle suivant une loi uniforme sur [0,1]. Montrer que X et Z sont des variables à densité admettant des variances et donner leur loi, leur espérance et leur variance.

M Exercice 16 :

Pour tout entier naturel non nuln, soitfnla fonction suivante : fn :



 R → R

x 7→

( c_n

1− x n

n

si 06x < n,

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1. D´eterminer c_n.

2. Trouver Fn la fonction de r´epartition deXn. 3. Expliciter F d´efinie par :

Pour tout r´eel x, on pose :F(x) = lim

n→+∞(F_n(x)).

4. Montrer que F ainsi définie est une fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle

`

a densit´e.

_) Exercice 17 :

1. On suppose que T est une variable aléatoire réelle positive représentant l’instant où un atome sujet à désintégration se désintègre.

On suppose que T est ”sans m´emoire”, ce qui signifie que, (a) Pour tout t r´eel strictement positif, P(T > t)>0

(b) Pour tout réel positif, la probabilité que l’événement surgisse après l’instant t+ssachant qu’il surgira après l’instant t est indépendante de t.

On pose, pour tout r´eel strictement positift,g(t) = ln (P(T > t)). On va montrer qu’alorsT suit une loi exponentielle. Soit F la fonction de r´epartition de T. On suppose que F est une fonction de classe C¹ surR⁺.

(a) Expliciter F sur R⁻?.

(b) Montrer que pour tout (t, s)∈(R⁺?)², on a :

g(t+s) =g(t) +g(s).

(c) Montrer que g⁰ est constante surR⁺.

(d) En d´eduire la fonction de r´epartition puis la loi de T.

2. On suppose que l’on a, à l’instant zéro du processus une population de N (N entier naturel non nul ) atomes de type A pouvant se désintégrer en atomes de type B. Pour tout n de J1, NK, on note T_n l’instant de désintégration de l’atome n. On a donc prouvé que, pour un certain réel strictement positif λ, chaque T_n suit une loi exponentielle de paramètre λ et les T_n sont indépendants dans leur ensemble. A un instant t strictement positif, on note N(t) la proportion d’atomes encore de type A, le reste s’étant transformé en atomes de typeB. (a) Exprimer N(t) à l’aide de fonctions indicatrices d’événements ayant trait aux variables

T_n.

(b) Quelle est l’espérance deN(t) ? A quel instanttla population a-t-elle diminué, en moyenne, de moitié ?

(c) Quelle est la varianceV_N de N(t) ? (d) Que vaut lim

N→+∞(V_N) ?

(e) Proposer une interpr´etation physico-raisonnable de ce fait.

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M Exercice 18 :

Soit X une variable al´eatoire de densit´e f avec : f :







R → R

x 7→ 1

π(1 +x²) 1. Montrer queX est bien d´efinie.

2. D´eterminer P(X 60), P(X >1) et P(X <−1).

3. Expliciter l’esp´erance de X si X admet une esp´erance.

_) Exercice 19 :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0,1]. On pose Y =X². 1. Montrer queY est une variable à densité et déterminer sa loi.

2. Expliciter, si elles existent, l’esp´erance et la variance de Y.