Dans tout le sujet, on pourra faire intervenir la fonction quantile q de la loi normale centr´ ee r´ eduite, ainsi que la fonction quantile q

Universit´ e Bordeaux I – 2010/11 MASTER 1

Probabilit´ es-Statistiques M.-L. Chabanol

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Mars 2011 – 3 heures. Aucun document autoris´ e

Dans tout le sujet, on pourra faire intervenir la fonction quantile q de la loi normale centr´ ee r´ eduite, ainsi que la fonction quantile q

d’une loi du χ

` a n degr´ es de libert´ e. On pourra utiliser le cas ´ ech´ eant q

' 1.96 et q

' 1.65.

D’autre part on rappelle le d´ eveloppement asymptotique P

1

k

= ln(n) + γ +o(1) o` u γ est la constante d’Euler, ainsi que l’´ egalit´ e

∞

X

n=1

1 n

= π

6

Probl` eme 1. Soit X une variable al´ eatoire de loi exponentielle de param` etre λ (donc de densit´ e λ exp(−λx)1

(x))

1. D´ eterminer la loi de la partie enti` ere de X.

2. Compl´ eter la fonction ci-dessous pour qu’elle simule une variable al´ eatoire qui suit une loi g´ eom´ etrique de param` etre p

fonction X = rgeom(p) U=rand(1)

...

end

Probl` eme 2. On dispose d’une balance dont les r´ esultats ont une erreur normale centr´ ee de variance σ

. Pour peser deux objets de poids a et b on effectue trois pes´ ees : d’abord chaque objet s´ epar´ ement, puis les deux objets simultan´ ement. On mod´ elise ceci en disant que le r´ esultat des pes´ ees est un vecteur al´ eatoire Y = m + σ, o` u m =



 a b a + b



 et o` u suit une loi N (0, I

) (on a not´ e I

la matrice identit´ e 3 × 3). Y est donc un vecteur gaussien de loi N (m, σ

I

).

On note h., .i le produit scalaire, u =



 1 0 1



, v =



 0 1 1



, H le plan engendr´ e par u et v,

et w =

3



 1 1

−1



 un vecteur unitaire normal ` a H . On note P

la projection orthogonale sur H .

1. Quelle est la loi de ||P

()||

?

2. Quelle est la loi du produit scalaire hw, Y i ? Quelle est la loi de

?

3. Donner la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale P

sur H (on pourra re- marquer que si X ∈ R

, P

(X ) = X − hw, X iw).

4. Quelle est la loi de P

(Y ) ?

5. On suppose qu’on ne connaˆıt pas a et b, et on prend comme estimateur de a, ˆ a = 2Y

− Y

+ Y

3 et comme estimateur de b, ˆ b = −Y

+ 2Y

+ Y

3 . Ces estimateurs sont-ils sans biais ? Donner la loi de ˆ a. Quel est le risque quadratique de ˆ a ?

6. On suppose qu’on connaˆıt σ

. Proposer un intervalle de confiance pour a de risque 0.05.

7. ˆ a et ˆ b sont-ils ind´ ependants ? ˆ a et hw, Y i sont-ils ind´ ependants ?

1

8. On suppose qu’on a perdu le manuel de la balance et qu’on ne connaˆıt pas σ

. On prend comme estimateur de σ

S ˆ = hw, Y i

. Est-il sans biais ? Si α ∈]0, 1[, proposer un intervalle de confiance pour σ de risque α.

9. Quelle est la loi de √

Sˆ

?

Probl` eme 3. Soit (X

)

une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes de mˆ eme loi de Pareto de densit´ e f

(x) =

1

, o` u α > 0 est un param` etre.

1. D´ eterminer {q ∈ R

, X

est int´ egrable}.

2. D´ eterminer la fonction de r´ epartition de X

. Compl´ eter la fonction matlab ci-dessous pour qu’elle fournisse un n-´ echantillon de loi de Pareto de param` etre α.

fonction X = pareto(n, α) U=rand(...)

...

end

On suppose d´ esormais qu’on ne connaˆıt pas α.

3. Calculer si elles existent E

(X

) et V ar

(X

).

4. On suppose dans cette question seulement α > 1. Montrer que ˜ α

=

Pn i=1X_i Pn

i=1X_i−n

est un estimateur convergent de α.

5. Donner la vraisemblance du mod` ele, et montrer que l’estimateur de maximum de vraisemblance de α est ˆ α

=

i=1ln(X_i)

.

6. Montrer que ln(X

) suit une loi exponentielle dont on d´ eterminera le param` etre.

7. L’estimateur ˆ α

est-il convergent ? 8. Montrer que √

n( ˆ α

− α) converge en loi vers une loi normale dont on donnera les param` etres.

9. Examiner la convergence en loi de √

n ( ˆ α

− α) ˆ α

.

10. Soit η ∈]0, 1[. D´ eduire de la question pr´ ec´ edente un intervalle de confiance asymptotique pour α au risque η.

Probl` eme 4. Votre petit fr` ere collectionne les images d’animaux qu’on trouve dans des tablettes de chocolat. On suppose qu’il existe n images diff´ erentes (num´ erot´ ees de 1 ` a n), que chaque tablette de chocolat contient une image, et qu’elles sont distribu´ ees de mani` ere ´ equiprobable (il n’y a pas d’animal plus rare qu’un autre), et de mani` ere ind´ ependante sur chaque tablette.

On note X

le num´ ero de l’image contenue dans la tablette i (les X

sont donc suppos´ ees i.i.d. de loi uniforme sur {1, . . . , n}), et N

le nombre de tablettes achet´ ees avant d’avoir k images diff´ erentes : N

= inf{j ≥ 1, Card{X

, i ≤ j} = k}. On note T

= N

− N

, avec par convention T

= N

= 1.

1. (a) Soit T une variable g´ eom´ etrique de param` etre p. Donner la fonction caract´ eristique E[e

].

Que vaut E[T ] ? On pourra ult´ erieurement utiliser sans calcul V ar(T ) =

.

(b) Soit l

∈ N

. Exprimer l’´ ev´ enement (T

= l

) en fonction des (X

)

et en d´ eduire que T

suit une loi g´ eom´ etrique de param` etre 1 −

.

(c) Soit (l

, l

) ∈ (N

)

. Exprimer l’´ ev´ enement (T

= l

et T

= l

) en fonction des (X

)

puis calculer P (T

= l

et T

= l

).

(d) En d´ eduire que T

suit une loi g´ eom´ etrique de param` etre

, et qu’elle est ind´ ependante de T

.

(e) Retrouver la loi de T

en exprimant T

comme instant de premier succ` es, puis montrer de mˆ eme que pour tout 2 ≤ k ≤ n, T

suit une loi g´ eom´ etrique dont on donnera le param` etre.

On admettra que les variables T

, . . . , T

sont ind´ ependantes.

2. (a) Montrer E[N

] = n P

1

j

et en d´ eduire que lorsque n tend vers +∞, E[N

] = n ln(n)+O(n).

(b) Montrer V ar(N

) =

n

+ o(n

).

2

(c) Montrer que

converge en probabilit´ e vers 1.

3. Soit k ∈ N, fix´ e. Montrer que la suite (

, n ≥ k) converge en loi vers une loi exponentielle de param` etre k.

4. (Question bonus) Montrer plus pr´ ecis´ ement que si on note ψ

la fonction caract´ eristique de

et ψ

la fonction caract´ eristique d’une loi exponentielle de param` etre k on a

∀u ∈ R, ∃(n

, C) ∈ N × R

, (n ≥ max(n

, k) ⇒ |ψ

(u) − ψ

(u)| ≤ C nk )

5. Soit (X

, . . . , X

) un n-´ echantillon de loi exponentielle de param` etre 1. On note M

= max(X

)

. (a) Calculer la fonction de r´ epartition de M

.

(b) Montrer que la suite de terme g´ en´ eral M

− ln(n) converge en loi vers une variable al´ eatoire Z dont on donnera la fonction de r´ epartition F

. Quelle est la densit´ e de Z ?

(c) Soit 0 < α < 1. D´ eterminer deux r´ eels r

et r

tels que P (Z ≤ r

) = P (Z > r

) = α.

On admettra pour la suite que M

a mˆ eme loi que P

j=1

E

o` u les E

sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi exponentielle de param` etre j, et on notera ψ

sa fonction de r´ epartition.

6. On note ψ

la fonction caract´ eristique de

.En utilisant les questions 4 et 5 ainsi que l’in´ egalit´ e

| Q

j=1

a

− Q

j=1

b

| ≤ P

j=1

|a

−b

| valable pour tous complexes (a

)

, (b

)

de modules inf´ erieur ou ´ egal ` a 1, montrer que pour tout r´ eel u, il existe un entier n

et un r´ eel C tels que pour n ≥ n

,

|ψ

(u) − ψ

(u)| ≤ C ln(n) n

7. Montrer que la suite de terme g´ en´ eral

converge en loi vers la variable al´ eatoire Z . 8. Donner un intervalle de confiance I

de risque asymptotique 0.05 pour N

.

9. On suppose n = 250. Evaluer le nombre de plaquettes de chocolat que votre petit fr` ere devra acheter (et potentiellement manger...) pour compl´ eter sa collection (on suppose qu’il ne fait pas d’´ echange avec ses copains).

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