MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
On note E = C
0( R , R ) et on dénit F par
F = {g ∈ C
1( R , R ) telles que g(0) = g
0(0) = 0 et g
0dérivable en 0 } ainsi que l'application
Φ :
E −→ F
f 7→ Φ(f ) noté Φ
f=
R → R
x 7→
Z
x 0tf(t) dt
1. Montrer que E et F sont des R-espaces vectoriels.
2. Vérier que Φ
f∈ F et que Φ est linéaire.
3. Soit g ∈ F . On dénit f dans R par
∀x ∈ R , f (x) =
g
0(x)
x si x 6= 0 g
00(0) si x = 0 Montrer que f ∈ E et en déduire que Φ est surjective.
4. Montrer que Φ est un isomorphisme.
Corrigé
1. Les ensembles E et F sont des R-espaces vectoriels à cause des propriétés usuelles de linéarité de la continuité et de la dérivabilité.
2. Si f est dans E = C
0( R , R ) , pourquoi φ
fest-elle dans F ? On doit vérier les propriétés caractéristiques des fonctions de F .
Par dénition, φ
fest la primitive de t → tf(t) nulle en 0 . C'est donc bien une fonction C
1nulle en 0 et à dérivée nulle en 0 . Sa dérivée est dérivable en 0 car, en 0 ,
φ
0f(x) = xf(x) = x(f (0) + o(1)) = f (0)x + o(x) ⇒ φ
00f= f (0) La fonction φ est linéaire à cause de la linéarité de l'intégration.
3. Pour montrer que f est dans E , on doit montrer qu'elle est continue.
Par dénition et opérations usuelles, elle clairement continue en un point quelconque autre que 0 . La continuité de f en 0 traduit la dérivabilité de g
0en 0 (avec g
0(0) = 0 ).
Pour une fonction f ainsi dénie : φ
f(x) =
Z
x 0t g
0(t)
t dt = [g]
x0= g(x)
La fonction f est donc un antécédent de g . Comme g est quelconque dans F , ceci montre que la fonction φ est surjective.
4. Pour montrer que Φ est un isomorphisme, il reste à montrer l'injectivité. C'està dire que le noyau se réduit à la fonction nulle. Soit donc f ∈ ker φ
∀x ∈ R : Z
x0
tf(t)dt = 0
En dérivant, on obtient :
∀x ∈ R : xf(x) = 0
On en déduit f (x) = 0 pour tous les x non nuls. On obtient f (0) = 0 par continuité de f en 0 .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/