L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚11 Calcul int´ egral
Exercice 161 : Soitλun nombre r´eel strictement positif.
1. Soit la fonction
F0 : [0,+∞[ → R
x 7→
Z x
0
λe−λtdt.
(a) Montrer que la fonctionF0 est bien d´efinie.
(b) CalculerF0(x), pour toutx∈[0,+∞[.
(c) ´Etudier la limite ´eventuelle de F0 en +∞.
2. Soit la fonction
F1 : [0,+∞[ → R
x 7→
Z x
0
λt e−λtdt.
(a) Montrer que la fonctionF1 est bien d´efinie.
(b) CalculerF1(x), pour toutx∈[0,+∞[.
(c) ´Etudier la limite ´eventuelle de F1 en +∞.
3. Soit la fonction
F2 : [0,+∞[ → R
x 7→
Z x
0
λt2e−λtdt.
(a) Montrer que la fonctionF2 est bien d´efinie.
(b) CalculerF2(x), pour toutx∈[0,+∞[.
(c) ´Etudier la limite ´eventuelle de F2 en +∞.
Exercice 162
1. Montrer qu’il existe (a, b)∈R2 tel que :
∀x∈[0,1], 1
x2+x−6 = a
x−2+ b x+ 3.
2. Justifier que l’int´egrale Z 1
0
1
x2+x−6 dxest bien d´efinie et calculer sa valeur.
Exercice 163
1. Justifier que l’int´egrale Z 3
0
x
x2+ 9 dxest bien d´efinie et calculer sa valeur.
2. Justifier que l’int´egrale Z 3
0
1
x2+ 9 dxest bien d´efinie et calculer sa valeur.
3. Montrer qu’il existe (a, b, c)∈R3 tel que :
∀x∈[0,3], x2+ 2x+ 2
x2+ 9 =a+bx+c x2+ 9.
4. Justifier que l’int´egrale Z 3
0
x2+ 2x+ 2
x2+ 9 dx est bien d´efinie et calculer sa valeur.
1
Exercice 164 : Pour toutn∈N, on pose :
In = Z 1
0
enx 1 +x dx.
1. Montrer que pour toutn∈N,In est bien d´efini.
2. Montrer que la suite (In)n∈Nest croissante.
3. En encadrant la fonction x7→ 1
1 +x sur [0,1], montrer que :
∀n∈N∗, In≥ 1
2n (en−1).
4. En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (In)n∈N.
F Exercice 165 : Pour toutn∈N∗, on pose :
un= 1 n
n−1
X
k=0
ln
1 + k n
.
Etudier le comportement asymptotique de la suite (u´ n)n∈N∗.
Exercice 166 : Soit la fonction
f : ]−1,+∞[ → R
x 7→ ln(1 +x).
1. Montrer que la fonction f est de classeC3 sur ]0,+∞[ et calculer ses trois premi`ere d´eriv´ees :f(1)=f0, f(2) =f00,f(3)=f000.
2. ´Enoncer la formule de Taylor avec reste int´egral `a l’ordre 2 pour la fonctionf en 1.
3. En encadrant la fonction t7→ 2
(1 +t)3 sur [0,+∞[, montrer que :
∀x∈[0,+∞[, 0≤ Z x
0
2 (1 +t)3
(x−t)2
2 dt≤ x3 3 . 4. En d´eduire que :
∀x∈[0,+∞[,
ln(1 +x)−x+x2 2
≤ x3 3 .
5. D´eduire de la question 4. une valeur approch´ee de ln(1,1). On donnera une majoration de l’´ecart entre la valeur exacte et la valeur approch´ee donn´ee de ln(1,1).
Exercice 167 : Soit la fonction
F : R → R
x 7→
Z 2x
x
e−t2 dt.
1. Montrer que la fonction F est bien d´efinie.
2. Montrer que la fonction F est impaire.
3. Montrer queF est d´erivable surRet calculer sa d´eriv´ee.
4. ´Etudier les variations de la fonctionF sur [0,+∞[.
5. Montrer que :
∀t∈[1,+∞[, e−t2 ≤e−t puis que :
∀x∈[1,+∞[, 0 ≤F(x)≤e−x−e−2x. 6. En d´eduire que le comportement asymptotique deF en +∞.
7. Dresser le tableau de variations deF surR, en pr´ecisant les limites aux bornes.
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