MPSI B DS 6 (Devoir commun) 29 juin 2019
Exercice 1
On note E = C 0 ( R , R ) et on dénit F par
F = {g ∈ C 1 ( R , R ) telles que g(0) = g 0 (0) = 0 et g 0 dérivable en 0 } ainsi que l'application
Φ :
E −→ F
f 7→ Φ(f ) noté Φ f =
R → R
x 7→
Z x 0
tf(t) dt 1. Montrer que E et F sont des R-espaces vectoriels.
2. Vérier que Φ f ∈ F et que Φ est linéaire.
3. Soit g ∈ F . On dénit f dans R par
∀x ∈ R , f (x) =
g 0 (x)
x si x 6= 0 g 00 (0) si x = 0 Montrer que f ∈ E et en déduire que Φ est surjective.
4. Montrer que Φ est un isomorphisme.
Exercice 2
1. Soit n ∈ N, montrer qu'il existe au plus un polynôme P n tel que (1) ∀z ∈ C , P f n (z + 1
z ) = z n + 1 z n 2. Préciser les polynômes P 0 , P 1 , P 2 .
3. Montrer que pour tout entier n , il existe un unique polynôme P n vériant (1).
On pourra considérer
(z + 1
z )(z n + 1 z n ) 4. a. Montrer que pour tout entier n et tout réel t :
P f n (2 cos t) = 2 cos(nt)
b. Former, à partir de P n un polynôme T n tel que pour tout réel t T f n (cos t) = cos(nt)
Problème
Partie 1 - Nombre de racines positives.
Soit P un polynôme de R [X] , que l'on écrit sous la forme
P = a 0 + a 1 X b
1+ · · · + a n X b
navec 0 = b 0 < b 1 < · · · < b n
et a k 6= 0 pour tout 0 ≤ k ≤ n . On remarquera que n est le nombre de coecients non nuls de degré strictement positifs.
On désigne par Z l'ensemble des racines de P et par V (P) le nombre de changements de signes parmi les coecients de P , c'est à dire :
V (P ) = card{0 ≤ k ≤ n | a k a k+1 < 0}
On désigne par n + (P ) le nombre de racines de P strictement positives comptées avec multiplicités. Autrement dit, si m r est la multiplicité de la racine r alors
n + (P) = X
r∈Z et r>0
m r
On cherche à montrer par récurrence sur n le résultat suivant (Règle de Descartes) Si P est un polynôme de R [X ] n'admettant pas 0 pour racine alors n + (P ) ≤ V (P ) . Dans les question 4. et 5., on supposera que, un entier n ≥ 1 étant donné, la règle de Descartes est vraie pour les polynômes avec n −1 coecients non nuls (de degrés non nuls).
1. Montrer le théorème si n = 0 et n = 1 .
2. Montrer que X b
1−1 divise P 0 . Dans toute la n cette partie, on note Q le quotient de la division de P 0 par X b
1−1 et r 1 < · · · < r l les racines strictement positives de P . 3. Montrer que
n + (Q) ≥ n + (P ) − 1 4. Montrer que n + (P) ≤ V (P) si a 0 a 1 < 0 .
5. On suppose dans cette question a 0 a 1 > 0 .
a. Montrer que si a 0 > 0 , P est croissante au voisinage de 0 à droite.
b. Montrer que si a 0 < 0 , −P est croissante au voisinage de 0 à droite.
c. En déduire que Q admet une racine dans l'intervalle ]0, r 1 [ . d. Montrer que n + (P ) ≤ V (P) .
6. Soit P − = P (−X ) et c k = (−1) b
ka k le coecient de X b
kdans P − .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S0206EMPSI B DS 6 (Devoir commun) 29 juin 2019
a. Montrer que c k c k+1 = (−1) b
k+1−b
ka k a k+1 .
b. Montrer que si c k c k+1 < 0 et si a k a k+1 < 0 , alors b k+1 − b k ≥ 2 .
c. On désigne par V (P, P − ) le nombre d'indice k tels que c k c k+1 < 0 et a k a k+1 < 0 . Montrer que
b n =
n−1
X
k=0
(b k+1 − b k ) ≥ (V (P ) − V (P, P − )) + (V (P − ) − V (P, P − ))
+ 2V (P, P − ) (On découpera l'intervalle d'entiers [0, n−1] en trois parties selon que a k a k+1 < 0 , c k c k+1 < 0 ou les deux.)
d. En déduire que si P a toutes ses racines réelles, n + (P ) = V (P) .
Partie 2 - Localisation des racines.
On considère dans cette partie un polynôme P à coecients complexes, unitaire, de degré n > 0 et de coecient constant a 0 non nul.
P = a 0 + a 1 X + · · · + a n−1 X n−1 + X n On dénit aussi
γ 1 = 1 + max
0≤k<n |a k | γ 2 = max(1, X
0≤k<n
|a k |).
On suppose dans les quatre premières questions de cette partie que P est à coecients réels avec
a 0 < 0, a 1 ≤ 0, · · · , a n−1 ≤ 0
1. Montrer que P admet une unique racine strictement positive. (on pourra considérer
P(x)
x
nou utiliser la première partie) On la note ρ .
2. Montrer que pour tout nombre complexe z , |P (z)| ≥ P (|z|) . 3. Montrer que ρ ≤ γ 1 et ρ ≤ γ 2 .
4. Montrer que pour toute racine r de P , on a |r| ≤ min(γ 1 , γ 2 ) . 5. On revient au cas général.
a. Montrer que toute racine r de P vérie |r| ≤ min(γ 1 , γ 2 ) . (On considérera Q = X n − P n−1
k=0 |a k |X k .)
b. Si tous les coecients non nuls de P sont de module 1 , que peut-on dire des racines ?
Partie 3 - Isolement des zéros d'une fonction
ATTENTION la n du corrigé de cette partie est incorrecte et à reprendre.
Il manque une preuve de terminaison pour l'algorithme proposé qui est sans doute incorrect.
Soit I un segment de R et f une fonction dénie sur I à valeurs dans R et de classe C 2 . On suppose que f et sa dérivée f 0 n'ont pas de zéros communs. On note Z l'ensemble des zéros de f . On note aussi
M 1 = max
I |f 0 | et M 2 = max
I |f 00 | On supposera M 1 et M 2 strictement positifs.
1. Justier l'existence de M 1 et M 2 et le fait que l'on se limite au cas où ils sont strictement positifs.
2. Soient a < b deux réels dans I et c = a+b 2 .
a. Montrer que si f admet un zéro dans [a, b] alors
|f (c)| ≤ b − a 2 sup
a≤t≤b
|f 0 (t)|
b. Montrer que si f admet deux zéros dans [a, b] alors
|f 0 (c)| ≤ b − a 2 sup
a≤t≤b
|f 00 (t)|
3. a. Montrer que les zéros de f sont isolés. C'est à dire que, pour tout zéro r de f , il existe un ε r > 0 tel que r soit le seul zéro de f dans [r − ε r , r + ε r ] .
b. Montrer que Z est ni.
c. Donner un exemple de fonction g de classe C 2 , sans racine en commun avec sa dérivée sur un intervalle borné et qui admet un nombre inni de zéros.
4. Prouver l'existence de m 1 = min r∈Z |f 0 (r)| . Montrer qu'il existe une subdivision (c k ) 0≤k≤p à pas constant telle que f restreinte à [c k , c k+1 ] a au plus un zéro.
5. Écrire un algorithme qui sépare les zéros.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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