E xercice 1. (Fonion muette)SoitN une variable aléatoire réelle gaussienne centrée réduite.

(1)

X  – MAP 

PC  – Mercredi  mai  – Lois et esp´erances

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

Corrigé des exercices non traités surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu après la PC.

 M´ethode de la fon ion muette (pour des v.a. r´eelles)

E ^{xercice 1.}

^(Fonion muette)SoitN une variable aléatoire réelle gaussienne centrée réduite.

D´eterminer la loi de la variable al´eatoire/N^.

E ^{xercice 2.}

(Retour de la fonion muette) Soit X une variable aléatoire exponentielle de paramètreλ > etY une variable aléatoire indépendante deX telle que telle queP(Y =) = P(Y =−) =/. Déterminer la loi de la variable aléatoireXY.

 Ve eurs de variables aléatoires réelles à densité

E ^{xercice 3.}

(Calculer en cent leçons)Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dansR^dont la loi a pour densité

f_(X,Y₎(x, y) = 

(+xy)1⁻_^≤x,y≤. () D´eterminer la loi deX.

() CalculerE[X1_X</].

() CalculerE h_

X

i.

() CalculerE[XY].

() CalculerP(X≤Y). Le r´esultat e-il surprenant ? () Les v.a.XetY sont-elles ind´ependantes ?

 Propriétés générales de l’espérance

E ^{xercice 4.}

(M´ethode probabilie)On colorie% d’une sph`ere en bleu et le ree en rouge.

Le but de cet exercice e de montrer qu’il e toujours possible d’inscrire un cube dans la sphère dont tous les sommets soient rouges. Pour cela nous allons utiliser le hasard ! On choisit un cubeA_A_· · ·A_ inscrit dans la sphère uniformément au hasard (de telle que sorte que pour tout≤i≤,Ai suit la loi uniforme sur la sphère). Pour≤i≤, on noteXi=siAierouge etXi =siAi ebleu.

() CalculerE[X_i] pour≤i ≤.

() Conclure.

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



(2)

E ^{xercice 5.}

(Inégalité de Paley-Zygmund)SoitXune variable aléatoire réelle intégrable telle queE[X]≥.

() Montrer que pour toutλ >,X≤λE[X] +X1{X>λE[X]}.

() On suppose que, de plus,<E[X^]<+∞. Montrer que pour toutλ∈],[ on a

P(X > λE[X])≥(−λ)^E[X]^ E[X^]. Indication.On pourra utiliser l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz.

E ^{xercice 6.}

(Théorème de Fubini)SoitXune variable aléatoire réellepositive. Démontrer que E[X] =

Z ∞



P(X≥x) dx= Z ∞



P(X > x) dx.

Indication.On pourra utiliser le fait que pourx≥,x=R∞

 1x≥tdt=R∞

 1x>tdt.

 Exercice `a chercher pour la prochaine fois

E ^{xercice 7.}

^Soit^V une variable al´eatoire de loi uniforme sur [, π]. D´eterminer la loi de sin(V).

 Plus appliqu´e (hors PC)

E ^{xercice 8.}

(La cerise sur le gâteau)On considère un gâteau circulaire avec une cerise sur le bord. On découpe le gâteau en deux parts en coupant suivant deux rayons choisis au hasard.

() Avec quelle probabilit´e la part contenant la cerise e-elle plus petite que la part ne contenant pas la cerise ?

() Quelle ela longueur angulaire moyenne de la part contenant la cerise ?

E ^{xercice 9.}

(Spaghettis)On consid`ere un bˆaton sur lequel on trace au hasard deux marques.

On découpe le bâton suivant les deux marques. Quelle ela probabilité pour que l’on puisse faire un triangle avec les trois morceaux ainsi obtenus ?

E xercice 10.

(Points fixes) Quelle e le nombre moyen de points fixes d’une permutation choisie uniform´ement au hasard de longueurn?

E xercice 11.

(Propagation de population)Dans cet exercice, on étudie un modèle simple de propagation d’une population, qu’on modélise comme suit.

– Chaque site deN={,,, . . .}eoccup´e soit par un (seul) individu, soit evide.

– `A l’inantt=, un individu occupe le siteet tous les autres sites sont vides.



(3)

– Si un individu e à côté d’un site vide, au bout d’un temps aléatoire, indépendant de tout le ree, diribué selon une variable aléatoire exponentielle de paramètre, il donne naissance à un individu qui va occuper ce site vide.

SoitT_nle premier temps o `u un individu occupe le siten. On fixea >/.

() Juifier qu’on peut écrireT_n=E_+· · ·+E_n, o ù les variables aléatoiresE_, . . . , E_nsont des variables aléatoires indépendantes et exponentielles de paramètre.

() Montrer queP(T_n≥n+n^a)≤e⁻

√

n−n^a⁻^^/^ 

−/√ n

!n

.

() Montrer qu’avec probabilité, à partir d’un certain rang on aT_n< n+nâ.

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 12.

(Moments et médiane d’une variable aléatoire réelle)SoitXune variable aléatoire réelle de fonion de répartitionF.

() Si Xe `a valeurs positives etk≥, montrer queE

hX^k+i

= (k+) Z ^∞

 t^k(−F(t))dt.

() Si Xeint´egrable, montrer que pour touta∈Ron a

E[|X−a|] = Z _a

−∞

F(x)dx+ Z ∞

a

(−F(x))dx.

() On suppose que F econtinue. Pour quelles(s) valeur(s)ala quantit´e E[|X−a] e-elle minimale ?

E xercice 13.

(Une inégalité)SoientX etY deux variables aléatoires réelles indépendantes, de même loi et intégrables. Montrer queE[|X−Y|]≤E[|X+Y|].

Indication.On pourra utiliser le fait que pour touta∈R, on aR∞

−∞

−cos(at)

t^ dt=π|a|.

E xercice 14.

(Même loi ou pas même loi ?)Soient X,Y et Z des variables aléatoires réelles définies sur un même espace de probabilité.

() On suppose que P(X=Y) = . Montrer que X et Y ont la mˆeme loi. Montrer que la r´eciproque efausse.

() On suppose queXetY ont la mˆeme loi.

(a) Soit f :R→Rune fonion mesurable. Montrer que les variables al´eatoires f(X) et f(Y) ont la mˆeme loi.

(b) Montrer que les variables aléatoiresXZetY Z n’ont pas nécessairement la même loi.

E xercice 15.

(Indépendance)SoientXetY deux variables aléatoires réelles indépendantes de densités respeivesf_Xetf_Y. SoitF :R^→R₊une fonion mesurable. Montrer queE[F(X, Y)] = E[G(Y)] o ùGela fonion définie parG(y) =E[F(X, y)] pour touty∈R.



(4)

E xercice 16.

(Permutations aléatoires)Soient (X_i)_≤i≤ndes variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi. On suppose qu’elles sont à densité.

() Montrer queP

∃i, j∈ {,, . . . , n}:i,j etX_i =X_j

=.

() Montrer qu’il exie une permutation al´eatoire σ telle que P

X_σ_()<· · ·< X_σ_(n)

=  et que la loi deσ euniforme sur l’ensemble des permutations de{,, . . . , n}.

E xercice 17.

(Sommes d’Erd˝os : exercice à dollars) Pour tout entier n≥, on note f(n) le plus grand entierk≥tel qu’il exie des entiers diins x_, . . . , x_k ∈ {,, . . . , n}tels que les sommes qu’on puisse former en utilisant ces entiers (chacun étant utilisé au plus une seule fois) soient toutes différentes (on considère quex_i tout seul eune somme).

Par exemple,f()≥, car en choisissant,,, les sommes qu’on peut former sont,,,+

,+,+,++ qui sont toutes diff´erentes. Par ailleurs, il e clair que f()≤  et que f() = n’e pas possible. En effet, si f() =, on doit choisir les entiers ,,, et les deux sommes+=sont les mˆemes. Ainsi,f() =.

Erd˝os a conjeur´e qu’il exie une conanteC >telle que

pour tout entiern≥, f(n)≤ln_(n) +C (o `u ln_(x) = ln() ln(x)),

et a offertdollars à la première preuve corree. Cette conjeure n’a pas encore été prouvée (ou réfutée). Le but de cet exercice e de démontrer que f(n)≤ ln_(n) + ^_ln_(ln_(n)) +C en utilisant des outils probabilies.

() Montrer quef(n)≥+bln_(n)c(o ùbxcdésigne la partie entière dex).

On fixe maintenant n≥ et on considère x_, . . . , x_k ∈ {,, . . . , n}tels que les sommes qu’on puisse former en utilisant ces entiers soient toutes différentes. On va montrer l’exience de C (indépendant de n) tel quek≤ln_(n) +^_ln_(ln_(n)) +C. Pour cela, on considère des variables aléatoiresB_, . . . , B_k indépendantes de même loi Bernoulli de paramètre/. On poseX=B_x_+

· · ·+B_kx_k.

() Soitλ >. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que P

|X−E[X]|< λn

√ k/

≥−  λ^.

() Montrer que pour tout entierxon a soitP(X=x) =, soitP(X=x) =⁻^k. En remarquant qu’il y a au plusλn

√

k+entiersxtels que|x−E[X]|< λn

√

k/, en d´eduire que P

|X−E[X]|< λn

√k/

≤⁻^k(λn

√ k+).

() Conclure en prenantλ=√

.

E xercice 18.

(Théorème ). SoientX etY deux variables aléatoires réelles indépendantes de même loi. Démontrer que

P(|X−Y| ≤)≤P(|X−Y| ≤).

