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On consid`ere la matrice r´eelleA

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Academic year: 2022

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UNSA –Alg`ebre et G´eom´etrie– L3 2016-2017 Contrˆole du 13 octobre 2016

Dur´ee: 0h45. Tous documents interdits.

1. On consid`ere la matrice r´eelleA=

1 2 2 2 2 0 1 0 2

.

1.a. D´eterminer les valeurs propres deA.

1.b. La matriceAest-elle diagonalisable ? Si oui, d´eterminer un changement de base qui la diagonalise.

2. On consid`ere la matrice r´eelleB=

1 0 1

−1 1 1

−1 0 3

.

2.a. D´eterminer les valeurs propres deB.

2.b. La matrice B est-elle diagonalisable ? Quels sont ces sous-espaces propres et ses sous-espaces caract´eristiques ?

2.c. Trouver une matrice de changement de baseP tel queP−1BP soit sous forme de Jordan.

2.d. Etablir une formule pour les puissancesBn. Barˆeme indicatif: 4 + 6

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