Examen LM346 ”Processus et simulations”, 2`eme session 2011–2012, sans document, ni calculatrice.
(1) On consid`ere une variable al´eatoireX de densit´efX(x) = (1/2) cos(x)1{−π/2≤x≤π/2}. Donner sa fonction de r´epartition.
(2) D´ecrire une m´ethode de simulation de X `a partir du r´esultat de (1).
(3) SoientU1, V1, U2, V2, . . .sur (Ω,F, P) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1].
SoitWn =−π/2 +πUn. Pour une fonctionf continue et born´ee, calculer Ef(Wn) et en d´eduire la loi deWn. (4) On poseν(ω) = min{n≥1 : 2Vn ≤cos(Wn)}. DonnerP(ν(ω) =k).
(5) D´ecrire une m´ethode alternative `a celle propos´ee dans la question (2) pour simuler une variable al´eatoire de mˆeme loi queX.
(6) CalculerP(0≤Wν≤π/6). En d´eduireP(1/2≤Uν ≤2/3).
(7) Soit Y1, Y2, . . . , Yn, . . . une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi exponentielle de param`etre λ >0.
Rappel: leur densit´efλ(x) =λexp(−λx)1{x≥0}. CalculerEYn et V arYn.
Suggestion : une int´egration par parties.
(8) Donner
n→∞lim P
λ√
nX1+· · ·+Xn
n −1
λ
≤356
.
(9) Construire un intervalle de confiance asymptotique pour le param`etreλde niveau de fiabilit´e 0,96.
(10) On consid`ere une chaine de Markov de matrice de transition
1/2 1/3 0 0 0 1/6
1/6 1/2 0 0 0 1/3
1/4 0 0 1/3 1/6 1/4
0 1/6 1/2 0 1/6 1/6
0 0 0 0 1 0
1/3 1/6 0 0 0 1/2
DonnerP(X2= 1, X3= 6|X0)
(11) Donner les classes d’´etats, ´etudier leur r´ecurrence et transience.
(12) Donner toutes les mesures invariantes pour cette chaine de Markov.
(13) Soit la mesure initiale de cette chaine de Markovµ= (1/9,1/9,0,0,2/3,1/9). DonnerP(X4= 4).
(14) On noteTi = inf{n≥1 :Xn =i}. DonnerP(T1 <∞ |X0= 1),P(T1<∞ |X0= 3), P(T1<∞ |X0 = 5), P(T1<∞ |X0= 6).
(15) DonnerP(T1<∞, T6<∞ |X0= 3),P(T1<∞, T6<∞, T2<∞ |X0= 3),P(T5<∞ |X0= 3).
(16) Donner les limites limn→∞P(Xn = 1 | X0 = 1), limn→∞P(Xn = 1 | X0 = 3), limn→∞P(Xn = 1 | X0 = 5), limn→∞P(Xn= 1|X0= 6). Argumentez votre r´eponse.
(17) SoitTA = inf{n ≥1 :Xn ∈ A} o`u A est un sous-ensemble de{1,2,3,4,5,6}. Calculer E(T(1,2,6) |X0 = 3), E(T(1,2,5,6)|X0= 3).
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