Feuille d’exercices n˚11 Calcul de primitives

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚11 Calcul de primitives

Exercice 98 (Calculs d’aires)

On fixe un rep`ere orthonorm´e (O;−→i ,−→j) du plan. L’unit´e d’aire est donn´ee par l’aire du carr´e de cˆot´eOI o`uI est l’unique point du plan tel que −→OI=−→i.

1. SoitI:=

Z 3

1

1 + 2x dx.

(a) Justifier l’existence deI.

(b) Reconnaˆıtre la courbe repr´esentative de la fonctionf: [1,3]→R; x7→1 + 2x.

(c) En d´eduire un calcul deIpar voie g´eom´etrique.

(d) V´erifier le r´esultat de la question pr´ec´edente par voie alg´ebrique.

2. SoitJ :=

Z 1

0

p1−x²dx.

(a) Justifier l’existence deJ.

(b) Reconnaˆıtre la courbe repr´esentative de la fonctionf: [0,1]→R; x7→√ 1−x². (c) En d´eduire un calcul deJ par voie g´eom´etrique.

(d) V´erifier le r´esultat de la question pr´ec´edente par voie alg´ebrique, `a l’aide du changement de variable x= cos(t).

Exercice 99 (Formule int´egrale pour une primitive et int´egration par parties) 1. Calculer toutes les primitives de Arctan surR.

2. Calculer toutes les primitives de Arcsin sur ]−1,1[.

Exercice 100 (Primitives d’une fonction du type ^≪polynˆome fois exponentielle^≫) Pour toutn∈N, on d´efinit la fonctionfn par :

fn:R→R; x7→xⁿe^x. 1. Rappeler toutes les primitives de f0 surR.

2. Calculer toutes les primitives de f1 surR. 3. Calculer toutes les primitives de f2 surR.

4. Proposer une d´emarche pour calculerfn de proche en proche pour toutn∈N. On demande d’exposer une m´ethode, pas de la mettre en œuvre.

Exercice 101 (Primitives de x7→ ax2+bx+c¹ , o`u(a, b, c)∈R^∗×R×R)

Soit (a, b, c)∈R^∗×R×R. On introduit le trinˆome du second degr´eP :=aX²+bX+cet on note ∆ :=b²−4ac son discriminant.

On expose une m´ethode pour d´eterminer une primitive de la fonction

x7→ 1

ax²+bx+c

sur un intervalleI deRsur lequel cette fonction est d´efinie (i.e. sur un intervalle de Rqui ne contient aucune racine deP). On distingue 3 cas.

1

• Cas o`uP poss`ede deux racines r´eelles distinctes (i.e. ∆>0)

Dans ce cas, si on noter1etr2les deux racines r´eelles deP, le calcul de la forme canonique deP, permet d’´ecrireP sous la forme :

P =a(X−r1)(X−r2).

On peut alors d´eterminer deux constantes r´eellesα1et α2 telles que pour toutx∈I: 1

ax²+bx+c = 1

a(x−r1)(x−r2) = 1 a

α1

x−r1 + α2

x−r2

.

En utilisant l’expression de droite dans la pr´ec´edente ´egalit´e, on peut alors calculer une primitive de x7→ _ax2+bx+c¹ surI(cf. primitive d’une fonction du type ^u_u^′).

• Cas o`uP poss`ede une racine r´eelle double (i.e. ∆ = 0)

Dans ce cas, si on noterla racine r´elle deP, le calcul de la forme canonique deP, permet d’´ecrireP sous la forme :

P =a(X−r)². On a donc pour toutt∈I :

1

ax²+bx+c = 1

a(x−r)² =1 a

1 (x−r)².

En utilisant l’expression de droite dans la pr´ec´edente ´egalit´e, on peut alors calculer une primitive de x7→ ax²+bx+c¹ surI(cf. primitive d’une fonction du typeu^′×u^α, avecα6=−1).

.

• Cas o`uP ne poss`ede aucune racine r´eelle (i.e.∆<0)

Dans ce cas, le calcul de la forme canonique de P permet d’´ecrireP sous la forme : P =a (X+α)²+β

o`uα∈Retβ ∈]0,+∞[. On a donc pour toutx∈ I: 1

ax²+bx+c = 1

a((x+α)²+β)= 1 aβ

1 x+α

√β

2

+ 1 .

En utilisant l’expression de droite dans la pr´ec´edente ´egalit´e, on peut alors calculer une primitive de x7→ ax2+bx+c¹ surI(cf. primitive d’une fonction du typeu^′×Arctan^′(u)).

Appliquer cette m´ethode pour r´epondre aux trois questions suivantes.

1. D´eterminer une primitive de la fonction

f:x7→ 1 4x²−12x+ 9 sur tout intervalle r´eelIsur lequel la fonction f est bien d´efinie.

2. D´eterminer une primitive de la fonction

g:x7→ 1 x²−4x+ 8 sur tout intervalle r´eelIsur lequel la fonction gest bien d´efinie.

3. D´eterminer une primitive de la fonction

h:x7→ 1 3x²−2x−5 sur tout intervalle r´eelIsur lequel la fonction hest bien d´efinie.

2

Exercice 102 (Primitives de x7→e^αxcos(βx)et de x7→e^αxsin(βx), o`u (α, β)∈R²\ {(0,0)})

Rappel : La notion de d´erivabilit´e pour une fonction de la variable r´eelle `a valeurs complexes et la notion de d´eriv´ee d’une fonction de la variable r´eelle `a valeurs complexes d´erivable ont toutes deux ´et´e d´efinies dans l’exerice 97.

1. Soit I un intervalle de Ret soitf:I →Cune fonction d´erivable sur I. Soitλun nombre complexe de forme alg´ebriqueλ=r+is, o`u (r, s)∈R². On noteλ f la fonction d´efinie par :

λ f : I→C; x7→λ f(x).

(a) Montrer queλ f est d´erivable surI.

(b) Montrer que pour toutx∈I, (λ f)^′(x) =λ f^′(x).

2. Soit (α, β)∈R²\ {(0,0)}. (a) Soit l’application

g:R→R; x7→e^αxcos(βx).

D´eduire de l’exercice 97 et de la question 1. qu’une pritive de gest donn´ee par la fonction : G:R→R; x7→Re

1

α+iβe^(α+iβ)x

. (b) Soit l’application

h:R→R; x7→e^αxsin(βx).

D´eduire de l’exercice 97 et de la question 1. qu’une pritive de hest donn´ee par la fonction : H:R→R; x7→Im

1

α+iβe^(α+iβ)x

.

3. (a) D´eterminer toutes les primitives de la fonction

f1: R→R; x 7→e^−xcos(2x).

surR.

(b) D´eterminer toutes les primitives de la fonction

f2:R→R; x 7→e^3xsin(x).

surR.

Exercice 103 : (20 calculs de primitives pour faire ses gammes) 1. D´eterminer toutes les primitives sur Rde

f1: R→R; x7→th(x).

2. D´eterminer toutes les primitives sur ]−1,1[ de

f2: ]−1,1[→R; x7→ 1−2x

√1−x². 3. D´eterminer toutes les primitives sur Rde

f3:R→R; x7→cos⁴(x).

4. D´eterminer toutes les primitives sur Rde

f4:R→R; x7→ 1 x²+x+ 1. 5. D´eterminer toutes les primitives sur Rde

f5:R→R; x7→cos(x) sin⁵(x).

6. D´eterminer toutes les primitives sur Rde

f6: R→R; x7→ 1 ch(x).

3

7. D´eterminer toutes les primitives sur Rde

f7:R→R; x7→ x+ 1 x²+ 1. 8. D´eterminer toutes les primitives sur ]0,+∞[ de

f8: ]0,+∞[→R; x7→e^√x

√x.

9. D´eterminer toutes les primitives sur Rde

f9:R→R; x7→sin²(x).

10. D´eterminer toutes les primitives sur ]0,+∞[ de

f10: ]0,+∞[→R; x7→√ x+1

x. 11. D´eterminer toutes les primitives sur ]0,+∞[ de

f11: ]0,+∞[→R; x7→ (ln(x))² x . 12. D´eterminer toutes les primitives sur ]0,+∞[ de

f12: ]0,+∞[→R; x7→Arctan 1

x

.

13. D´eterminer toutes les primitives surRde

f13:R→R; x7→e^xsin(5x).

14. D´eterminer toutes les primitives sur ]1,+∞[ de

f14: ]1,+∞[→R; x7→ 1 x²−1. 15. D´eterminer toutes les primitives surRde

f15:R→R; x7→ e^x 1 +e^x. 16. D´eterminer toutes les primitives sur ]0,1[ de

f16: ]0,1[→R; x7→ 1 xln(x). 17. D´eterminer toutes les primitives surRde

f17:R→R; x7→x²e^−x. 18. D´eterminer toutes les primitives sur i

0,π 2

hde

f18: i 0,π

2

h→R; x7→ 1 tan(x). 19. D´eterminer toutes les primitives sur ]0,1[ de

f19: ]0,1[→R; x7→

r x 1−x³. 20. D´eterminer toutes les primitives surRde

f20:R→R; x7→ sin(2x) 2 + cos(x).

4