On exprimera toute les r´ eponses en terme de la fonction de r´ epartition φ de la loi normale centr´ ee r´ eduite et de sa r´ eciproque q.

Analyse, Probabilit´ e et Statistiques M1 MEEF ML. Chabanol et C. Menini

Devoir surveill´ e - vendredi 25 octobre 2013

Dur´ ee 3h - Documents non autoris´ es. Calculatrice autoris´ ee. Les diff´ erents exercice et probl` emes sont ind´ ependants. Merci de les r´ ediger sur des feuilles s´ epar´ ees

Exercice

On exprimera toute les r´ eponses en terme de la fonction de r´ epartition φ de la loi normale centr´ ee r´ eduite et de sa r´ eciproque q.

On consid` ere une variable al´ eatoire Z de loi normale centr´ ee r´ eduite, de densit´ e x 7→

2π

exp(−x

/2).

1. Soit α > 0. Donner un intervalle de fluctuation I

centr´ e en 0 pour Z , au seuil 1 − α. On note l

sa longueur.

2. On consid` ere la fonction g qui ` a tout r´ eel x associe P (Z ∈ J

), o` u J

d´ esigne l’intervalle J

= [x, x + l

].

Exprimer g(x) ` a l’aide de la fonction φ.

3. Montrer que g admet un maximum en un unique point x

que l’on d´ eterminera.

4. D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes que parmi tous les intervalle de fluctuation au seuil 1 − α fix´ e, l’intervalle centr´ e en 0 est celui qui a la plus petite longueur.

Probl` eme 1

Soit f une fonction ` a valeurs r´ eelles d´ efinie et continue par morceaux sur R . On rappelle que f est une densit´ e de probabilit´ e sur R si f est positive, int´ egrable sur R et R

R

f (x) dx = 1.

On rappelle que par convention 0! = 1.

Partie I

On se propose dans cette partie de re-d´ emontrer que pour tout entier naturel n, lim

x→+∞

x

e

= 0. Ce r´ esultat ne pourra donc pas ˆ etre utilis´ e dans cette partie.

I.1. Montrer que pour tout x r´ eel, e

≥ x + 1.

I.2. En d´ eduire que pour tout x positif, e

≥ (

+ 1)

, puis que lim

x→+∞

e^x

x

= +∞.

I.3. En d´ eduire que pour tout entier naturel n, lim

x→+∞

e^x

xⁿ

= +∞.

I.4. Conclure.

Partie II

Pour tout entier naturel n, on d´ efinit sur R la fonction f

par f

(x) = x

exp

− x

2

.

II.1. Montrer que pour tout entier naturel n, l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee R

0

f

(x) dx converge.

On notera dans la suite du probl` eme

I

= Z

0

f

(x) dx.

II.2. A l’aide d’une int´ egration par parties montrer que pour tout entier naturel n I

= (n + 1)I

.

II.3.

(a) En utilisant une loi de probabilit´ e, que l’on pr´ ecisera, justifier que I

= p

2

. (b) Calculer I

en donnant le d´ etail des calculs.

1

II.4.

D´ emontrer par r´ ecurrence que pour tout entier naturel n I

= p

2 (2n)!

2ⁿn!

I

= 2

n!

Partie III.

III.1. Soit f la fonction d´ efinie pour tout r´ eel x par

f (x) = f

(x) si x ≥ 0 f (x) = 0 si x < 0 D´ emontrer que f est une densit´ e de probabilit´ e sur R .

III. 2. Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle qui admet f pour densit´ e de probabilit´ e.

(a) Justifier que X admet une esp´ erance E(X) et pr´ eciser sa valeur.

(b) Justifier que X admet une variance V (X) et pr´ eciser sa valeur.

III.3. On d´ esigne par F et G les fonctions de r´ epartitions respectives sur R de X et Y = X

. (a) Exprimer G en fonction de F (on sera amen´ e ` a distinguer x < 0 et x ≥ 0).

(b) Donner une expression analytique de F puis de G. Sur quel ensemble sont-elles d´ erivables ? (c) En d´ eduire que Y est une variable al´ eatoire ` a densit´ e, d´ eterminer sa densit´ e et reconnaitre sa loi.

Probl` eme 2 Partie I

On d´ efinit la suite de terme g´ en´ eral a

par

∀n ≥ 1, a

=

√ n

4

I.1 Calculer a

et, pour tout entier n ≥ 1, le rapport

n

. I.2 D´ emontrer que pour tout entier n ≥ 1, a

≤ q

n

2n+1

(on pourra effectuer une r´ ecurrence).

I.3 Montrer que la suite (a

) est croissante.

I.4 Justifier que la suite (a

) converge vers un r´ eel l et que

≤ l ≤

2

. Partie II

Deux urnes A et B, initialement vides, peuvent contenir chacune au plus N boules (N ≥ 1).

Le terme “´ epreuve” d´ esignera les deux op´ erations suivantes : – On choisit une urne au hasard de fa¸con uniforme.

– On met une boule dans cette urne.

Une exp´ erience consistera ` a r´ ep´ eter ces ´ epreuves (en rechoisissant une urne au hasard de fa¸ con ind´ ependante

`

a chaque fois) jusqu` a ce que l’une des deux urnes soit pleine.

On note R

la variable al´ eatoire ´ egale au nombre (´ eventuellement nul) de boules contenues dans l’urne qui n’est pas pleine ` a la fin de l’exp´ erience (N fait toujours r´ ef´ erence ` a la contenance maximale de chaque urne)

II.1 Donner les lois de R

et de R

.

II.2 Calculer leur esp´ erance et leur variance.

Dans toute la suite du probl` eme, N ≥ 2.

II.3. Quel est l’ensemble des valeurs R

(Ω) prises par R

? II.4. Soit k un entier fix´ e appartenant ` a cet ensemble R

(Ω).

(a) On consid` ere l’´ ev´ enement U

: ”On effectue au moins (N −1+ k) ´ epreuves et ` a l’issue de l’´ epreuve (N − 1 + k), l’urne A contient N − 1 boules et l’urne B contient k boules.”

Justifier P (U

) =

N−1+k N−1

. (b) En d´ eduire P (R

= k) =

N−1+k N−1

.

2

II.5 V´ erifier

∀k ∈ J 0, N − 2 K , 2(k + 1)P (R

= k + 1) = (N + k)P (R

= k) II.6 Par sommation des ´ egalit´ es pr´ ec´ edentes, en d´ eduire

E[R

] = N − (2N − 1)P(R

= N − 1)

II.7 Montrer que lorsque N tend vers l’infini, E[

] converge vers 1 (on pourra exprimer E[R

] ` a l’aide de la suite (a

) d´ efinie dans la partie I)

II.8

En consid´ erant les ´ egalit´ es ∀k ∈ J 0, N −2 K , 2(k + 1)

P (R

= k + 1) = (k+ 1)(N +k)P(R

= k), montrer de mˆ eme que

E[R

] = (2N + 1)E[R

] − N (N − 1)

II.9 En d´ eduire une expression de Var(R

) en fonction de N et E[R

], puis montrer que lim

Var(

) = 0.

II.10 On pose Y

=

− E[

]. Montrer que Y

converge en probabilit´ e vers 0. Que peut-on en d´ eduire sur

?

3