S S UJET
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M ATHÉMATIQUES
On consid`ere la suite (u
n) d´efinie par : 0 < u
0<
12et
∀n
∈IN, u
n+1= u
n−u
2n.
1.
Montrer que tout n
∈IN, 0 < u
n<
12. En d´eduire que la suite ( u
n) est convergente et donner sa limite.
2.
Montrer que la s´erie de terme g´en´eral u
2nconverge et donner sa somme.
3.
Montrer que la s´erie de terme g´en´eral ln
un+1un
diverge et en d´eduire la divergence de la s´erie de terme g´en´eral u
n.
4.
Montrer que pour tout n
∈IN, u
n< 1
n + 1 et que la suite ( nu
n) est croissante. En d´eduire sa convergence. On note sa limite.
5.
On pose v
n=
−nu
n. Justifier la convergence de la s´erie de terme g´en´eral v
n−v
n+1.
6.Calculer la limite de v
n−v
n+1u
nquand n tend vers l’infini et en d´eduire que = 1 (on pourra raisonner par l’absurde et utiliser les questions
3.et
5.).
M ATHÉMATIQUES
Ce cas a été rédigé par l’ESC Grenoble.
Durée : 2 heures.
M ÉTHODOLOGIE ET C ONSIGNES
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S UJET
Le p´eage d’une autoroute comporte 10 guichets num´erot´es de 1 ` a 10. On appelle
Xla variable al´eatoire ´egale au nombre de voitures traversant ce p´eage dans une journ´ee. On suppose que
Xsuit la loi de Poisson de param`etre
λ(
λ∈IR
∗+).
Soit
Yla variable al´eatoire ´egale au nombre de voitures se pr´esentant par jour au guichet num´ero 1.
1.
Pour (
i, j)
∈IN
2, calculer
P(
Y=
i|X=
j).
2.
En d´eduire la loi de
Y.
Soit IR
2[X ] l’espace vectoriel des polynˆ omes de degr´e inf´erieur ou ´egal ` a 2. On consid`ere l’application Φ, qui ` a tout ´el´ement
Pde IR
2[
X] associe : Φ(
P) =
P(0) +
P(1)
X+
P(2)
X2.
1.Montrer que Φ est un endomorphisme bijectif de IR
2[
X] et d´eterminer Φ
−1.
2.
