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( R , R ) et on dénit F par

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

On note E = C

0

( R , R ) et on dénit F par

F = {g ∈ C

1

( R , R ) telles que g(0) = g

0

(0) = 0 et g

0

dérivable en 0 } ainsi que l'application

Φ :

 

 

 

 

E −→ F

f 7→ Φ(f ) noté Φ

f

=

 R → R

x 7→

Z

x 0

tf(t) dt

1. Montrer que E et F sont des R-espaces vectoriels.

2. Vérier que Φ

f

∈ F et que Φ est linéaire.

3. Soit g ∈ F . On dénit f dans R par

∀x ∈ R , f (x) =

 g

0

(x)

x si x 6= 0 g

00

(0) si x = 0 Montrer que f ∈ E et en déduire que Φ est surjective.

4. Montrer que Φ est un isomorphisme.

Corrigé

1. Les ensembles E et F sont des R-espaces vectoriels à cause des propriétés usuelles de linéarité de la continuité et de la dérivabilité.

2. Si f est dans E = C

0

( R , R ) , pourquoi φ

f

est-elle dans F ? On doit vérier les propriétés caractéristiques des fonctions de F .

Par dénition, φ

f

est la primitive de t → tf(t) nulle en 0 . C'est donc bien une fonction C

1

nulle en 0 et à dérivée nulle en 0 . Sa dérivée est dérivable en 0 car, en 0 ,

φ

0f

(x) = xf(x) = x(f (0) + o(1)) = f (0)x + o(x) ⇒ φ

00f

= f (0) La fonction φ est linéaire à cause de la linéarité de l'intégration.

3. Pour montrer que f est dans E , on doit montrer qu'elle est continue.

Par dénition et opérations usuelles, elle clairement continue en un point quelconque autre que 0 . La continuité de f en 0 traduit la dérivabilité de g

0

en 0 (avec g

0

(0) = 0 ).

Pour une fonction f ainsi dénie : φ

f

(x) =

Z

x 0

t g

0

(t)

t dt = [g]

x0

= g(x)

La fonction f est donc un antécédent de g . Comme g est quelconque dans F , ceci montre que la fonction φ est surjective.

4. Pour montrer que Φ est un isomorphisme, il reste à montrer l'injectivité. C'està dire que le noyau se réduit à la fonction nulle. Soit donc f ∈ ker φ

∀x ∈ R : Z

x

0

tf(t)dt = 0

En dérivant, on obtient :

∀x ∈ R : xf(x) = 0

On en déduit f (x) = 0 pour tous les x non nuls. On obtient f (0) = 0 par continuité de f en 0 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Aopint1

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