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Partie 1 - Nombre de racines positives.

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Texte intégral

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MPSI B Énoncé du DM 10 29 juin 2019

Problème

Partie 1 - Nombre de racines positives.

SoitP un polynôme deR[X], que l'on écrit sous la forme

P =a0+a1Xb1+· · ·+anXbn avec 0 =b0< b1<· · ·< bn

etak6= 0pour tout0≤k≤n. On remarquera quenest le nombre de coecients non nuls de degré strictement positifs.

On désigne parZ l'ensemble des racines de P et parV(P) le nombre de changements de signes parmi les coecients deP, c'est à dire :

V(P) = card{0≤k≤n|akak+1<0}

On désigne par n+(P) le nombre de racines de P strictement positives comptées avec multiplicités. Autrement dit, simr est la multiplicité de la racineralors

n+(P) = X

r∈Zetr>0

mr

On cherche à montrer par récurrence surnle résultat suivant (Règle de Descartes) SiPest un polynôme deR[X]n'admettant pas0pour racine alorsn+(P)≤V(P). Dans les question 4. et 5., on supposera que, un entier n ≥ 1 étant donné, la règle de Descartes est vraie pour les polynômes avecn−1coecients non nuls (de degrés non nuls).

1. Montrer le théorème sin= 0etn= 1.

2. Montrer queXb1−1 diviseP0. Dans toute la n cette partie, on noteQle quotient de la division deP0 parXb1−1 etr1<· · ·< rlles racines strictement positives de P. 3. Montrer que

n+(Q)≥n+(P)−1 4. Montrer quen+(P)≤V(P)sia0a1<0.

5. On suppose dans cette questiona0a1>0.

a. Montrer que sia0>0,P est croissante au voisinage de0 à droite.

b. Montrer que sia0<0,−P est croissante au voisinage de0à droite.

c. En déduire queQadmet une racine dans l'intervalle]0, r1[. d. Montrer quen+(P)≤V(P).

6. SoitP =P(−X)etck= (−1)bkak le coecient de Xbk dansP.

a. Montrer queckck+1= (−1)bk+1−bkakak+1.

b. Montrer que sickck+1<0 et siakak+1<0, alorsbk+1−bk≥2.

c. On désigne parV(P, P)le nombre d'indicektels queckck+1<0etakak+1<0. Montrer que

bn=

n−1

X

k=0

(bk+1−bk)≥(V(P)−V(P, P)) + (V(P)−V(P, P))

+ 2V(P, P) (On découpera l'intervalle d'entiers[0, n−1]en trois parties selon queakak+1<0, ckck+1<0 ou les deux.)

d. En déduire que siP a toutes ses racines réelles,n+(P) =V(P).

Partie 2 - Localisation des racines.

On considère dans cette partie un polynômeP à coecients complexes, unitaire, de degré n >0et de coecient constant a0 non nul.

P =a0+a1X+· · ·+an−1Xn−1+Xn On dénit aussi

γ1= 1 + max

0≤k<n|ak| γ2= max(1, X

0≤k<n

|ak|).

On suppose dans les quatre premières questions de cette partie queP est à coecients réels avec

a0<0, a1≤0,· · · , an−1≤0

1. Montrer que P admet une unique racine strictement positive. (on pourra considérer

P(x)

xn ou utiliser la première partie) On la noteρ.

2. Montrer que pour tout nombre complexez,|P(z)| ≥P(|z|). 3. Montrer queρ≤γ1 etρ≤γ2.

4. Montrer que pour toute racinerdeP, on a|r| ≤min(γ1, γ2). 5. On revient au cas général.

a. Montrer que toute raciner de P vérie |r| ≤min(γ1, γ2). (On considérera Q= Xn−Pn−1

k=0|ak|Xk.)

b. Si tous les coecients non nuls de P sont de module 1, que peut-on dire des racines ?

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M0410E

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MPSI B Énoncé du DM 10 29 juin 2019

Partie 3 - Isolement des zéros d'une fonction

ATTENTION la n du corrigé de cette partie est incorrecte et à reprendre.

Il manque une preuve de terminaison pour l'algorithme proposé qui est sans doute incorrect.

SoitIun segment de Retf une fonction dénie sur Ià valeurs dansRet de classeC2. On suppose quef et sa dérivéef0 n'ont pas de zéros communs. On note Z l'ensemble des zéros def. On note aussi

M1= max

I |f0| et M2= max

I |f00| On supposeraM1 etM2strictement positifs.

1. Justier l'existence deM1etM2et le fait que l'on se limite au cas où ils sont strictement positifs.

2. Soienta < bdeux réels dans Iet c= a+b2 .

a. Montrer que sif admet un zéro dans[a, b]alors

|f(c)| ≤ b−a 2 sup

a≤t≤b

|f0(t)|

b. Montrer que sif admet deux zéros dans[a, b]alors

|f0(c)| ≤b−a 2 sup

a≤t≤b

|f00(t)|

3. a. Montrer que les zéros def sont isolés. C'est à dire que, pour tout zérordef, il existe unεr>0tel que rsoit le seul zéro def dans[r−εr, r+εr].

b. Montrer queZ est ni.

c. Donner un exemple de fonction g de classeC2, sans racine en commun avec sa dérivée sur un intervalle borné et qui admet un nombre inni de zéros.

4. Prouver l'existence de m1 = minr∈Z|f0(r)|. Montrer qu'il existe une subdivision (ck)0≤k≤pà pas constant telle quef restreinte à[ck, ck+1]a au plus un zéro.

5. Écrire un algorithme qui sépare les zéros.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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