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( R , R ) l'ensemble des fonctions continues de R dans R et F( R , R ) l'ensemble de toutes les fonctions de R dans R. On dénit une fonction Φ :

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Texte intégral

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Une rédaction très précise est exigée pour cet exercice. Les théorèmes et les objets ma- thématiques utilisés devront être exactement cités.

Soit E = C

0

( R , R ) l'ensemble des fonctions continues de R dans R et F( R , R ) l'ensemble de toutes les fonctions de R dans R. On dénit une fonction Φ :

Φ :

( C

0

( R , R ) → F( R , R )

f 7→ g avec g :

(

R → R x 7→ xf(x) . 1. Montrer que Φ est linéaire.

2. Montrer que Φ est injective.

3. Quelle propriété caractérise, pour une fonction quelconque h dénie dans R, le fait d'être dans l'image de Φ ?

Corrigé

1. La linéarité de Φ est immédiate à partir de la dénition de g .

2. Pour montrer que φ est injective, considérons f ∈ ker φ . Pour tout x réel xf(x) = 0 . En particulier f (x) = 0 pour tous les x non nuls. De plus f(0) aussi est nul. En eet f est continue en 0 donc sa limite en 0 est f (0) elle doit aussi être nulle donc f . 3. Quelles sont les fonctions dans l'image de φ ?

Soit h une telle fonction. Il existe alors f continue dans R telle que

∀x ∈ R , h(x) = xf (x).

En particulier h(0) = 0 et, pour tous les x non nuls, f (x) =

h(x)x

.

Une application h dans l'image est donc telle que l'application dénie dans R

∗

et qui à x associe

h(x)x

admet un prolongement continu en 0. On en déduit que h ∈ Im φ entraîne h dérivable en 0.

Réciproquement si h est nulle et dérivable en 0 , en posant f (x) =

g(x)

x

si x 6= 0 g

0

(0) si x = 0 La fonction f est continue dans R et φ(f ) = h .

En conclusion, l'image de φ est formée par les fonctions continues dans R, nulles en 0 et dérivables en 0.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Aanal8

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