Fonctions de 2 variables : calcul int´egral

Chap 44

Fonctions de 2 variables : calcul int´ egral

0.1 Pr´esentation

D´efinition. On appellepav´ede R²

Cas d’une fonction constante sur un pav´e.

Remarque.

Cas d’une fonction continue.

Limite de cette construction.

Interpr´etation g´eom´etrique.

0.2 Int´egrales doubles sur un rectangle Th´eor`eme (de Fubini).

Soit f une fonctionR²Ñ R, d´efinie et continue sur le rectangle R ra, bs rc, ds. On a :

»_b

a

»d c

fpx, yqdy

dx

»_d

c

»b a

fpx, yqdx

dy

D´efinition. La valeur commune de ces deux int´egrales s’appelle int´egrale double de f sur R, et est not´ee :

I

¼

R

fpx, yqdxdy

Exemple. Calculer

¼

r1,2sr0,1s

xy

x² y²dxdy.

Interpr´etation graphique.

Cas particulier. Sifpx, yq gpxq hpyq, alors

¼

ra,bsrc,ds

gpxqhpyqdxdy

»_b

a

gpxqdx

»_d

c

hpyqdy

0.3 G´en´eralisation

Pr´esentation. On consid`ere une partie U de R<sup>2</sup>. On suppose que U est admissible, c’est-`a-dire que U est d´efinie `a l’aide de deux fonctions d’une variable :

286 CHAPITRE 28. INT ´EGRALES MULTIPLES

La construction devient beaucoup plus compliqu´ee si l’on consid`ere des domaines U ⊂ R<sup>2</sup> qui ne sont plus des rectangles. Comment !! subdiviser "" un tel domaine U? Quelle r´egularit´e imposer `a U? Ce proc´ed´e de construction est inadapt´e, et on utilise une autre d´efinition de l’int´egrale : l’int´egrale de Lebesgue. Heureusement, les calculs avec l’int´egrale de Lebesgue ressemblent aux calculs habituels avec l’int´egrale de Riemann. Nous admettrons les r´esultats qui suivent.

On consid`ere une fonction f : U "→R continue sur une partie U ⊂ R<sup>2</sup> !! admissible "" d´efinie `a l’aide de deux fonctions d’une variable :

U ={(x,y)∈R² |a≤x≤betφ(x)≤y≤ψ(x)} ou alors

U ={(x,y)∈R² |c≤y≤d et α(y)≤x≤β(y)}

x y

y=φ(x) y=ψ(x)

U

a b x

y

x=α(y) U x=β(y) c

d

Fig. 28.2 –un domaine U d´elimit´e par le graphe de deux fonctions

Le th´eor`eme suivant permet de calculer une int´egrale double sur un tel domaine.

Th´eor`eme 28.1 : Th´eor`eme de Fubini

Sif est une fonction continue sur un domaineU ⊂R² admissible, alors on peut calculer l’int´egrale double def sur U en calculant deux int´egrales simples :

! !

U

f(x,y) dxdy=! b a

"! ψ(x) φ(x)

f(x,y) dy

#

dx=! d c

"! β(y) α(y)

f(x,y) dx

# dy

Exercice 28-1 Calculer $$

D(x²+y)dx dy o`uD={(x,y)∈R<sup>2</sup> |0≤x≤1,0≤y≤1−x}. Th´eor`eme 28.2 : Propri´et´es de l’int´egrale double

1. Lin´earit´e:

!!

D

(λf+µg)(x,y)dx dy=λ

! !

D

f(x,y)dx dy+µ

!!

D

f(x,y)dx dy 2. Additivit´e: si D=D1∪D2 avecD1∩D2 =∅,

!!

D

f(x,y)dx dy =!!

D1

f(x,y)dx dy+!!

D2

f(x,y)dx dy 3. Positivit´e: sif ≥0 surD, alors

!!

D

f(x,y)dx dy≥0

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Th´eor`eme (de Fubini).

Si f est continue surU admissible, alors l’int´egrale double de f surU est :

¼

U

f

»_b

a

»_ψpxq

φpxq fpx, yqdy

dx

»_d

c

»_βpyq

αpyq fpx, yqdx

dy

Exemple. Calculer´

Dpx² yqdxdy o`u D tpx, yq P R² t.q. 0¤x¤1, 0¤y ¤1xu. Exemple. CalculerI ´

Upx²y²qdxdy o`uU est l’int´erieur de l’ellipse, d’´equation : ^x_a²2

y² b² ¤1.

Exemple. SoitU tpx, yq P R² t.q. x¥0, y¥0, x y¤1u. Calculer I ´

Usinp2xyqdxdy.

Exemple. SoitU tpx, yq P R² t.q. y¥0, x² y²2x¤0u. Calculer I ´

Uxydxdy.

D´efinition. Soit U une partie de R². On appelleaire de U : ApUq

¼

U

1 dxdy

0.4 Propri´et´es

Propri´et´e. Lin´earit´e : ´

Dpλf µgq λ´

Df µ´

Dg

Propri´et´e. Additivit´e : Si DD1YD2 avec D1XD2∅, alors :´

Df ´

D1f ´

D2f

Propri´et´e. Positivit´e : f ¥0ùñ´

Df ¥0

0.5 Changement de variable Th´eor`eme.

Soit ϕ : px, yq ÞÑ pu, vq, bijective, de classe C¹ surU, telle que sa r´eciproqueϕ¹ : pu, vq ÞÑ px, yq

soit de classeC¹ surU¹ ϕpUq.

On posegf ϕ¹ et on a :

¼

U

fpx, yqdxdy

¼

U¹

gpu, vq |detJ|dudv

o`u J est la matrice jacobienne de ϕ<sup>1</sup>, c’est-`a-dire : detJ

Bx

Bu Bx

Bv By

Bu By

Bv

.

Remarque.

Exemple. SoitU tpx, yq P R² t.q. x² y²2x¤0, y¥0u.

Utiliser le changement de variable en coordonn´ees polaires pour calculer I ´

Uxydxdy.

Exemple. SoitU tpx, yq P R² t.q. x¥0, y¥0, a² ¤x² y² ¤b²u un quart de couronne.

Calculer I

¼

U

a xy

x² y² dxdy.

Exemple. Calculer l’aire de la surface d´elimit´ee par une arche de cyclo¨ıde.

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44.1SoitUtpx,yqt.q.x¥0,y¥0,xy¤1u. CalculerI¼ U

xydxdy. fct2var_41.tex 44.2SoitUtpx,yqt.q.x2 a2y2 b2¤1u. CalculerI¼ U|xy|dxdy. fct2var_42.tex 44.3SoitUtpx,yqt.q.x¥1,y¥1,xy¤3u. CalculerI¼ U

dxdy pxyq2. fct2var_43.tex 44.4SoitUl’int´erieurdutriangledesommetsAp0,0q,Bp1,1qet Cp2,0q. CalculerI¼ Upxyqdxdy. fct2var_44.tex 44.5Calculerlevolumedelar´egiond´elimit´eeparlasurfaced’´equa- tionzx2 2y2 etlepland’´equationz1. fct2var_45.tex 44.6SoitUtpx,yqt.q.x2 y2 ¤1u. CalculerI¼ U

dxdy x2y21. fct2var_46.tex 44.7SoitUtpx,yqt.q.x2 a2y2 b2¤1u. CalculerI¼ U

x2 a2y2 b21 2 dxdy. fct2var_47.tex 44.8Ond´efinit: Fpbq»b 0ex2 dx IpRq¼ r0,Rsr0,Rsepx2y2q dxdy DRtpx,yqPR2 t.q.x2 y2 ¤R2 u (a)MontrerqueIpRqFpRq2 ; (b)Montrerque: ¼ DR

epx2y2q dxdy¤IpRq¤¼ D? 2R

epx2y2q dxdy (c)End´eduirequeFpRqÝÝÝÝÝÑ RÑ8

? π 2. fct2var_40.tex 44.9Soitr¡0.Onconsid`ereUlequartdedisquedecentreOde rayonr,limit´eparrOxqetrOyqetVlecarr´er0,rs2 .Onconsid`ereles int´egrales: Cprq»r 0et2 cos2 tdtSprq»r 0et2 sin2 tdt IUprq¼ U

epx2y2q cospx2 y2 qdxdyJUprq¼ U

epx2y2q sinpx2 y2 qdxdy IVprq¼ V

epx2y2q cospx2 y2 qdxdyIVprq¼ U

epx2y2q sinpx2 y2 qdxdy (a)Repr´esenterUetV. (b)CalculerIUprqetJUprqenutilisantlescoordonn´eespolaires. (c)MontrerqueIUprqetJUprqadmettentdeslimiteslorsquerÑ 8. (d)Quepeut-ondiredeIVprqIUprqetJVprqJUprqlorsque rÑ8? (e)MontrerqueIVprqCprq2 Sprq2 etJVprq2CprqSprq. (f)End´eduirelesexpressionsdeCprqetSprqenfonctiondeIVprq etJVprq. (g)D´eterminerleslimitesdeCprqetSprqlorsquerÑ8. fct2var_48.tex

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