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On consid`ere la base de R

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Academic year: 2022

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(1)

On consid` ere la base de R

3

suivante : B = { ~ v

1

=

0

@ 1 0 3

1

A , ~ v

2

= 0

@ 0 1 5

1

A , ~ v

3

= 0

@ 4 2 0

1 A } .

Donner le vecteur de coordonn´ ees de

~ v = 0

@ 3 5 10

1

A dans la base B .

(A) (~ v)

B

= 0

@ 1 5 1

1 A ;

(B) (~ v)

B

= 0

@ 5 1 2

1 A ;

(C) (~ v)

B

= 0

@ 10/3 5/2

0

1 A .

1

(2)

On consid` ere les bases de R

2

suivantes : B = { ~ v

1

=

✓ 1 1

◆

, ~ v

2

=

✓ 1 1

◆ } et

B

0

= { v ~

10

=

✓ 1 0

◆

, v ~

20

=

✓ 0 1

◆ }

Donner la matrice de passage P

B,B0

de B ` a B

0

.

(A) P

B,B0

=

✓ 1 1 1 1

◆

;

(B) P

B,B0

=

✓ 1/2 1/2 1/2 1/2

◆

;

(C) P

B,B0

=

✓ 1 0 0 1

◆ .

2

(3)

Laquelle des applications suivantes n’est pas lin´ eaire ?

(A) f : R

2

! R

2

,

✓ x y

◆ 7!

✓ x 2y x

◆

;

(B) g : R

2

! R

2

,

✓ x y

◆ 7!

✓ x y + 1

◆

;

(C) h : R

2

! R

2

,

✓ x y

◆ 7!

✓ x y

2

◆ .

(D) Au moins deux de ces applications ne sont pas lin´ eaires.

3

(4)

Soit f : R

n

! R

m

une application lin´ eaire.

(A) Alors on a f ( ~ 0) = ~ 0.

(B) Alors on a f ( ~ 0) 6 = ~ 0.

(C) Si f ( ~ 0) = ~ 0 ou f ( ~ 0) 6 = ~ 0 d´ epend de l’application f .

4

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